一種非光滑函數(shù)的二階梯度微分方程求解算法

姚愛娣，王 林

（安徽理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院，安徽 淮南232001）

0 引言

當(dāng)前在物理學(xué)和工程學(xué)中，很多問題都可以歸結(jié)為微分方程的數(shù)學(xué)形式，基于此二階梯度微分方程求解算法也逐漸廣泛地應(yīng)用于函數(shù)優(yōu)化、組合優(yōu)化、自動控制和機器學(xué)習(xí)等科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域.非滑移函數(shù)的二階梯度微分是非滑移分析的重要組成部分，是二階梯度微分算法優(yōu)化問題研究的基礎(chǔ)［1］.考慮到當(dāng)前的經(jīng)典二階梯度微分算法缺少防滑特性，導(dǎo)致該算法不適用于對防滑問題的優(yōu)化解決方面.在此基礎(chǔ)上，提出了一種非光滑函數(shù)的二階梯度微分方程求解算法，通過對各種防滑概念和微分理論進行調(diào)查分析，建立二階梯度微分方程求解的優(yōu)化算法，通過優(yōu)化非光滑函數(shù)及分析力學(xué)結(jié)構(gòu)特征，實現(xiàn)對二階梯度微分方程求解算法的防滑性能和精準(zhǔn)度進行提高的研究要求.

1 二階梯度微分方程求解算法

1.1 凸函數(shù)的一階和二階性質(zhì)定義

在二階梯度微分方程求解算法中，必須考慮目標(biāo)函數(shù)的二階泰勒數(shù)值及凸函數(shù)性質(zhì)特征，以此作為二階導(dǎo)數(shù)性質(zhì)研究的判斷依據(jù).在一般函數(shù)中，由于缺少特征導(dǎo)數(shù)，所以有必要把微分方程中的凸函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)換為非線性的二階導(dǎo)數(shù)［2］.在進行轉(zhuǎn)換的過程中，需要考慮到其收斂性x及收斂速度v，進一步結(jié)合Alexandrov定理對二階梯度微分方程凸函數(shù)性質(zhì)的一階梯度特征和二階梯度特征進行分析判斷，并利用Mignote定理分析二階梯度微分方程中的凸函數(shù)梯度映射參數(shù)ω和梯度的關(guān)系A(chǔ)，同時利用二階梯度微分方程中的次微分外半連續(xù)性特征對凸函數(shù)的二階廣義導(dǎo)數(shù)進行定義，記為f（x）.進一步對差商函數(shù)的一致收斂性及其相關(guān)性特征進行規(guī)范，并制定相應(yīng)的規(guī)范定理，具體如下：

定義1假設(shè)一階梯度微分方程中的凸函數(shù)為f，在節(jié)點x∈intdomf處有一階梯度特征展式，且滿足：

在上述算法中，凸函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)幾乎處處存在，若在點x∈R時，上述算法成立，則進一步在二階偏導(dǎo)數(shù)在intdomf中對將凸函數(shù)次微分的外半連續(xù)性進行推導(dǎo)和轉(zhuǎn)換，從而得到凸函數(shù)的二階性質(zhì)特征，在二階梯度微分方程中，?f點在函數(shù)中的定義可記為：

定義2設(shè)在二階梯度微分方程中的凸函數(shù)收斂性能為f：Rn→R，在每個節(jié)點中都存在y∈intdomf，則有凸函數(shù)的二階線性特征展式，具體為：

定義3進一步將gx設(shè)置為凸函數(shù)的映射函數(shù).g表示點x的微分狀態(tài)，則根據(jù)公式（1）可得u=Tv＊fx.且滿足f（x+ω）≥0，b為二階梯度微分方程中的歐氏閉環(huán)，s為雅可比矩陣.則：

定義4在符合一般微分概念的情況下，根據(jù)定理2對凸函數(shù)特征集合進行規(guī)范，記為E［3］.且滿足E的取值范圍始終在Dmaxf（x+ω）和Dminf（x+ω），且二者差集為零.則：

基于上述定義進行凸函數(shù)的二階梯度特征采集和判斷，以此更好地保證對二階梯度微分方程求解的準(zhǔn)確性［4］.

1.2 非光滑函數(shù)導(dǎo)數(shù)求解算法

基于凸函數(shù)的一階和二階性質(zhì)進一步對非光滑函數(shù)的導(dǎo)數(shù)進行求解，通常情況下，偏微分方程存在無限多個解，在求解過程中極易出現(xiàn)誤差，為解決這一問題，須利用非光滑函數(shù)算法在二階梯度微分方程中添加附加條件，進行結(jié)果篩選［5］.進一步結(jié)合偏微分方程對非光滑函數(shù)導(dǎo)數(shù)的普遍規(guī)律進行分析，在進行導(dǎo)數(shù)求解的過程中，每個凸函數(shù)都存在一個方向?qū)?shù)，在方向?qū)?shù)范圍內(nèi)的有效域中通常缺少非凸函數(shù)，基于此需要進一步將凸函數(shù)的方向?qū)?shù)推導(dǎo)至非凸函數(shù)上，并引入一階廣義導(dǎo)數(shù)和非凸函數(shù)次導(dǎo)數(shù)的概念對其性質(zhì)及相互關(guān)系進行優(yōu)化，具體為：

其中，τ為凸函數(shù)在d點處沿方向，且d∈R.f°（x，d）為狹義方向?qū)?shù)，進一步對其廣義方向?qū)?shù)進行求解，具體為：

進一步對其方向次導(dǎo)數(shù)進行求解，可記為：

進一步對二階梯度微分方程中的完全凸函數(shù)及局部Lipschitz函數(shù)進行優(yōu)化求解，若Df導(dǎo)數(shù)中的二元微分方向為z，凸性函數(shù)的次差為p，局部函數(shù)為k.則進一步從一階方程的一階展開和一階廣義展開出發(fā)，討論二階偏微分方程動力學(xué)模型中凸函數(shù)的非光滑性，并以一維空間中一階偏微分方程的狀態(tài)空間表示為例，分析了凸函數(shù)的性質(zhì)，具體如下：

為保障研究結(jié)果的有效性，進一步對二階梯度微分方程的邊界光滑數(shù)條件進行規(guī)范，可記為：

其中，C1n（a，b）及C2n（a，b）分別表示一階、二階倒數(shù)中的及初始條件，且：

在上述算法中，a表示狀態(tài)變量，b為無窮參數(shù).若在進行非光滑函數(shù)導(dǎo)數(shù)求解的過程中z∈［a，b］，非光滑函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的非線性項為m，ui（y）表示光滑參數(shù)，則進一步對最優(yōu)導(dǎo)數(shù)進行篩查，具體算法為：

基于上述算法對二階梯度微分方程的定解問題進行求解，需要先求出其一般解平滑性導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)定解條件確定微分函數(shù)［6］.結(jié)合分離系數(shù)及非光滑線性算法對二階偏微分方程進行求解，并采用傅立葉級數(shù)求解傅立葉變換積分，以此推導(dǎo)出一維數(shù)學(xué)物理方程的定解，并將其轉(zhuǎn)化為常規(guī)微分方程，以此進一步對二階梯度微分定解進行推導(dǎo).考慮到微分方程的非光滑性特征，在求解的過程中需要對導(dǎo)數(shù)的二階梯度初始條件進行反演.由于當(dāng)前采用的經(jīng)典方程在求解過程中，求解方法大多采用近似值模式進行定解的篩選，因此定解求導(dǎo)結(jié)果容易出現(xiàn)差異，因此需要進一步進行優(yōu)化，基于一階偏微分方程進行二階梯度狀態(tài)的求導(dǎo)，若一階初始條件滿足：

則進一步對非光滑函數(shù)的常規(guī)微分方程的定解進行推導(dǎo)，具體算法為：

基于上述算法進行推導(dǎo)假設(shè)，若一階微分方程中的微分算子是線性的，則導(dǎo)數(shù)的非光滑性擴散特征為線性或仿射狀態(tài)，因此需要進一步對方程求解方法進行條件附加，以實現(xiàn)對二階梯度微分方程的有效求解.

1.3 二階梯度微分方程求解的實現(xiàn)

在二階梯度微分方程的可行域中，結(jié)合非光滑函數(shù)算法進行目標(biāo)函數(shù)值的規(guī)范計算，提高非光滑函數(shù)的適用性.在初始解條件不變的情況下，對二階梯度微分方程特征的聯(lián)合性特征進行連接，并提供相應(yīng)的交換樣本，從而更好地對微分交叉和變異算子進行采集計算［7］.在計算過程中易出現(xiàn)交叉算子部分位元交換現(xiàn)象，需要進行替換，以此求解非光滑函數(shù)二階梯度微分方程的最終結(jié)果.為避免傳統(tǒng)的求解方法中常見的慣性流變量問題，結(jié)合特征變量與線性加爾金法對求導(dǎo)結(jié)果進行配點比對，以提高計算精度.在二階梯度微分方程中，若收斂性變量擬穩(wěn)態(tài)為win，非光滑性動態(tài)信息特征數(shù)值為Gin，梯度慣性流動近似比為Tin.利用非光滑函數(shù)的慣量積分進行奇異性數(shù)值的建模，為提高算法有效性，對微分方程的非光滑性特征進行約束.因此需要對微分方程的非光滑特征約束算法進行優(yōu)化，具體為：

其中，Δx=（x1，x2，…，xt）為非光滑導(dǎo)數(shù)慣性流自變量，ux=u（x1，x2，…，xj）表示未知參數(shù)，m=m1+m2+…+mt表示約束值.

進一步對最大階偏微分方程的組階進行計算，基于微分變量特征可知，未知參數(shù)與偏微分方程簡潔性的關(guān)系，導(dǎo)致偏微分方程有無限多個解，為此需要對其定解預(yù)先設(shè)置定值條件.利用迭代算法實現(xiàn)對定解的快速逼近及誤差控制處理.通過引入多個非光滑特征，進行迭代，并不斷縮小取值范圍，降低誤差數(shù)值，具體算法為：

進一步結(jié)合非光滑函數(shù)的局限性，進行最優(yōu)定解取值范圍推導(dǎo)，具體推導(dǎo)原理如下：

基于上述算法，可有效實現(xiàn)對二階梯度微分方程的進行多次迭代獲取最優(yōu)解的研究目標(biāo)，更好地提高計算結(jié)果的精確度.

2 實驗結(jié)果分析

為驗證本文提出的非光滑函數(shù)的二階梯度微分方程求解算法的實際應(yīng)用效果，通過正交分解統(tǒng)計方法（即經(jīng)典算法）進行對比分析，得到二階梯度微分方程的全局離散空間基函數(shù).結(jié)合傳統(tǒng)的正交主元分解算法進行對比.假設(shè)，K：｛y（zi，t）｝＊Nm-n表示梯度微分方程的動態(tài)性質(zhì)的測量數(shù)據(jù)，｛y（zi，t）｝N表示非光滑性特征，k｛i（za，t）｝n為奇異性數(shù)值，且可以轉(zhuǎn)化約束參數(shù)，則對二階梯度的內(nèi)積時間平均值進行定義，具體如下：

進一步在有限的約束狀態(tài)下進行參數(shù)調(diào)整，獲取奇異值并進行非光滑性分解.將光滑性偏微分方程模型的動態(tài)正交變量進行定義，具體為：

為保障研究結(jié)果準(zhǔn)確有效，通過電子設(shè)備進行求解計算，在計算過程中，輸入兩種求解算法，并分別進行計算，為保障計算結(jié)果準(zhǔn)確，對實驗設(shè)備及運行參數(shù)進行統(tǒng)一規(guī)范，具體如表1所示.

表1 實驗參數(shù)設(shè)置

基于上表信息進一步對實驗內(nèi)容進行了對比分析.由于二階梯度微分方程的求解結(jié)果常常受到靜態(tài)誤差和動態(tài)誤差的影響，基于此，分別對兩種誤差影響下的計算結(jié)果進行對比記錄，其中，對兩種方法下的靜態(tài)誤差檢測結(jié)果進行記錄和分析，具體如圖1所示.

圖1 靜態(tài)誤差結(jié)果對比檢測

基于上圖檢測結(jié)果進行分析不難發(fā)現(xiàn)，相對于經(jīng)典算法而言，本文提出的非光滑函數(shù)的二階梯度微分方程求解算法在實際應(yīng)用過程中，靜態(tài)誤差檢測數(shù)值明顯更低，且收斂性也明顯優(yōu)于經(jīng)典算法.進一步對比兩種方法下的動態(tài)誤差檢測結(jié)果，并進行記錄，具體檢測結(jié)果如圖2所示.

圖2 動態(tài)誤差對比檢測結(jié)果

根據(jù)圖2可以看出，本文提出的非光滑函數(shù)的二階梯度微分方程求解算法，在計算過程中動態(tài)誤差數(shù)值相對于經(jīng)典算法而言，誤差率相對更低且收斂性更好.基于圖1、圖2的檢測結(jié)果進行對比分析可以發(fā)現(xiàn)，非光滑函數(shù)的二階梯度微分方程求解算法在實際應(yīng)用過程中，誤差明顯更低，由此證實，非光滑函數(shù)的二階梯度微分方程求解算法計算結(jié)果的準(zhǔn)確性相對更高，充分滿足研究要求.

3 結(jié)語

利用非光滑函數(shù)求解二階梯度微分方程，基本思想是：首先利用最小二乘原理，將微分方程的求解問題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題，求出最小值，然后利用非光滑函數(shù)進行演化計算.通過算例實驗進行對比檢測表明，本文提出的非光滑函數(shù)的二階梯度微分方程求解算法具有較高的計算精度，為常微分方程的求解開辟了一條新的途徑，既可以得到方程的近似解析表達式，又可以準(zhǔn)確得到定義域內(nèi)任意指定位置的近似解.對比檢測證實，文中提出的非光滑函數(shù)的二階梯度微分方程求解算法具有很好的實用價值.研究證實本文提出的非光滑函數(shù)下的二階梯度微分方程算法在實際應(yīng)用過程中，具有較大的發(fā)展空間.但是，目前非光滑函數(shù)的二階梯度微分方程求解算法的在實際應(yīng)用中仍受到較多局限，算法的精度也仍有待提高，需要繼續(xù)進行改進和完善.