基于改進(jìn)的CDKF鋰電池SOC估計(jì)方法

張小利，王玥童，夏金松，張瑩瑩，2

（1合肥工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化工程學(xué)院；2可再生能源接入電網(wǎng)技術(shù)國(guó)家地方聯(lián)合工程實(shí)驗(yàn)室，安徽合肥 230009）

近年來(lái)，鋰離子電池憑借單體電壓高、壽命長(zhǎng)、無(wú)污染等特點(diǎn)廣泛應(yīng)用于新能源汽車(chē)、航空航天等領(lǐng)域[1-2]。為了更高效地管理電池，研究人員[3]提出建立電池管理系統(tǒng)(battery management system，BMS)的解決方案，其中電池荷電狀態(tài)(state of charge，SOC)的準(zhǔn)確估計(jì)是BMS的重要功能，可以為電池之間的均衡管理提供依據(jù)，進(jìn)而延長(zhǎng)鋰電池的使用壽命。

針對(duì)卡爾曼濾波方法關(guān)于電池SOC 估計(jì)存在的問(wèn)題，研究人員提出很多改進(jìn)方法，其中擴(kuò)展類(lèi)型的卡爾曼濾波方法(extended Kalman filter，EKF)應(yīng)用最多[4-5]。文獻(xiàn)[6]建立了磷酸鐵鋰電池PNGV等效模型，基于EKF方法估計(jì)電池SOC值。文獻(xiàn)[7]基于電池多模型辨識(shí)未知參數(shù)，聯(lián)合庫(kù)侖積分法和EKF 算法來(lái)估算SOC 值。EKF 算法雖然在工程上有一定應(yīng)用，但該算法也存在一些不足，如EKF算法涉及到雅可比矩陣的計(jì)算，而該矩陣計(jì)算過(guò)程比較復(fù)雜，計(jì)算工作量很大，且對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性有一定影響。為了解決EKF存在的問(wèn)題，文獻(xiàn)[8]提出了中心差分卡爾曼濾波算法(central difference Kalman filter，CDKF)，該算法不必計(jì)算雅可比矩陣，而是選擇插值公式來(lái)表征非線性函數(shù)，這樣處理減小了計(jì)算工作量。相比EKF算法，CDKF算法估計(jì)精度更高，但CDKF算法仍然無(wú)法回避非線性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性問(wèn)題的處理過(guò)程，這個(gè)過(guò)程勢(shì)必產(chǎn)生線性誤差，為繼續(xù)提升估計(jì)精度，有必要對(duì)CDKF算法進(jìn)一步改進(jìn)。

本文建立二階RC 電路單元模型作為鋰電池等效模型，采用最小二乘參數(shù)辨識(shí)方法，辨識(shí)等效模型電阻和電容參數(shù)。在原CDKF算法中引入迭代濾波思想，使得觀測(cè)信息不斷迭代更新，基于LM 優(yōu)化方法不斷修正協(xié)方差矩陣，在此基礎(chǔ)上提出一種改進(jìn)的CDKF算法。后面分別在恒流放電和動(dòng)態(tài)放電工況下對(duì)改進(jìn)后的CDKF算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，并將預(yù)測(cè)結(jié)果與CDKF算法進(jìn)行比較，結(jié)果表明改進(jìn)后CDKF算法估計(jì)精度高于原算法，對(duì)初值誤差收斂性也更好。

1 電池等效模型的建立

相比一階阻容(RC)電路單元模型，二階RC電路單元模型表征電池動(dòng)態(tài)特性具有更高的估計(jì)精度，而三階及以上RC 電路單元模型又過(guò)于復(fù)雜。綜合衡量模型精度、復(fù)雜度，本文選擇二階RC 電路單元模型[9-10]，利用該模型模擬充放電過(guò)程中鋰電池的動(dòng)態(tài)變化特性，二階RC 電路模型結(jié)構(gòu)如圖1所示。該電池模型可以劃分為三個(gè)部分：電壓源、歐姆內(nèi)阻、RC電路單元。UOC表示鋰電池的開(kāi)路電壓，通常在鋰電池較長(zhǎng)時(shí)間靜置后測(cè)量鋰電池兩個(gè)電極之間的電壓來(lái)獲得。R0為鋰電池的歐姆內(nèi)阻，表示鋰電池內(nèi)部電流回路中的等效純電阻。兩個(gè)RC 單元用來(lái)模擬電池的極化效應(yīng)，表征放電結(jié)束后，鋰電池靜置期間電壓突變后的電壓漸變過(guò)程。

圖1 二階RC電路單元模型Fig.1 Second-order RC circuit unit model

由圖1中二階RC電路單元模型可得

對(duì)于鋰電池而言，k時(shí)刻電池SOC值為

式中，k*為k的前一時(shí)刻；η為補(bǔ)償系數(shù)；Q0為電池可用容量。

以鋰電池荷電狀態(tài)值SOCk、兩個(gè)RC 單元的端電壓u1,k和u2,k作為狀態(tài)變量，Ik表示控制變量；Uk表示觀測(cè)變量；v(k)表示測(cè)量噪聲；w(k)表示過(guò)程噪聲，設(shè)采樣周期為T(mén)，綜合式(1)和式(2)可得鋰電池狀態(tài)方程為

其中，a1、a2、b1、b2表示如下

根據(jù)二階RC 電路單元模型和狀態(tài)方程可以求得系統(tǒng)方程

式中，Ak、Bk、Ck、Dk分別表示狀態(tài)轉(zhuǎn)移、輸入、輸出以及前饋矩陣；uk、xk分別表示控制變量和狀態(tài)變量矩陣；wk、Qk分別為過(guò)程噪聲及其協(xié)方差，vk、Rk分別為測(cè)量噪聲及其協(xié)方差。

2 CDKF算法及其遞推過(guò)程

CDKF 算法主要是基于Sterling 插值公式按中心差分方式描述非線性模型，該方法不必計(jì)算雅可比矩陣，不用對(duì)函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，減小了計(jì)算工作量。中心差分形式代替泰勒公式展開(kāi)形式的一階、二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)

式中，h為中心差分步長(zhǎng)，其取值大小影響逼近非線性函數(shù)的精度，之前的研究表明，對(duì)于高斯分布，h2值取3 時(shí)，可以達(dá)到最佳逼近狀態(tài)[11]。Sx為協(xié)方差矩陣Px經(jīng)Cholesky 分解得到的矩陣，sj為Sx矩陣第j列向量，和x有著相同的協(xié)方差且均值為零。

Sigma 點(diǎn)濾波過(guò)程為：首先選取若干采樣點(diǎn)，采樣點(diǎn)和狀態(tài)變量?jī)烧叩木岛蛥f(xié)方差值均要相同，然后根據(jù)非線性函數(shù)計(jì)算采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，最后利用采樣點(diǎn)的函數(shù)值計(jì)算狀態(tài)變量的均值及協(xié)方差值。

CDKF算法采用對(duì)稱(chēng)采樣策略選取Sigma采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)，M維的狀態(tài)變量需要采集2M+1 個(gè)采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)。由于采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)均值、協(xié)方差值需要同狀態(tài)變量對(duì)應(yīng)的取值一致，各個(gè)采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的位置如下式所示

采樣點(diǎn)ζj權(quán)重取值可由下式求得

本文狀態(tài)變量是[SOCk u1,k u2,k]T，故M取值為3。由式(10)可知對(duì)稱(chēng)采樣權(quán)重取值只有兩種，分別對(duì)應(yīng)中心點(diǎn)和非中心點(diǎn)的權(quán)重大小，這表明其他非中心點(diǎn)具有同等重要性。

在Sterling 插值公式采取對(duì)稱(chēng)采樣Sigma 點(diǎn)策略計(jì)算狀態(tài)變量后驗(yàn)協(xié)方差和均值，即實(shí)現(xiàn)CDKF估算過(guò)程，其具體遞推過(guò)程如下[12]。

①初始值，k=1。

②構(gòu)造2M+1維Sigma點(diǎn)

③時(shí)間更新

狀態(tài)估計(jì)

誤差估計(jì)

觀測(cè)估計(jì)

④測(cè)量更新

互協(xié)方差計(jì)算

自協(xié)方差計(jì)算

估計(jì)增益矩陣

狀態(tài)估計(jì)測(cè)量更新

⑤當(dāng)k=k+1時(shí)，重復(fù)步驟②～④。

3 改進(jìn)的CDKF算法及其遞推過(guò)程

式(21)中是以x?-k為基準(zhǔn)計(jì)算得到Kk和y?-k的值，相比于x?-k，x?k與實(shí)際值差異更小，若以x?k為基準(zhǔn)，對(duì)觀測(cè)方程多次帶入求解，求得狀態(tài)估計(jì)值更接近實(shí)際值。對(duì)這個(gè)過(guò)程反復(fù)進(jìn)行多次，也即把迭代思想引入進(jìn)來(lái)，多次利用測(cè)量信息更新?tīng)顟B(tài)量估算值，進(jìn)而減小鋰電池SOC估計(jì)誤差。

假設(shè)式(23)基準(zhǔn)點(diǎn)為γj，測(cè)量更新值為γj+1，迭代方法可用下式表示

式中，j為迭代次數(shù)，γ1=為初始基準(zhǔn)點(diǎn)。

迭代一次需要計(jì)算一次增益矩陣Kk和測(cè)量變量y?k，當(dāng)?shù)螖?shù)等于m時(shí)，結(jié)束迭代過(guò)程，最后的輸出結(jié)果即為最優(yōu)估算值。

非線性系統(tǒng)符合局部線性化條件時(shí)，對(duì)于卡爾曼濾波，若代價(jià)函數(shù)M(xk)定義為

其更新迭代可認(rèn)為是基于GN(Gauss-Newton)法迭代求解M(xk)極小值。但由于引入了線性誤差，狀態(tài)模型和觀測(cè)信息不一定完全相同，因此僅能求解M(xk)非零極值，這等價(jià)于將GN 法解決小殘差迭代優(yōu)化問(wèn)題。而GN法處理此類(lèi)問(wèn)題往往導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定[13]，進(jìn)而影響SOC 估計(jì)精度。主要體現(xiàn)在觀測(cè)更新迭代過(guò)程中，估計(jì)誤差不能確保一致減少，即yk-不能確保一致減少，導(dǎo)致估測(cè)的協(xié)方差矩陣相比真實(shí)值偏小，沒(méi)有很好利用觀測(cè)信息。LM(Levenberg-Marquardt)法可以求得非線性最小化(局部最小)的數(shù)值解。此方法能夠結(jié)合GN法和梯度下降法的優(yōu)點(diǎn)，并改善兩者的不足(如應(yīng)用GN法時(shí)若不存在反矩陣或初值與局部極小值相距太遠(yuǎn))。

故本文引入LM 方法，迭代過(guò)程中通過(guò)LM 方法中的參數(shù)μl對(duì)協(xié)方差矩陣不斷進(jìn)行修正，從而確保系統(tǒng)的穩(wěn)定性，提高SOC估計(jì)精度。

LM 方法利用阻尼參數(shù)因子μl對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行修正，μl的取值規(guī)則前人已有研究[14]。經(jīng)過(guò)修正的協(xié)方差矩陣如下式

改進(jìn)后的CDKF 算法中，基于LM 修正后步驟④測(cè)量更新過(guò)程如下所示

4 模型參數(shù)辨識(shí)

首先完成OCV-SOC 標(biāo)定實(shí)驗(yàn)，確定OCV 和SOC之間的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式，然后在OCV-SOC函數(shù)關(guān)系表達(dá)式基礎(chǔ)上，再結(jié)合最小二乘參數(shù)辨識(shí)方法，辨識(shí)等效模型電阻和電容參數(shù)。

4.1 OCV-SOC標(biāo)定實(shí)驗(yàn)

選用Arbin 電池充放電測(cè)試系統(tǒng)對(duì)鋰電池進(jìn)行充放電實(shí)驗(yàn)，該系統(tǒng)具有上位機(jī)測(cè)試軟件(MITS Pro)，可以在該軟件上編程控制選擇充放電模式、設(shè)置充放電測(cè)試截止條件等，ARBIN電池充放電測(cè)試系統(tǒng)如圖2 所示，鋰電池主要參數(shù)指標(biāo)如表1 所示。該實(shí)驗(yàn)是在25 ℃恒溫條件下展開(kāi)進(jìn)行的，以0.2C 放電倍率對(duì)鋰電池進(jìn)行恒流間歇放電實(shí)驗(yàn)，從而得到對(duì)應(yīng)的開(kāi)路電壓-荷電狀態(tài)(OCV-SOC)曲線，OCV-SOC曲線如圖3所示。

圖2 Arbin電池充放電測(cè)試系統(tǒng)Fig.2 The Arbin battery charge and discharge test equipment

表1 鋰電池主要參數(shù)指標(biāo)Table 1 Main parameters of lithium battery

對(duì)該曲線進(jìn)行5階多項(xiàng)式函數(shù)擬合，擬合得到的OCV-SOC具體函數(shù)表達(dá)式如式(36)所示。

4.2 參數(shù)辨識(shí)

對(duì)于圖1 中的電池等效模型，需要辨識(shí)R0、R1、R2、C1、C2等參數(shù)?；诤z忘因子的最小二乘法，根據(jù)自定義工況完成對(duì)模型未知參數(shù)的在線辨識(shí)。二階RC 電路模型在自定義工況下的辨識(shí)結(jié)果如圖4所示。由圖4可知，在參數(shù)辨識(shí)初始階段，待辨識(shí)參數(shù)值波動(dòng)較大，這主要由于初始化參數(shù)初值設(shè)置不準(zhǔn)確所致，后面隨著時(shí)間的延長(zhǎng)，各參數(shù)均收斂于某一固定值。

圖3 間歇放電OCV-SOC曲線Fig.3 Intermittent discharge OCV-SOC curve

圖4 參數(shù)辨識(shí)曲線Fig.4 Parameter identification curves

4.3 模型驗(yàn)證

得到模型參數(shù)辨識(shí)結(jié)果之后，需要對(duì)電池模型進(jìn)行精度驗(yàn)證，這里主要基于HPPC實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證模型的精度。其中，SOC 初始值為80%，電流大小取1 C，實(shí)驗(yàn)的電流波形如圖5所示，圖6是實(shí)際電壓和模型估計(jì)電壓波形對(duì)比圖。

圖5 HPPC電流波形Fig.5 HPPC current waveform

圖6 實(shí)際電壓和估測(cè)電壓對(duì)比圖Fig.6 Comparison of actual voltage and estimated voltage

由圖6可知，電流發(fā)生突變時(shí)，模型估測(cè)電壓波形可以很好地追蹤電池實(shí)際電壓，該等效模型可用于后續(xù)對(duì)SOC估計(jì)算法的比較和驗(yàn)證。

5 不同工況下SOC估計(jì)驗(yàn)證

對(duì)電池模型驗(yàn)證之后需要驗(yàn)證改進(jìn)后的CDKF算法估算效果。在Matlab 中編寫(xiě)程序分別實(shí)現(xiàn)CDKF算法和改進(jìn)后的CDKF算法，選擇在恒流放電，動(dòng)態(tài)放電工況下對(duì)算法估計(jì)準(zhǔn)確性進(jìn)行驗(yàn)證，針對(duì)每種工況設(shè)置不同的SOC 初始值，對(duì)算法收斂性進(jìn)行驗(yàn)證。

5.1 恒流放電工況

以0.5 C 恒流放電工況下驗(yàn)證算法估計(jì)荷電狀態(tài)準(zhǔn)確性，電池從全滿(mǎn)狀態(tài)下(SOC=1)恒流放電，為了便于驗(yàn)證電池SOC估算精度，將電池SOC初值設(shè)為1，放電總時(shí)間7200 s，采樣周期為1 s。

圖7表示恒流工況下CDKF算法改進(jìn)前后對(duì)電壓的估計(jì)結(jié)果，圖8 是CDKF 算法和改進(jìn)的CDKF算法估計(jì)電壓的誤差對(duì)比結(jié)果。由圖7可知，基于二階RC 電路模型CDKF 算法和改進(jìn)的CDKF 算法都可以獲得較準(zhǔn)確的估計(jì)結(jié)果。由圖8 可得CDKF算法最大估算誤差為1.77%，改進(jìn)后的CDKF算法最大估算誤差為1.27%，改進(jìn)后的CDKF算法取得更好的估計(jì)效果。

圖7 恒流工況下時(shí)電壓隨時(shí)間的變化關(guān)系Fig.7 The relationship of voltage with time under constant current condition

圖8 恒流工況下電壓估算誤差對(duì)比曲線Fig.8 Estimation error of voltage comparison curves under constant current condition

圖9表示荷電狀態(tài)已知時(shí)，即荷電狀態(tài)初值為1時(shí)的恒流放電實(shí)驗(yàn)的估計(jì)結(jié)果，圖10是CDKF算法和改進(jìn)的CDKF算法荷電狀態(tài)的估計(jì)誤差對(duì)比結(jié)果。由圖9 可知，基于二階RC 電路模型CDKF 算法和改進(jìn)的CDKF算法都可以獲得較準(zhǔn)確的估計(jì)結(jié)果。恒流工況下，電流波動(dòng)很小，系統(tǒng)噪聲相對(duì)較小，由圖10 可得CDKF 算法最大估算誤差為2.08%，改進(jìn)后的CDKF 算法最大估算誤差為1.38%，精度提高了0.7%。相比較CDKF 算法，改進(jìn)后的CDKF算法的估計(jì)值更接近實(shí)際值，估算過(guò)程平穩(wěn)，取得更好的估計(jì)效果。

綜合恒流工況下電壓和SOC估算結(jié)果，求得算法改進(jìn)前后誤差值，具體數(shù)據(jù)如表2所示，主要包括均方根誤差(RMSE)和平均絕對(duì)誤差(MAE)。由表2中相關(guān)數(shù)據(jù)可知，在RMSE、MAE 方面數(shù)據(jù)可知，改進(jìn)的CDKF算法估算偏差更小，更具有優(yōu)勢(shì)。

圖9 恒流工況下SOC隨時(shí)間的變化關(guān)系Fig.9 The relationship of SOC with time under constant current condition

圖10 SOC估算誤差對(duì)比曲線Fig.10 Estimation error of SOC comparison curves

表2 恒流工況下電壓和SOC估計(jì)誤差比較Table 2 Estimation error of Voltage and SOC comparison under constant current condition

5.2 動(dòng)態(tài)工況

電動(dòng)汽車(chē)行駛中的環(huán)境復(fù)雜多樣，動(dòng)態(tài)工況模擬實(shí)際電動(dòng)汽車(chē)運(yùn)行情況，不是單一的充電或放電過(guò)程，包含充電和放電的交替過(guò)程，在動(dòng)態(tài)工況下充放電電流是不斷變化的。圖11 表示動(dòng)態(tài)工況下CDKF 算法改進(jìn)前后對(duì)電壓的估計(jì)結(jié)果，圖12 為CDKF算法和改進(jìn)的CDKF算法電壓的估計(jì)誤差對(duì)比結(jié)果。由圖12 可得CDKF 算法最大估算誤差為2.69%，改進(jìn)后的CDKF 算法最大估算誤差為2.06%，改進(jìn)后的CDKF 算法取得更好的估計(jì)效果。

圖11 動(dòng)態(tài)工況下時(shí)電壓隨時(shí)間的變化關(guān)系Fig.11 The relationship of voltage with time under dynamic condition

圖12 動(dòng)態(tài)工況下時(shí)電壓估算誤差對(duì)比曲線Fig.12 Estimation error of voltage comparison curves under dynamic condition

在動(dòng)態(tài)工況實(shí)驗(yàn)中，已知荷電狀態(tài)初始值時(shí)SOC估計(jì)結(jié)果如圖13所示，圖14為CDKF算法和改進(jìn)的CDKF算法在動(dòng)態(tài)工況下荷電狀態(tài)的估計(jì)誤差對(duì)比結(jié)果。由圖14 可得CDKF 算法的最大估計(jì)誤差為2.79%，改進(jìn)的CDKF算法最大估計(jì)誤差為1.63%，精度提高了1.16%，由此可知改進(jìn)后的CDKF 算法估計(jì)結(jié)果更接近真實(shí)值，估算誤差更小，表明在變電流情況下，該算法仍然具有較高的準(zhǔn)確度。

圖13 動(dòng)態(tài)工況下SOC隨時(shí)間的變化關(guān)系Fig.13 The relationship of SOC with time under dynamic condition

圖14 動(dòng)態(tài)工況下SOC估算誤差對(duì)比曲線Fig.14 Estimation error of SOC comparison curves under dynamic condition

綜合動(dòng)態(tài)工況下電壓和SOC估算結(jié)果，求得算法改進(jìn)前后誤差值，具體數(shù)據(jù)如表3所示。由表3中數(shù)據(jù)可知，在RMSE、MAE 方面算法改進(jìn)后的數(shù)值均小于算法改進(jìn)前數(shù)值，表明了改進(jìn)后CDKF估算效果更好。

表3 動(dòng)態(tài)工況下電壓和SOC估計(jì)誤差比較Table 3 Estimation error of Voltage and SOC comparison under dynamic condition

5.3 算法魯棒性比較

相比庫(kù)侖積分法，卡爾曼濾波方法優(yōu)勢(shì)在于即使初始值設(shè)置不同也可以自動(dòng)跟蹤到真實(shí)值附近，但跟蹤速度是不確定的。這里仍以恒流工況和動(dòng)態(tài)工況為例，設(shè)定SOC 初始值為非真實(shí)初始值，這里SOC值設(shè)置為80%。

圖15 表示恒流工況和動(dòng)態(tài)工況下電池荷電狀態(tài)初始狀態(tài)未知時(shí)SOC 隨時(shí)間的變化關(guān)系曲線。從圖中可以看出改進(jìn)的CDKF 算法從SOC 初始值跟蹤到實(shí)際值的時(shí)間更短，收斂速度比CDKF算法快，說(shuō)明改進(jìn)的CDKF算法修正能力更強(qiáng)，具有更好的魯棒性，這也從側(cè)面說(shuō)明了改進(jìn)后的CDKF算法精度更高。

圖15 初始狀態(tài)未知時(shí)SOC隨時(shí)間的變化關(guān)系Fig.15 The relationship of SOC with time when the initial state is unknown

6 結(jié)論

針對(duì)中心差分卡爾曼濾波算法(CDKF)存在較大線性誤差問(wèn)題，本文提出一種改進(jìn)的CDKF 算法。在原算法中引入迭代濾波思想，多次利用測(cè)量信息更新?tīng)顟B(tài)量估算值，使得觀測(cè)信息不斷迭代更新，基于LM 優(yōu)化方法不斷修正協(xié)方差矩陣，有效減小了線性誤差。在恒流工況和動(dòng)態(tài)工況下對(duì)CDKF算法和改進(jìn)后的CDKF算法進(jìn)行驗(yàn)證。對(duì)于電池SOC 值估計(jì)，在恒流工況下，CDKF 算法估計(jì)最大誤差是2.08%，改進(jìn)后的CDKF算法最大估計(jì)誤差為1.38%，精度提高了0.7%；在動(dòng)態(tài)工況下，CDKF 算法估計(jì)最大誤差是2.79%，改進(jìn)后的CDKF 算法最大估計(jì)誤差為1.63%，精度提高了1.16%，兩種工況下改進(jìn)后的算法估算精度都高于CDKF 算法，在動(dòng)態(tài)工況下表現(xiàn)效果更明顯。此外，通過(guò)不同的荷電狀態(tài)初始值的設(shè)定，對(duì)兩種算法魯棒性進(jìn)行比較，結(jié)果表明改進(jìn)后的CDKF算法魯棒性高于原CDKF算法，綜上所述，經(jīng)過(guò)改進(jìn)的CDKF 算法在收斂速度和估計(jì)準(zhǔn)確度方面更有優(yōu)勢(shì)，具有更好的應(yīng)用前景。