扭曲型材腹板曲面幾何模型研究

王全華 李培勇 呂 浩 張文杰

(武漢理工大學(xué)產(chǎn)業(yè)集團(tuán)有限公司1) 武漢 430063) (武漢易華船舶設(shè)計(jì)有限公司2) 武漢 430063) (武漢理工大學(xué)交通學(xué)院3) 武漢 430063)

0 引 言

船舶上數(shù)量眾多的型材構(gòu)件是支撐船體外板、保證船舶形狀和承受載荷的重要結(jié)構(gòu)件，而且在腹板平面內(nèi)具有彎曲形狀，還有少量的具有扭曲形狀，甚至是既彎又扭的彎扭構(gòu)件.扭曲結(jié)構(gòu)件主要分布在船艏或艉區(qū)域內(nèi).扭曲狀型材構(gòu)件的出現(xiàn)，在結(jié)構(gòu)形式上保證型材腹板與船體外板呈正交關(guān)系，使船體結(jié)構(gòu)具有更大的承載能力，而且正交結(jié)構(gòu)有利于型材構(gòu)件和船體板的裝配，避免腹板與外板之間出現(xiàn)較小的裝配角度，影響裝配.

扭曲型材構(gòu)件在艦船上使用較多，加工工藝復(fù)雜，缺乏專用加工設(shè)備，生產(chǎn)中一般通過人工操作壓力機(jī)借助特殊工裝完成.這種工作方式依賴于人工經(jīng)驗(yàn)，效率低，成本高，質(zhì)量不夠穩(wěn)定，因此，企業(yè)迫切希望研制出用于扭曲型材加工的自動(dòng)化設(shè)備.為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，需要做很多工作，其中重要的一項(xiàng)是掌握扭曲型材的幾何特點(diǎn).

彎扭構(gòu)件常見的形式是箱形截面空間彎扭構(gòu)件[1]，例如，中國(guó)國(guó)家體育館的鋼結(jié)構(gòu)[2].不過，船舶扭曲構(gòu)件和上述箱形截面空間彎扭構(gòu)件的設(shè)計(jì)方法、幾何形狀表達(dá)方式等方面存在較大的差異.迄今，尚未看到相關(guān)的文獻(xiàn)資料.因此，需要針對(duì)船舶彎扭構(gòu)件的幾何問題進(jìn)行專項(xiàng)研究.

常用的船舶型材包括T型材、角鋼和球扁鋼等薄壁材料，其中角鋼和T型材由腹板和面板組成，球扁鋼則包括球頭和腹板.型材扭曲加工過程中，面板(或球頭)和腹板一起變形.根據(jù)裝配的要求，加工時(shí)一般以腹板曲面形狀符合設(shè)計(jì)要求作為加工目標(biāo)，對(duì)面板形狀則不做專門要求.并且，由于薄壁型材腹板的厚度遠(yuǎn)小于其平面尺寸，所以可忽略其厚度的影響.

文中以扭曲型材腹板曲面的幾何特征作為主要研究?jī)?nèi)容，分析了扭曲型材構(gòu)件的截面特征，采用雙三次B樣條對(duì)腹板曲面進(jìn)行幾何建模，從理論上證明了扭曲型材構(gòu)件腹板曲面的任意橫剖線都是直線[3]，其腹板曲面具有直紋面特征，可以采用直紋面進(jìn)行建模.

1 扭曲型材幾何特征分析

不考慮型材的板厚，在整數(shù)肋位剖切扭曲型材，見圖1.其剖面線具有以下特征：①腹板和面板剖線均屬于直線，長(zhǎng)度分別為腹板高度和面板寬度；②面板剖線與腹板剖線垂直，腹板剖線與肋骨型線垂直.

圖1 扭曲型材剖面圖

分析扭曲縱向構(gòu)件在不同肋位處的腹板剖線，可看出屬于異面直線.分別順次連接整數(shù)肋位腹板剖線上相應(yīng)的兩個(gè)端點(diǎn)，得到型材構(gòu)件的外口線和內(nèi)口線，見圖2.其中外口線即型材與船體外板的裝配線.船舶設(shè)計(jì)時(shí)，通常只定義外口線與肋骨剖面交點(diǎn)的坐標(biāo)，放樣時(shí)再確定內(nèi)口線.

圖2 腹板的外口線和內(nèi)口線

2 B樣條曲線曲面

B樣條曲面是張量積曲面，它是由兩個(gè)方向上的控制點(diǎn)網(wǎng)格、兩個(gè)節(jié)點(diǎn)矢量和單變量B樣條基函數(shù)的乘積定義的，其曲面方程為[4-6]

(1)

式中：Pi,j(i=0,1,…,n;j=0,1,…,m)為(1+n)×(1+m)的控制點(diǎn)陣列；Ni,p(u)為定義在節(jié)點(diǎn)矢量U上的p次B樣條基函數(shù)；Nj,p(v)為定義在節(jié)點(diǎn)矢量V上的q次B樣條基函數(shù).節(jié)點(diǎn)矢量U和V為

(s=n+p+1)

(t=m+q+1)

B樣條曲面的反算是指已知一組矩形陣列的數(shù)據(jù)點(diǎn)，求解一個(gè)通過所有數(shù)據(jù)點(diǎn)的B樣條曲面.反算過程分為節(jié)點(diǎn)矢量的確定和控制點(diǎn)的計(jì)算，控制點(diǎn)的計(jì)算也可以轉(zhuǎn)化為兩步B樣條曲線控制點(diǎn)的計(jì)算.

3 扭曲型材構(gòu)件腹板曲面的擬合

為了方便敘述，將坐標(biāo)系統(tǒng)一為船體坐標(biāo)系，即X方向?yàn)榇L(zhǎng)方向，船艏為正；Y方向?yàn)榇瑢挿较颍蚁蠟檎?；Z方向?yàn)樾蜕罘较?，向上為?將腹板剖線與水線面的夾角定義為扭曲角θ，見圖3.

圖3 扭曲角的定義

船舶設(shè)計(jì)時(shí)，通常只定義外口線與肋骨剖線交點(diǎn)Q的坐標(biāo)，放樣時(shí)再確定內(nèi)口上線對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Q′的坐標(biāo)值.

(2)

因此對(duì)于扭曲型材的腹板，已知的數(shù)據(jù)點(diǎn)只有腹板外口線和內(nèi)口線上的兩組數(shù)據(jù)點(diǎn)，見圖4中實(shí)心圓.

圖4 已知的數(shù)據(jù)點(diǎn)以及數(shù)據(jù)點(diǎn)的加密

欲用雙三次B樣條擬合腹板曲面，僅有兩組數(shù)據(jù)點(diǎn)不夠，需要對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)加密.根據(jù)扭曲型材的剖面特征可知，其腹板在整數(shù)肋位處的剖線是直線，因此可在同一肋位上外口線和外口線上兩數(shù)據(jù)點(diǎn)之間做線性插值，生成n等分點(diǎn)，見圖5中空心圓.

對(duì)每一肋位的數(shù)據(jù)點(diǎn)都按同樣方式加密，最終得到(1+n)×(1+m)個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，記為Qi,j(i=0,1,…n;j=0,1,…,m),上述數(shù)據(jù)點(diǎn)中的任意一列數(shù)據(jù)點(diǎn)均為對(duì)應(yīng)腹板剖線上的n等分點(diǎn)，因此對(duì)任何一列數(shù)據(jù)點(diǎn)，均存在以下關(guān)系：

(i=0,1,…n;j=0,1,…,m)

(3)

根據(jù)B樣條曲面的反算方法可知，腹板曲面控制點(diǎn)的反算分兩步：

步驟1擬合通過每列(1+n)個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的曲線，也就是腹板剖線，得到(1+m)組控制多邊形，每組控制多邊形含有(3+n)個(gè)控制點(diǎn)，記第一步反算得到的控制點(diǎn)為{Ri,j}(i=0,1,…,n+2;j=0,1,…,m);

步驟2將第一步反算得到的控制點(diǎn)作為新的數(shù)據(jù)點(diǎn)，擬合通過每一組新數(shù)據(jù)點(diǎn)的曲線，得到(3+n)組控制多邊形，每組控制多邊形含有(3+m)個(gè)控制點(diǎn)，記最終的控制點(diǎn)為Pi,j(i=0,1,…,n+2;j=0,1,…,m+2).

下面以某35 000 DWT散貨船的舷側(cè)縱桁為例進(jìn)行說明.該船從船艉FR12到FR20在4 500 mm吃水處設(shè)有一扭曲縱桁，見圖5.采用圖5所述的方法在外口線和內(nèi)口線之間做線性插值，生成n等分點(diǎn).經(jīng)過兩步反算得到控制點(diǎn)陣Pi,j(i=0,1,…,7;j=0,1,…,10)和腹板曲面.連接控制點(diǎn)得到8×11控制網(wǎng)格，最終擬合得到的腹板曲面見圖6.

蘄州城中有一小河，初為小溪，碧流如玉，兩岸楊柳依依，故名小柳河。流至荊王府水面漸寬，名為二郎河，注入長(zhǎng)江成一道綠，如青龍戲水，直入云天。相傳吳承恩在荊王府中創(chuàng)作不朽名著《西游記》，每至疲憊困惑之時(shí)，便到河邊漫步，河風(fēng)一吹，頓覺神清氣爽，靈感天降，有如二郎神君相助，故賜名二郎河。明亡清興，二郎河悄然易道，漸次消失，僅存上游小柳河溪水叮咚，清澈如故。

圖5 局部肋骨型線圖和舷側(cè)縱桁

圖6 擬合的腹板曲面

采用上述曲面方程，對(duì)腹板曲面進(jìn)行插值，其中半肋位橫剖面(如10.5、11.5、…、17.5)與扭曲構(gòu)件腹板曲面的交線見圖7.

圖7 中間肋位剖線

由圖7可知，半肋位腹板剖線都是直線，并且控制線上控制點(diǎn)的分布程度相同.隨機(jī)選擇了一些橫剖面進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果具有相同的特點(diǎn)，因此初步認(rèn)為腹板曲面在任意橫剖面處的剖線都是直線.

4 腹板曲面任意橫剖線都是直線的證明

4.1 證明控制線都是直線且控制點(diǎn)分布均勻程度相同

對(duì)于第一步反算的控制點(diǎn)，由于加密后的每一列數(shù)據(jù)點(diǎn)Qi,j都是在原始的外口線和內(nèi)口線相應(yīng)數(shù)據(jù)點(diǎn)之間通過線性插值生成的n等分點(diǎn)，因此經(jīng)過第一步反算得到的控制點(diǎn)Ri,j(i=0,1,…,n+2;j=0,1,…,m)中的每一組控制點(diǎn)也是線性分布的，且分布均勻程度相同，即：

Ri,j=(1-ki)R0,j+kiRn+2,j

(i=0,1,…,n+2;j=0,1,…,m)

(4)

由式(4)可知：

(i=0,1,…,n+2)

(5)

即上述控制點(diǎn)中的任意一行控制點(diǎn)都是第一組控制點(diǎn)和最后一組控制點(diǎn)的線性組合.

(6)

式中：

因?yàn)?/p>

Ri,j=(1-ki)R0,j+kiRn+2,j(i=0,1,…,n+2)

所以

(7)

即:

Pi,j=(1-ki)P0,j+kiPn+2,j

(i=0,1,…,n+2;j=0,1,…,m+2)

(8)

故每一個(gè)橫剖面上的一組控制點(diǎn)都是線性分布的，且分布情況相同，連接每一組控制點(diǎn)得到的控制線也都是直線.

4.2 證明腹板曲面任意橫剖線都是直線

根據(jù)B樣條曲面的正算算法有：

(9)

由B樣條基函數(shù)的規(guī)范性可知：

(10)

在v=vt的等參數(shù)曲線上取S(u1,vt)、S(u2,vt)和S(u2,vt)三點(diǎn).

(11)

(12)

(13)

因?yàn)?/p>

所以

S(u1,vt)-S(u2,vt)∥S(u2,vt)-S(u3,vt)

故在v=vt的等參數(shù)曲線上，S(u1,vt)、S(u2,vt)和S(u2,vt)三點(diǎn)共線，命題得證.

扭曲型材構(gòu)件腹板曲面的任意橫剖線都是直線的特征，對(duì)于扭曲加工過程中成形控制非常有意義，例如，腹板任意橫剖線對(duì)應(yīng)的扭曲角可以很方便的用于成形檢測(cè).

5 直紋面方程表達(dá)扭曲型材腹板曲面

扭曲型材腹板曲面在任意位置處的橫剖線都是長(zhǎng)度為腹板高度的定長(zhǎng)直線，在數(shù)學(xué)上，具備這種特征的曲面稱為直紋面.

對(duì)直紋面而言，當(dāng)素線相互平行或相交時(shí)，形成的直紋面屬于單曲面(如圓柱面和錐面)，否則稱為扭曲面(如螺旋面和雙曲拋物面).船體扭曲型材腹板曲面是由腹板剖線沿著內(nèi)口線和外口線運(yùn)動(dòng)形成的，由于不同肋位的腹板剖線屬于異面直線，既不平行也不相交，因此腹板曲面屬于扭曲面.

工程上，直紋面一般表達(dá)為

S(u,v)=(1-v)a(u)+vc(u)

(16)

即直紋面本質(zhì)上就是表達(dá)直紋面的兩條邊界導(dǎo)線.對(duì)于扭曲型材的腹板曲面，母線是其腹板剖線，邊界導(dǎo)線是其外口線和內(nèi)口線，擬合腹板曲面實(shí)際上就是擬合腹板曲面的內(nèi)口線和外口線.若用3次B樣條方法擬合內(nèi)口線和外口線，那么得到的腹板曲面實(shí)際上就是3×1次B樣條曲面.

以上文的扭曲縱桁腹板為例，采用三次B樣條擬合外口線和內(nèi)口線，最終擬合的腹板曲面見圖8.

圖8 腹板曲面

為了了解B-樣條曲面和直紋面方程在擬合扭曲構(gòu)件腹板曲面的差異，分別采用兩種方法進(jìn)行插值.不失一般性，在半肋位剖面線上進(jìn)行插值計(jì)算點(diǎn)，兩種方法的插值結(jié)果顯示，分別采用雙三次B樣條方法和直紋面方程分別擬合扭曲型材腹板曲面(取自由端邊界條件)，對(duì)應(yīng)插值點(diǎn)的偏差均不超過0.01 mm，這種偏差在工程上可以忽略不計(jì).但是比較兩種擬合方法的計(jì)算過程和計(jì)算量，顯然用直紋面擬合扭曲型材腹板曲面，過程更簡(jiǎn)單，計(jì)算量更小，因此采用直紋面方程擬合扭曲型材的腹板曲面更為便捷.

6 結(jié) 論

1) 分析了扭曲型材構(gòu)件的幾何特征，根據(jù)設(shè)計(jì)和制造的特點(diǎn)，將腹板曲面作為主要的研究對(duì)象.

2) 采用B樣條曲面對(duì)型材腹板曲面進(jìn)行建模，模型結(jié)果顯示腹板曲面在任意橫剖面上的剖面線都是直線，并從理論上對(duì)此結(jié)論得以證明.

3) 扭曲型材腹板曲面具有直紋面的特征，可以采用直紋面方程進(jìn)行建模，并以具體算例驗(yàn)證了結(jié)論的正確性.