正態(tài)分布變差系數(shù)的置信區(qū)間研究★

徐曉嶺，顧蓓青，王蓉華

（1.上海對外經(jīng)貿(mào)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與信息學(xué)院，上海 201620；2.上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院，上海 200234）

0 引言

在可靠性工程研究中經(jīng)常要用到變差系數(shù)、可靠度和可靠壽命的特征量，其置信區(qū)間的研究引起了廣泛興趣。變差系數(shù)是一個(gè)應(yīng)用較廣的參數(shù)，由于這一參數(shù)能很好地反映變量取值的分散程度，因此它是衡量產(chǎn)品質(zhì)量穩(wěn)定性的一個(gè)重要的可靠性指標(biāo)。針對全樣本場合，周源泉等編制了航天行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)QJ 1355—1988《正態(tài)分布變差系數(shù)置信上限》，徐福榮等也編制了相同名稱的國家標(biāo)準(zhǔn)GB/T 11791—1989。周源泉與翁朝曦在文獻(xiàn)[1]中研究了正態(tài)分布變差系數(shù)的置信上限插值問題。周源泉在文獻(xiàn)[2]中推導(dǎo)了正態(tài)變差系數(shù)的經(jīng)典精確限，為了滿足工程實(shí)踐的需要，利用Odeh和Owen的計(jì)算方法及Brent算法，給出了較高精度的近似限。周源泉與李寶盛在文獻(xiàn)[3]中針對正態(tài)分布的II型截尾樣本在正態(tài)均值μ＞0時(shí)，首次給出了正態(tài)變差系數(shù)的精確上限。孫祝嶺在文獻(xiàn)[4]中研究了正態(tài)分布的變差系數(shù)估計(jì)問題，提出了一個(gè)新的樞軸量來構(gòu)造變差系數(shù)的經(jīng)典置信區(qū)間，給出了正態(tài)分布變差系數(shù)的具有簡單表達(dá)式的精確置信區(qū)間。但文獻(xiàn)[4]也存在一些問題：首先，其認(rèn)為所給出的表達(dá)式很簡單，實(shí)際上其計(jì)算也是較為麻煩的；其次，該計(jì)算方法依賴于樣本數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次序，也就是說，雖然樣本數(shù)據(jù)相同，但如果出現(xiàn)的次序不一樣，則其也會(huì)產(chǎn)生不同的計(jì)算結(jié)果；從其中所給出的算例來看，其不僅在計(jì)算置信下限時(shí)發(fā)生錯(cuò)誤，而且其置信區(qū)間長度較長，計(jì)算結(jié)果并不可信。

首先，本文研究了正態(tài)分布均值μ與方差σ2的聯(lián)合置信域，該聯(lián)合置信域具有較好的優(yōu)良性，在大樣本場合其面積和已有的置信域的面積非常接近。其次，給出了變差系數(shù)的置信區(qū)間、單側(cè)置信下限和單側(cè)置信上限，并通過實(shí)例說明了該方法的具體應(yīng)用。

1 正態(tài)分布均值μ與方差σ2的聯(lián)合置信域

正態(tài)分布參數(shù)的聯(lián)合置信域的研究成果不多，主要原因是其置信域形式復(fù)雜。陳光曙在文獻(xiàn)[5]中得到了對數(shù)正態(tài)分布總體參數(shù)的聯(lián)合置信域和置信域的面積公式。由此可知，如果將對數(shù)正態(tài)分布取對數(shù)即為正態(tài)分布，所以利用文獻(xiàn)[5]可以得到兩個(gè)參數(shù)的聯(lián)合置信域。馬春琳在文獻(xiàn)[6]中研究了正態(tài)分布兩個(gè)參數(shù)的面積最小的聯(lián)合置信域。

設(shè)總體X～N（μ，σ2），X1，X2，…，Xn為總體X的容量為n的一個(gè)簡單隨機(jī)樣本，記：

1.1 定理1

設(shè)總體X～N（μ，σ2），X1，X2，…，Xn為總體X的容量為n的一個(gè)簡單隨機(jī)樣本，則在給定置信水平1-α下，參數(shù)（μ，σ2）的聯(lián)合置信域G1為：

仔細(xì)觀察兩個(gè)參數(shù)（μ，σ2）的聯(lián)合置信域G1可以發(fā)現(xiàn)，其中先給出方差σ2的區(qū)間，然后利用兩個(gè)樞軸量的獨(dú)立性得到均值μ依賴于方差σ2的一個(gè)區(qū)間。由于通常方差σ2的估計(jì)S2數(shù)值會(huì)相對大一些，方差σ2的區(qū)間也會(huì)長一點(diǎn)（造成的原因是χ2（n-1）分布不對稱，如此處理得到的方差σ2的置信區(qū)間不是最短的），進(jìn)而造成均值μ的區(qū)間也會(huì)相應(yīng)地變長。由此聯(lián)合置信域G1的面積SG1會(huì)變得更大。