壓電獲能振子的力學(xué)建模與參數(shù)敏感性分析

陳 明 徐業(yè)鵬 黃 丹

(河海大學(xué)力學(xué)與材料學(xué)院 南京 211100)

0 引 言

波浪能是一種儲量豐富的可再生清潔能源[1]，但傳統(tǒng)的機械式波能發(fā)電裝置往往存在體積龐大、易腐蝕和依賴地形等問題[2-3]，限制了其推廣應(yīng)用.而壓電式波能發(fā)電基于壓電材料的機電轉(zhuǎn)換特性，可以大幅簡化裝置結(jié)構(gòu)，且具有耐腐蝕、強度高和成本低等優(yōu)良特性，適合在海洋環(huán)境中工作，因而極具潛力[4-5].

壓電振子是壓電獲能領(lǐng)域中應(yīng)用最廣的一種基本發(fā)電單元，一般由壓電薄膜和基板復(fù)合而成，其結(jié)構(gòu)簡單、體積小，適用于各種復(fù)雜工況.近年來，針對各種類型壓電振子發(fā)電的相關(guān)研究[6-7]越來越多，并取得系列成果.Wang等[8]設(shè)計了一種高靈敏度的多層垂直蝶形壓電發(fā)電裝置，可用于道路預(yù)警標(biāo)識的供電；寧藝文等[9]設(shè)計了一種PVDF壓電懸臂梁發(fā)電裝置，可以有效收集一定風(fēng)速范圍內(nèi)的風(fēng)能發(fā)電；郭磊[10]設(shè)計了一種克服振源不穩(wěn)定問題的多壓電振子陣列式寬頻振動能量采集器.然而，已有研究更多關(guān)注于新型壓電獲能裝置的設(shè)計，而對獲能機理與建模相關(guān)的研究相對較少.Vinayaga等[11]曾研究了壓電振子的電能輸出與參數(shù)的關(guān)系；Lee[12]提出一種壓電層合板理論，推導(dǎo)了懸臂梁式壓電層合板表面電荷與中性面上各點位移的關(guān)系，Wu等[13]基于該理論設(shè)計出一種兼具有較高獲能效率和較低機械傳動能量損失的小型浮標(biāo)式壓電獲能裝置.壓電振子獲能相關(guān)的機理性研究通常受限于各種理想假設(shè)，例如規(guī)則形狀與規(guī)律激勵，對于形狀不規(guī)則壓電振子、非規(guī)律性外部激勵作用下的壓電獲能機理研究較少.

文中基于力電耦合方程構(gòu)建了規(guī)則形狀壓電振子表面電荷的連續(xù)求解模型，并結(jié)合有限元思想構(gòu)建壓電振子形狀不規(guī)則情況下的離散求解模型，研究壓電振子的發(fā)電機理.在驗證模型求解精度的基礎(chǔ)上，分析了各關(guān)鍵參數(shù)對振子發(fā)電效率的影響.

1 模型與方法

1.1 基本方程

彈性壓電材料具有介電性和彈性兩種性質(zhì)，因此壓電方程是耦合方程，為

(1)

式中：T為應(yīng)力；S為應(yīng)變；D為電位移；E為電場強度；cE為彈性矩陣；e為壓電常數(shù)矩陣；ε為介電常量矩陣.

壓電方程根據(jù)其力學(xué)與電學(xué)邊界條件可分為四類，式(1)是第二類壓電方程，其適用于機械夾持和電學(xué)短路的邊界條件[14].

1.2 連續(xù)模型

圖1為壓電獲能裝置示意圖，其中振子與撥片視為鉸接，以廣泛使用的矩形截面懸臂梁式壓電振子為例(上表面貼有z方向極化的壓電片)，壓電振子簡圖見圖2.

圖1 壓電獲能裝置示意圖

圖2 壓電懸臂梁簡圖

根據(jù)高斯定理可得壓電材料表面電荷為

(2)

假設(shè)中性面位移為u0(x方向)，v0(y方向)，w=w(x,y,t)(z方向)，懸臂梁厚度為h，上表面壓電片區(qū)域為Ω，無外電場(E1=E2=E3=0)，則壓電片表面電荷為

q(t)=

(3)

根據(jù)實際情況，若忽略懸臂梁的水平位移，則電荷表達(dá)式可簡化為

(4)

式(4)即為壓電振子表面電荷與中性面位移的關(guān)系.

當(dāng)壓電振子厚度不是恒定值時，式(4)可變?yōu)?/p>

(5)

1.3 離散模型

電位移的積分面為壓電振子上表面，故可建立位于x-y平面的求解電荷的二維離散模型.本離散模型基于有限單元法思想，采用四邊形八結(jié)點等參單元進(jìn)行離散，單元的局部編號和單元在積分面的分布見圖3.

圖3 單元局部編號及積分面

作為標(biāo)量，電荷可寫為求和形式

(6)

式中：i為單元編號；qi(t)為每個單元的電荷量.

每個單元上的電荷量為

(7)

式中：Ωi為單元區(qū)域.

轉(zhuǎn)化為局部坐標(biāo)下的表達(dá)式

(8)

(9)

式中：Hm，Hn為積分權(quán)重；ξm，ηn為高斯積分點.

采用等參單元，位移模式與坐標(biāo)變換具有相同的形函數(shù)N={Nj}，由此可得整體坐標(biāo)與局部坐標(biāo)的關(guān)系、位移與局部坐標(biāo)的關(guān)系

(10)

式中：xj,yj為結(jié)點的平面坐標(biāo).

(11)

式中：wj為結(jié)點的z方向位移.根據(jù)式(11)易知本模型只能采用高次等參單元.

1.4 電流的近似求解

由壓電振子的離散模型可以近似求得每個單元上的電荷量，通過電荷疊加即可得到每一時刻壓電振子表面的電荷總量.

假設(shè)每個時間節(jié)點tk=t0+kr(k=0,1,2…n)上的電荷量為q(tk)，不考慮能量損失，則電流可用三點數(shù)值求導(dǎo)公式求得

式中：t0為初始時刻；r為時間步長.

2 模型驗證

2.1 驗證算例

中性面位移由梁的撓曲線計算求得.其與坐標(biāo)關(guān)系滿足

(13)

(14)

圖4 壓電振子尺寸及撓度曲線

2.2 精度驗證

理論解通過壓電層合理論計算得到，數(shù)值解由本文離散模型計算得到，兩組解的對比見表1.由表1可知，本文模型計算結(jié)果具有較高的精度，相對誤差在0.5%以內(nèi).

表1 計算結(jié)果比較

在求得壓電振子的電荷變化規(guī)律后，根據(jù)上文的電流近似求法，可以得到壓電振子各個時刻的電流值及電流輸出曲線，見表2和圖5.由圖5可知：數(shù)值解與理論解吻合良好，且電流都與時間呈余弦關(guān)系，波浪波峰波谷處由于電荷變化率低，電流約為零，而半周期時刻液面變化速度最快，因此電流達(dá)到最大值.

表2 各個時刻的電流值

圖5 周期性電流輸出

2.3 電荷分布分析

除電荷總量和電流時間曲線外，還可以得到一個周期內(nèi)壓電振子上表面的電荷變化規(guī)律，波浪處于波谷及波峰時的云圖見圖6.

圖6 壓電振子的電荷分布

波谷時刻，上表面受到拉伸，壓電振子上表面主要分布的是負(fù)電荷，固定端的電荷量最為密集，向自由端逐漸稀疏并趨近于零.

波峰時刻，自由端位移達(dá)到最大值，上表面受到擠壓，同樣地，固定端由于彎矩和應(yīng)變最大，產(chǎn)生了密集的正電荷，沿x正方向電荷逐漸稀疏，直至趨近于零.根據(jù)模擬結(jié)果分析，由于波浪在短時間內(nèi)近似看為簡諧波，故波峰波谷對壓電振子的影響僅為產(chǎn)生的電荷正負(fù)不同，而絕對數(shù)值無差異，與理論解吻合.

壓電振子的設(shè)計通常需要考慮材料利用率及成本，壓電振子的自由端附件電荷量幾乎為零，故可考慮不設(shè)置壓電片，可參考模擬結(jié)果選取電荷的收集范圍，既保證發(fā)電效率又節(jié)省材料.

3 參數(shù)分析

3.1 等截面壓電振子

圖7為電流峰值與壓電振子長度的關(guān)系曲線.由圖7可知，電流峰值隨壓電振子的長度增加而增加，且曲線斜率增加，主要是由于長度增加后固定端彎矩增加，壓電片應(yīng)變及面積均增大，產(chǎn)生的電荷量顯著增多.當(dāng)限制了發(fā)電裝置的大小及內(nèi)部空間后，應(yīng)盡量增加壓電振子的長度以增加裝置的發(fā)電效率.

圖7 電流峰值與長度的關(guān)系

電流峰值與振子厚度的關(guān)系見圖8.由圖8可知，電流峰值隨壓電振子的厚度增加而減小，這主要是由于厚度增加后，振子的抗彎剛度增大，在同等大小的力作用下，振子的豎向位移減小，應(yīng)變減小.故在不影響強度的基礎(chǔ)上應(yīng)盡量減小其厚度.

圖8 電流峰值與厚度的關(guān)系

圖9為電流峰值與波浪頻率的關(guān)系曲線.由圖9可知，電流峰值隨波浪頻率的增加而線性增加，這是由于僅改變頻率時，壓電振子上表面產(chǎn)生的電荷量是不變的，頻率增加即增大電荷的時間變化率.故壓電發(fā)電裝置在波浪頻率高處發(fā)電效率明顯提高.

圖9 電流峰值與波浪頻率的關(guān)系

圖10為電流峰值與振子寬度的關(guān)系曲線.由圖10可見，電流峰值隨壓電振子寬度的增加而線性增加.該曲線表明振子在單位寬度的發(fā)電效率是恒定的，增加寬度與增加振子的數(shù)量具有同樣的效果.在本文的計算中，波浪力與寬度呈線性關(guān)系，故寬度增加不會改變撓度，即電荷密度不隨寬度變化，總面積增加，電荷總量增加，輸出電流增加.

圖10 電流峰值與寬度的關(guān)系

3.2 變截面壓電振子

相比等截面壓電振子，變截面壓電振子在同等激勵下具有更大的位移，同時也具有更高的材料利用率.變截面壓電振子簡圖見圖11.

圖11 變截面振子簡圖

基于本文構(gòu)建的離散模型，采用與2.1相同的材料參數(shù)與外荷載(波浪周期取5s)，研究變截面壓電振子自由端厚度和寬度對電流峰值大小的影響，結(jié)果見表3～4.

表3 電流峰值隨寬度的變化

表4 電流峰值隨厚度的變化

由表3可知：電流峰值隨自由端寬度變化無明顯變化，其值在0.049 A上下波動.隨著振子自由端寬度的減小，其抗彎剛度也隨之減小，在同樣大小的激勵下，振子的撓度及上表面應(yīng)變增大，壓電效應(yīng)顯著增強.同時，當(dāng)振子自由端寬度減小時，上表面面積減小，此時電位移積分面減小，收集的電荷減少.在上述兩種因素的影響下，產(chǎn)生的電荷、電流整體呈穩(wěn)定趨勢.

由表4可知：在寬度一定的情況下，自由端厚度越小，輸出電流的峰值越高.雖然厚度影響振子表面的應(yīng)變，但厚度對抗彎剛度的影響更大，該變化規(guī)律與3.1的結(jié)論一致.

圖12為三種變截面振子的輸出電流峰值與自由端厚度的關(guān)系，三種振子的幾何參數(shù)見表5.由圖12可知，B振子的自由端厚度即使減小至0.01 m，其輸出電流峰值仍低于自由端厚度不變的A振子，所以在保證強度的情況下，固定端越薄越有利于獲能，也越節(jié)省材料.A、C兩種振子自由端寬度不同，但電流峰值曲線貼合良好，表明對于變厚度振子，寬度的影響仍然可以忽略.

表5 壓電振子的幾何參數(shù) 單位：m

圖12 電流峰值與自由端厚度關(guān)系

4 結(jié) 論

1) 本文構(gòu)建的求解壓電振子表面電荷的模型可以實現(xiàn)波浪作用下壓電振子的電荷電流高精度求解.

2) 廣泛使用的懸臂式壓電振子在波浪荷載作用下，越接近固定端電荷密度越高，自由端約為零.壓電振子在液面處于波峰波谷時的輸出電流為零，在水平高度時輸出電流最高，在一周期內(nèi)近似為交流電.

3) 等截面壓電振子的電流峰值隨振子長度增加而增大，隨厚度增加而減小，與振子寬度和波浪頻率變化呈線性關(guān)系.

4) 變截面壓電振子的電流峰值隨自由端厚度的減小而增大，隨自由端寬度的減小無明顯變化.