多脫層復(fù)合材料層合板的固有頻率計算

薛江紅 姚思詩 金福松 夏飛 何贊航

(暨南大學(xué) 力學(xué)與建筑工程學(xué)院∥重大工程災(zāi)害與控制教育部重點實驗室，廣東 廣州 510632)

振動特性作為結(jié)構(gòu)固有屬性直接與其使用功能和應(yīng)用范圍密切相關(guān)。有關(guān)薄板的振動問題，國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)做了大量的研究工作。Gorman等[1]運用疊加法解答了各種不同邊界條件組合下彈性板的自由振動問題；Kumar等[2]采用動態(tài)剛度法研究了功能梯度矩形薄板的自由振動特性；Shi等[3]應(yīng)用一階剪切變形理論與人工虛擬彈簧技術(shù)相結(jié)合，研究了任意四邊形直板的自由振動特性；Kemal等[4]用調(diào)和微分求積法以及離散奇異卷積法這兩種數(shù)值方法，研究了環(huán)形和環(huán)形扇形層板的自由振動分析；Li等[5]將Hamilton體系理論與疊加法結(jié)合，提出了辛一疊加方法來分析薄板的振動問題；Vidal等[6]將位移場近似為各坐標(biāo)分離函數(shù)之和，用迭代過程解決復(fù)合材料層合板的非線性自由振動問題；Joshi等[7]用有限元法對均布載荷作用下的層合板逐層失效過程進行了自由振動分析；Xing等[8]提出了擴展變量分離法,來求解具有任意齊次邊界條件的正交各向異性矩形薄板自由振動問題的封閉解析解。

脫層是復(fù)合材料層合板最主要的損傷形式之一。自從1976年Kachanov[9]提出復(fù)合材料層合板脫層的失效問題，以及1981年Chai等[10]首次建立一維梁的脫層分析模型起，不少學(xué)者也對復(fù)合材料層合板的脫層問題進行研究。Kharghani等[11]采用分層高階剪切變形理論(LHSDT)，分析了不同邊界條件對復(fù)合材料層合板在彎曲載荷作用下的影響；Zhong等[12]、田斌[13]構(gòu)造了一種新的解析方法——有限積分變換法；Medikonda等[14]采用層合板層漸進破壞準則建立了一個應(yīng)變率相關(guān)的微觀模型，模擬脫層的擴展；K?llner等[15]采用總勢能原理研究含脫層和基體裂紋層的正交鋪設(shè)層合板的后屈曲和損傷增長；Xue等[16]提出了一種改進的Fourier級數(shù)法來求解任意邊界條件下的中厚復(fù)合材料層合板的振動分析；Oliazadeh等[17]將梁函數(shù)用作簡支邊界條件的近似建立圓柱殼的振動微分方程，并與實驗結(jié)果進行對比；Sheng等[18]利用一階剪切理論，采用“剛度均攤”法分析了功能梯度材料加筋圓柱殼的動力穩(wěn)定性和非線性振動問題；Lee等[19]基于Donnell殼體理論建立薄壁圓柱殼的振動微分方程，并推導(dǎo)出質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的顯式表達式。由于接觸力大小以及作用范圍的不確定，上述文獻中對含脫層層合板的主要研究方法為數(shù)值解法以及實驗方法，而金福松等[20- 21]通過分析脫層界面的變形機制，運用復(fù)合材料微觀力學(xué)，建立了脫層界面上下子板變形撓度與接觸力之間的定量關(guān)系，并分解出宏、微觀的多尺度變形模態(tài)，通過分析分層上下子板的屈曲模態(tài)，提出基于剛度等效的等代化模型。

本文通過分析含單脫層復(fù)合材料層合板的自由振動問題，建立了等代化模型，并將三分區(qū)等效模型推廣應(yīng)用到含多分層損傷的復(fù)合材料層合板的自由振動分析中。在滿足邊界條件和連續(xù)性條件的前提下，利用時間和空間分離的方法求解控制方程。通過編寫MATLAB程序求解固有頻率，同時進行ABAQUS有限元分析，驗證等效模型的有效性，并討論脫層深度、脫層長度、脫層位置等參數(shù)對含多脫層復(fù)合材料層合板固有頻率的影響。

1 基本方程

圖1所示為含單個沿寬度貫穿脫層的復(fù)合材料層合板，層合板為四邊簡支，長度為a，寬度為b，鋪層數(shù)為n，單層板厚度為h0，總厚度為h，鋪層方式為正交對稱鋪設(shè)。由于脫層的存在，可將層合板視為4個部分，分別為子板Ω1、Ω2、Ω3、Ω4。

(1)

圖1 四分區(qū)模型

(2)

(3)

(4)

式中，N(i)和M(i)分別為第i個子板的薄膜內(nèi)力和彎曲內(nèi)力，具體參見文獻[22]，薄膜剛度A(i)和彎曲剛度D(i)為

(5)

式中，ni為第i個子板的脫層數(shù)目。

2 等代化理論

2.1 精確模型

在一定的面內(nèi)壓縮荷載和面外荷載的共同作用下，層合板將產(chǎn)生面外彎曲變形。由于子板Ω2和Ω3的彎曲剛度不相等，導(dǎo)致其彎曲變形不同，從而在分層界面處產(chǎn)生接觸。子板Ω2和Ω3接觸時，它們之間的接觸效應(yīng)會對子板Ω2產(chǎn)生一個向上的接觸力q，對子板Ω3產(chǎn)生一個向下的接觸力q。接觸力q將引起子板Ω2和Ω3的厚度改變，其厚度改變量分別為δ(2)與δ(3)：

(6)

(7)

因此，接觸力q的大小與子板Ω2和Ω3的面外彎曲撓度存在著如下的關(guān)系：

q=kc(w(2)-w(3))

(8)

其中，kc為接觸系數(shù)，w(2)和w(3)分別是子板Ω2和子板Ω3在z方向上的位移，且有

(9)

其中，h=h2+h3，E22為2方向上的楊氏模量[22]。根據(jù)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)力學(xué)，子板Ωi在橫向振動時的平衡微分方程為

(10)

式中，Q(i)為第i個區(qū)域的薄膜內(nèi)力，mi為該子板單位面積上的質(zhì)量，

(11)

將式(4)中的M(i)和式(8)中的q代入式(10)中，并進行整理。由于薄板的自由振動為小撓度的線性問題，可以不考慮面內(nèi)的薄膜變形，即N(i)=0 N，從而得到考慮接觸效應(yīng)后脫層板各子板橫向振動時的控制方程：

(12)

脫層板為四邊簡支，各子板之間必須滿足彎矩和剪力的平衡條件以及撓度和轉(zhuǎn)角的連續(xù)性條件，故有如下的定解條件：

(13)

(14)

(15)

(16)

式中，w,x為子板的轉(zhuǎn)角。為求解上述振動方程，將各子板位移設(shè)為滿足邊界條件的單重三角函數(shù)：

(17)

式中，ω為脫層板的固有頻率，φ為脫層板自由振動的初相位角。將式(17)代入式(12)，運用分離變量法求解。

2.2 等效模型

由式(12)可以看出，子板Ω2和Ω3的控制方程是聯(lián)立的，若要求解式(12)，則不僅需要解耦，而且必須滿足各子板之間的平衡條件和連續(xù)性條件(式(13)-(16))。金福松等[20- 21]采用式(8)所建立的接觸效應(yīng)，在前期對含脫層層合板的非線性振動、屈曲以及后屈曲問題進行了研究，結(jié)果表明：①子板Ω2和Ω3的屈曲模態(tài)由宏觀模態(tài)和微觀模態(tài)組成，并且微觀模態(tài)遠遠大于宏觀模態(tài)。為了使兩種模態(tài)對整體的屈曲模態(tài)有相當(dāng)?shù)挠绊懀暧^模態(tài)的系數(shù)必須遠遠大于微觀模態(tài)的系數(shù)；②子板Ω2和Ω3的宏觀模態(tài)完全一致，這表明子板Ω2和Ω3的宏觀變形也完全一致，不會產(chǎn)生張口式的擴展；③由于分層界面上的剪應(yīng)力會導(dǎo)致面內(nèi)滑移，脫層的擴展方式是Ⅱ型擴展而不是Ⅰ型擴展。

根據(jù)他們的精確模型研究結(jié)果，文中考慮將層合板中含脫層的區(qū)域等效為一個鋪層方式一致的整板，整板的長度、寬度與子板Ω2、Ω3一致，高度為子板Ω2與Ω3的疊加，剛度D(e)為子板Ω2的剛度D(2)與子板Ω3的剛度D(3)之和，即

D(e)=D(2)+D(3)

(18)

圖2為該脫層板的等代化模型示意圖。由于脫層上下兩個子板Ω2和Ω3被替換成無脫層的整板Ωe，因此方程(12)中不需要考慮接觸力q的影響，從而解除了子板Ω2和Ω3控制方程的耦合作用。

圖2 三分區(qū)模型

2.3 有效性驗證

為了驗證精確模型的精確性，文中根據(jù)經(jīng)典層合板理論得到無脫層層合板的最小自振頻率，并與精確解以及有限元解進行對比驗證。為了驗證等效模型的精確性，分別采用精確模型、等效模型和有限元模型計算某一層合板的固有頻率。

層合板的幾何參數(shù)為h0=0.002 m，a=2 m，b=2 m，鋪設(shè)方式為[0°/90°/0°]20，故h=0.12 m。材料參數(shù)密度ρ=2 150 kg/m3，1方向上的楊氏模量E1=140 GPa，2方向上的楊氏模量E2=10 GPa，面內(nèi)剪切模量G12=5 GPa，12方向泊松比μ12=0.3。為了求解無脫層層合板最小自振頻率的精確解，可以令脫層深度為0.006 m，脫層長度為0.001 m，這時可認為脫層影響可以忽略不計，計算的結(jié)果可以近似為無脫層層合板的最小自振頻率。最小自振頻率的經(jīng)典解、精確解和有限元解分別為775.55、776.00和750.63 rad/s，由此可以看出，精確解與經(jīng)典解之間的差別非常小。

有限元分析采用ABAQUS商業(yè)軟件進行建模。建模時，采用精確模型，在無脫層的區(qū)域各建立一個子板，含有單脫層的區(qū)域建立兩個子板。在脫層上下子板間施加法向約束以防止貫穿，模擬脫層。每個子板都有其獨立的坐標(biāo)系，4個子板為單獨的殼單元，為了使4個子板在變形過程中保持位移連續(xù)，將子板Ω1與Ω2、Ω3通過添加綁定連接在一起，同理子板Ω4與Ω2、Ω3也添加綁定。在板的四周施加四邊簡支的邊界條件，即可得到如圖3所示的ABAQUS有限元模擬結(jié)果。

圖3 層合板的固有頻率有限元模擬結(jié)果

表1給出了當(dāng)l1=l3，l2分別為0.4、0.6和1.2 m時，含有單脫層層合板固有頻率的等效模型解、精確解以及有限元解的對比。其中，ωe為等效模型解，ωex為精確模型解，ωf為有限元解。由表1可得，精確解與等效模型解、有限元解吻合得較好，并且精確解與等效模型解的誤差小于4.87%。

表1 固有頻率精確解與等效模型解的對比Table 1 Comparison of natural frequency between the exact model and the equivalent model

3 含多脫層層合板自由振動的基本方程

圖4所示為含多個沿寬度貫穿脫層的復(fù)合材料層合板，其幾何尺寸和鋪設(shè)方式與含單脫層層合板的情況一致。根據(jù)脫層情況，層合板被沿x方向分為N個區(qū)域，每個區(qū)域含有nN個貫穿脫層。根據(jù)等代化理論，每一個區(qū)域都可以等效成為一個不含脫層的整板。在一定面外荷載的作用下處于平衡位置的層合板，受到干擾力的作用而偏離這一位置，當(dāng)去除干擾力后，薄板在平衡位置附近作微幅振

圖4 含多脫層的復(fù)合材料層合板的精確模型

動。等效之后的各區(qū)域是不含脫層的整板，則區(qū)域I自由振動的控制方程為

(19)

其中，各區(qū)域的剛度折減為

(20)

各區(qū)域之間的平衡條件和連續(xù)性條件也簡化為

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

式中，lI為區(qū)域I的寬度，λ(I)為區(qū)域I的模態(tài)參數(shù)，且有

λ(I)=

(26)

式(25)必須滿足邊界條件(21)、(22)和連續(xù)性條件(23)、(24)，由此可得：

R(ω)X=0

(27)

4 算例分析

在算例分析部分，層合板的幾何尺寸、鋪層方式以及材料參數(shù)與前文一致。在有限元分析部分，對于含多脫層的層合板，每一個脫層上下的子板之間都要施加法向約束，如圖5(a)所示；在每兩個區(qū)域的交界處都要添加綁定，連接成一個完整的層合板，如圖5(b)所示。

圖5 含多脫層層合板的有限元分析模型

4.1 多個水平向脫層的分析

圖6為含水平向雙脫層的復(fù)合材料層合板的示意圖，其中脫層長度分別為ld1、ld2，脫層深度均為h1。

圖6 水平向雙脫層復(fù)合材料層合板示意圖

4.1.1 脫層長度與深度對固有頻率的影響

圖7(a)顯示了當(dāng)l1=l3，l2=0.3 m，含有兩個等長脫層的復(fù)合材料層合板，即ld1=ld2時，在不同的脫層深度h1下，其固有頻率隨脫層總長度2ld1的變化情況。圖7(b)給出了當(dāng)脫層總長度ld1+ld2=0.8 m且保持不變時，含脫層的復(fù)合材料層合板的固有頻率隨ld1變化的曲線。從圖7(a)

圖7 含脫層層合板固有頻率隨脫層長度的變化

中可以看出：當(dāng)脫層深度不變時，固有頻率隨著脫層總長度的增大而減小，并且脫層的深度越大，脫層長度對固有頻率的影響越大。這是由于脫層總長度增加時，含脫層的子板尺寸占總體比例增加，導(dǎo)致層合板整體的剛度減小。而在脫層總長度ld1+ld2恒定時，如圖7(b)所示，層合板的固有頻率隨ld1的增大先增大后減小，并且在ld1=ld2時層合板的固有頻率取到最大。這表明在脫層總長度ld1+ld2恒定時，含脫層的復(fù)合材料層合板的固有頻率主要取決于所有脫層中的最大長度。

圖8給出了當(dāng)l2=0.3 m時，含有對稱、等長脫層的層合板(ld1=ld2，l1=l3)自振頻率隨脫層深度變化的情況。從圖中可以看出，當(dāng)脫層總長度不變時，自振頻率隨著脫層深度的增大先減小后增大。當(dāng)h1=0.06 m，即脫層發(fā)生在中面時，層合板的自振頻率達最小。這是由于脫層發(fā)生在中面以上時，位于脫層之下的區(qū)域的剛度(圖6中顏色較深的區(qū)域)對脫層板的剛度起主導(dǎo)作用，隨著脫層深度的增加，這些區(qū)域的剛度減小，但依然大于位于脫層上部的區(qū)域(圖6中顏色較淺的區(qū)域)的影響，從而導(dǎo)致脫層板的剛度減小。當(dāng)脫層發(fā)生在中面以下時，情況正好相反，圖6中顏色較淺的區(qū)域?qū)γ搶影宓膭偠绕鹬鲗?dǎo)作用，且隨著脫層深度的增加，這些區(qū)域的影響增大，從而導(dǎo)致脫層板的剛度增大。

圖8 含脫層層合板固有頻率隨脫層深度h1的變化

4.1.2 脫層橫向位置對固有頻率的影響

當(dāng)脫層長度ld1=ld2=0.5 m以及脫層深度h1=0.06 m時，在不同的脫層間距離l2下，含脫層的復(fù)合材料層合板的固有頻率隨l1變化的曲線如圖9所示。從圖中可以看出：當(dāng)脫層深度不變時，固有頻率隨著l1的增大先減小后增大，并且在l1=l3時固有頻率最小，這表明脫層越靠近中心位置，自振頻率越小。

圖9 含脫層層合板固有頻率隨l1的變化

表2給出了當(dāng)l1=l3，l2分別為0.2、0.4和0.6 m時，在不同脫層深度下，含有對稱、等長脫層(ld1=ld2=0.5 m)層合板的固有頻率。從表2中可以看出，等效模型解與有限元解的結(jié)果非常接近，并且誤差小于3.86%。

4.2 多個豎直向脫層的分析

圖10為含豎直向等長雙脫層的復(fù)合材料層合板的示意圖，其中脫層長度為ld1，脫層深度分別為h1、h2、0.12-h1-h2。

4.2.1 脫層深度對固有頻率的影響

為了研究脫層深度的變化對層合板固有頻率的影響，考慮脫層深度為對稱(即脫層位于h1/(0.12-2h1)/h1)和不對稱(即h1/h2/(0.12-h1-h2))兩種分布情況。圖11(a)給出了對稱分布情況下，當(dāng)l1=l2時，在不同的脫層長度ld1下，含脫層的復(fù)合材料層合板的固有頻率隨h1的變化情況。從圖中可以看出，當(dāng)脫層長度不變時，固有頻率隨著脫層深度h1的增大先減小后增大。當(dāng)兩個脫層將層合板沿厚度方向3等分(即0.04 m/0.04 m/0.04 m)時，層合板的固有頻率最小。這是由于脫層發(fā)生在層合板上、下兩側(cè)小于1/3處時，位于脫層之間的區(qū)域的剛度(圖10中顏色較深的區(qū)域)對脫層板的剛度起主導(dǎo)作用，隨著脫層深度的增加，該區(qū)域的剛度減小，但依然大于位于脫層上部的區(qū)域(圖10中顏色較淺的區(qū)域)的影響，從而導(dǎo)致脫層板的剛度減小。當(dāng)脫層發(fā)生在層合板沿厚度方向的1/3處與2/3處時，圖10中3部分的影響一樣，層合板的整體剛度此時最小。隨著脫層深度的進一步增加，圖10中顏色較淺的區(qū)域?qū)γ搶影宓膭偠绕鹬鲗?dǎo)作用，這些區(qū)域的影響增大，從而導(dǎo)致脫層板的剛度增大。這表明在脫層長度ld1恒定時，含脫層的復(fù)合材料層合板的固有頻率主要取決于脫層的分布情況，脫層分布得越均勻則固有頻率越小。

圖10 豎直向雙脫層復(fù)合材料層合板示意圖(單位：m)

圖11(b)顯示了在不對稱分布的情況下，當(dāng)l1=l2=0.7 m以及l(fā)d1=0.6 m時，在不同的脫層深度h1下，層合板的固有頻率隨脫層間距離h2的變化。從圖中可以看出，當(dāng)脫層分布為0.024 m/0.024 m/0.072 m、0.024 m/0.072 m/0.024 m、0.072 m/0.024 m/0.024 m時，復(fù)合材料層合板的固有頻率相等。這表明復(fù)合材料層合板的固有頻率與脫層深度沒有絕對的關(guān)系，而是與脫層的分布情況有關(guān)。當(dāng)脫層分布為0.006 m/0.006 m/0.108 m、0.006 m/0.108 m/0.006 m、0.108 m/0.006 m/0.006 m時，復(fù)合材料層合板的固有頻率相等且最大。這表明在3個脫層深度中，當(dāng)一個脫層深度最大、另外兩個脫層深度最小時，復(fù)合材料層合板的固有頻率最大。

表2 含水平向雙脫層層合板固有頻率的等效模型解與有限元解的對比Table 2 Comparison of natural frequency of composite laminates with two horizontal delamination between the equivalent model and the finite elements analysis

圖11 含脫層層合板固有頻率隨脫層深度的變化

表3給出了當(dāng)ld1分別為0.2、0.4和0.6 m時，在不同脫層深度下，脫層深度對稱層合板(即脫層位于h1/(0.12-2h1)/h1處)的固有頻率。從表3中可以看出，等效模型解與有限元解的結(jié)果非常接近，并且誤差小于7.76%。

表3 含豎直向雙脫層層合板固有頻率等效模型解與有限元解的對比Table 3 Comparison of natural frequency of composite laminates with two vertical delamination between the equivalent model and the finite elements analysis

4.2.2 脫層數(shù)目對固有頻率的影響

表4給出了當(dāng)l1=l3=0.85 m，ld1=0.3 m，含有不同脫層數(shù)目時層合板的固有頻率范圍。從表4中可以看出，當(dāng)某相鄰兩個脫層的間距取最大值、其余相鄰脫層距離取最小值時，層合板的固有頻率達到最大值，當(dāng)脫層分布最均勻時，層合板的固有頻率為最小值。如脫層數(shù)為2，脫層位置在0.006 m/0.108 m/0.006 m時，固有頻率最大，在0.04 m/0.04 m/0.04 m時，固有頻率最小。此外，當(dāng)脫層數(shù)目增加時，復(fù)合材料層合板的最大固有頻率以及最小固有頻率均減小。

表5列舉了脫層數(shù)目為2-5時幾種脫層深度情況下層合板的固有頻率。從表中可以看出，含有較少脫層數(shù)目層合板的固有頻率可能會比含脫層數(shù)目多的層合板的固有頻率低。這表明層合板的固有頻率不僅與脫層數(shù)目有關(guān)，還要考慮脫層的分布情況。

表4 脫層數(shù)目對層合板固有頻率的影響Table 4 Effect of different delamination numbers on natural frequency of laminates

表5 層合板固有頻率與脫層數(shù)目及深度的關(guān)系Table 5 Relationship among the natural frequency of laminates，the number and depth of delamination

5 結(jié)論

本文依據(jù)剛度等效理論，對含多個貫穿寬度方向脫層的碳纖維增強樹脂基復(fù)合材料層合板的自由振動問題進行分析。運用板殼理論、復(fù)合材料力學(xué)等基本原理建立各個子區(qū)域的自由振動控制方程，通過開發(fā)MATLAB程序求解，所得的解析解與ABAQUS有限元結(jié)果非常吻合。研究發(fā)現(xiàn)：

(1)對含有多個水平脫層的層合板，隨著脫層總長度增大，層合板的固有頻率隨之減??；當(dāng)脫層總長度恒定時，隨著所有脫層中最大長度的增大，層合板的固有頻率減小。

(2)對于含有多個豎直向脫層復(fù)合材料層合板，脫層之間距離越近，越接近表面時，層合板的固有頻率越大，脫層沿厚度均勻分布層合板的固有頻率最小。

(3)總體來說，脫層數(shù)目越多，層合板的固有頻率越?。坏珜雍习宓墓逃蓄l率同時受脫層間相對深度的影響，因此含有脫層數(shù)目較多的層合板的固有頻率也可能會高于含有脫層數(shù)目較少的層合板的固有頻率。