基于LV的SD模型反饋關系判定

汪 勇 徐 韜 龐天澤

(上海市城市建設設計研究總院(集團)有限公司1) 上海 2001254) (重慶市市政設計研究院2) 重慶 400020) (西安建筑科技大學土木工程學院3) 西安 710055)

0 引 言

系統(tǒng)動力學(SD)方法是一種以系統(tǒng)內(nèi)部信息反饋控制理論為基礎，結合系統(tǒng)論、反饋控制論及決策論的系統(tǒng)仿真方法，它強調系統(tǒng)的行為模式主要取決于其內(nèi)部的動態(tài)結構和反饋機制，通過變量間的反饋關系建立量化模型，利用計算機仿真模擬預測結果[1-2].

SD模型在構造過程中存在反饋關系不明顯或處于動態(tài)變化的狀態(tài)的反饋環(huán)，此時就無法直接構造反饋回路.需要將這些變量的反饋關系通過多種手段做出合理的量化.Peter[3]提出了系統(tǒng)動態(tài)反饋復雜性(system dynamic feedback complexity)的概念；Wolstenholme等[4-5]通過定義正負兩對的反饋環(huán)來構造雙循環(huán)基模，得出的模型更具有普遍性；國賈仁安等[6-7]提出了動態(tài)反饋復雜性層次分析的概念，利用流率基本入樹建模法、枝向量矩陣反饋環(huán)計算方法、基模生成集法對反饋基模進行了深入了研究，創(chuàng)建了更貼合實際的系統(tǒng)運行全部反饋環(huán)分析法.這一系列方法為我國SD模型的研究提供了規(guī)范化的框架.

本文在上述研究的基礎上，提出一種基于Lotka-Volterra判定理論(LV理論)的系統(tǒng)動力學(SD)模型反饋環(huán)節(jié)點研究的方法.LV理論是生態(tài)學中用以研究物種變化關系的重要理論，它的最大特點在于具有時變性質，能將不斷變化的變量關系量化[8-9]，這為SD模型中動態(tài)反饋關系研究提供了思路.文中通過經(jīng)濟-人口-運輸?shù)南到y(tǒng)背景，闡述運輸子系統(tǒng)下運輸方式關系變化對GDP的影響.

1 LV理論改進SD模型

1.1 經(jīng)濟-人口-運輸系統(tǒng)關系

經(jīng)濟-人口-運輸系統(tǒng)中存在多個反饋循環(huán)，可通過人口與運輸兩個子系統(tǒng)來預測經(jīng)濟水平子系統(tǒng).人口子系統(tǒng)中研究的成果比較豐富，相關數(shù)據(jù)便于查詢，但運輸子系統(tǒng)是一個動態(tài)非線性的復雜系統(tǒng)，不僅受影響的因素多，而且系統(tǒng)內(nèi)部各變量也在相互影響.以系統(tǒng)動力學的視角剖析整個經(jīng)濟-人口-運輸系統(tǒng)，通過LV理論判定運輸系統(tǒng)變量之間的動態(tài)變化節(jié)點，對LV判定環(huán)中關系不明確的反饋暫時用虛線標注.構建SD模型下的經(jīng)濟-人口-運輸系統(tǒng)關系圖，見圖1.

圖1 經(jīng)濟-人口-運輸系統(tǒng)關系圖

運輸系統(tǒng)關系圖中大致分為三個循環(huán)：①經(jīng)濟水平→人口數(shù)量→運輸需求→運輸價格→運輸收益，此循環(huán)為負反饋；②經(jīng)濟水平→人口數(shù)量→運輸需求→運輸投資→運輸運量→運輸供給→運輸收益，此循環(huán)為正反饋；③運輸方式A→運輸方式B→運輸方式C，此循環(huán)無法直接判斷，運輸投資的增加會增大總體的運量，但該循環(huán)中各變量(即各種運輸方式)間存在相互影響的關系，可表現(xiàn)為促進、競爭、單向影響或無關聯(lián)的Logistic發(fā)展模式，即子系統(tǒng)中的單體變量的發(fā)展情況則需要通過LV理論分析界定.

經(jīng)濟水平直接促進運輸需求的增長，同時運輸需求增長可通過增加運輸價格或增加運輸投資兩種方式實現(xiàn)，但由前面分析看出循環(huán)①是個負反饋過程，從系統(tǒng)角度來看，循環(huán)②增加運輸投資才是促進經(jīng)濟發(fā)展長久之計.在循環(huán)②中存在更子一級別的循環(huán)③，循環(huán)③中各變量(即各種運輸方式)的關系相互影響，并處于動態(tài)變化當中，為研究循環(huán)②下的運輸經(jīng)濟效益，需對循環(huán)③中變量關系進行LV判定，建立時變情況下的LV-SD模型.

1.2 構造LV-SD系統(tǒng)

將反饋圖中經(jīng)濟、人口、運輸三個子系統(tǒng)作為整個系統(tǒng)的邊界條件.運輸子系統(tǒng)中存在運輸方式關系模糊的反饋環(huán)，為建立完整的系統(tǒng)動力學方程，需對該反饋環(huán)進行LV判定，求得相應的作用系數(shù)f，構造Lotka Volterra-System Dynamic模型(簡稱：LV-SD模型)在圖1反饋關系的基礎上，結合經(jīng)濟、人口，以及綜合運輸?shù)奶攸c，給出經(jīng)濟-人口-運輸系統(tǒng)流圖，見圖2.

圖2 經(jīng)濟-人口-運輸系統(tǒng)流圖

系統(tǒng)中包含的變量方程較多，篇幅所限，不一一列舉，可參見文獻[10-12].現(xiàn)將主要參數(shù)(見表1)及LV判定環(huán)中的方程列舉如下.

表1 主要參數(shù)

LV判定環(huán)方程：

Rs=Ry×fy+Rg×fg+RGDP×fgdp

Ry=R1+R2+R3+Rr×fr

R1=Rt×ft1+R2×f21+R3×f31

R2=Rt×ft2+R1×f12+R3×f32

R3=Rt×ft3+R1×f13+R2×f23

(1)

運輸系統(tǒng)中各種運輸方式間的作用系數(shù)需通過LV理論判定，這里對LV理論進行交通化改造，以運輸方式環(huán)中三種運輸方式來闡述系統(tǒng)的LV判定過程(即公路運輸、水路運輸及航空運輸)，令：x1，x2，x3為公路、水路及航空交通運輸方式的現(xiàn)有運輸需求量；k1，k2，k3為對應運輸方式在現(xiàn)有環(huán)境下的飽和容量指標，大于零為未飽和，小于零為過飽和；r1，r2，r3為三種交通運輸方式的單位增長率.

根據(jù)Lotka-Volterra理論，不同物種間的作用系數(shù)f，由物種間的影響比例與環(huán)境容納量決定，即f=α/k，公式重新定義如下：

αij為單位投資下運輸方式i對運輸方式j的影響比例(i、j=1、2、3,i≠j)；fij為運輸方式i對運輸方式j的作用系數(shù)，且fij=αij/kj，作用系數(shù)f的正負決定著反饋關系，其中正號為抑制作用，負號為促進作用.三種運輸方式隨時間的演化情況存在下列關系[13-15].

在這樣的合作競爭過程中，三種運輸方式的發(fā)展方向會隨著環(huán)境容納量ki、影響比例α的變化而變化.將式(2)進行簡化，令：

a1=r1，b1=r1/k1，c1=r1α12/k1，d1=r1α21/k1；a2=r2，b2=r2/k2，c2=r2α12/k2，d1=r2α32/k2；a3=r3，b3=r3/k3，c3=r3α13/k3，d3=r3α23/k3.得到式(3).

(3)

按照灰色模型的直接建模法，以xi(t+1)-xi(t)、[xi(t+1)+xi(t)]/2作為dxi/dt的白化值、背景值(i=1、2、3)，將式(3)進行離散化得式(4).

(i=1、2、3,j(1)=2、1、1,j(2)=3、3、2)

(4)

將t=1，2，…，n-1時的數(shù)據(jù)依次代入式(4)中得式(5).

? ? ? ? ?

(i=1、2、3,j(1)=2、1、1,j(2)=3、3、2)

(5)

(i=1,2,3;j(1)=2,1,1;j(2)=3,3,2)

(6)

比較式(5)和式(6)，可得：

運輸方式的增長率：ri=αi；

現(xiàn)有環(huán)境下的飽和容納量：ki=αi/bi；

影響比例：

α12=c2/b2，α13=c3/b3；α21=c1/b1，α23=d3/b3；α31=d1/b1，α32=d2/b2；

作用系數(shù)：

f12=c2/a2，f13=c3/a3；f21=c1/a1，f23=d3/a3；f31=d1/a1，f32=d2/a2.

2 案例分析

2.1 模型參數(shù)計算

利用Vensim軟件對LV-SD模型進行仿真，模擬重慶市綜合交通運輸系統(tǒng)中三種運輸方式的作用關系變化對GDP的影響，建立三維LV判定下的SD運輸系統(tǒng)，見表2.考慮到公路運輸?shù)目瓦\量占比過大，故選擇鐵路、水路及航空運輸進行分析.

表2 模型參數(shù)值 單位：千萬人

鐵路客運量白化值為x1(t+1)-x1(t)，背景值為[x1(t+1)+x1(t)]/2；水路客運量白化值為x2(t+1)-x2(t)，背景值為[x2(t+1)+x2(t)]/2；航空客運量白化值為x3(t+1)-x3(t)，背景值為[x3(t+1)+x3(t)]/2.

將xi(t+1)-xi(t)、[xi(t+1)+xi(t)]/2代入矩陣中，經(jīng)計算得出數(shù)據(jù)如下.

根據(jù)以上運算數(shù)據(jù)，現(xiàn)將運算結果整理如下.

鐵路運輸需求增長率ft1=r1=a1=1.678 212 962，鐵路運輸對水路運輸?shù)淖饔孟禂?shù)f12=1.005 614 518，鐵路運輸對航空運輸?shù)淖饔孟禂?shù)f13= 0.951 632 425.

水路運輸需求增長率ft2=r2=a2=-1.716 599 739，水路運輸對鐵路運輸?shù)淖饔孟禂?shù)f21=2.034 201 16，水路運輸對航空運輸?shù)淖饔孟禂?shù)f23=-0.379 563 8.

航空運輸需求增長率ft3=r3=a3=-2.055 530 424，航空運輸對鐵路運輸?shù)淖饔孟禂?shù)f31=1.382 347 463；航空運輸對水路運輸?shù)淖饔孟禂?shù)f32=-0.413 235 732.

將LV判定環(huán)中計算出的作用系數(shù)帶入系統(tǒng)動力學方程中，以2010年為基準年，參照文獻[13]中部分給出的方程數(shù)據(jù)，應用SPASS統(tǒng)計分析，獲取或標定上述動力學方程中的各個參數(shù)，見表3.其中關于GDP年增長率、人口出生死亡率及技術革新率等的作用系數(shù)，利用SPASS分析反復調試檢驗，再依據(jù)歷史經(jīng)驗并結合專家建議獲得的綜合數(shù)值結果.

表3 2010年模型初始參數(shù)值

將系統(tǒng)中的常量數(shù)據(jù)代入方程，圖3為LV理論判定前后模型運輸方式子系統(tǒng)的關系變化.

圖3 LV判斷前后運輸方式關系流圖

2.2 模擬結果與檢驗

通過LV-SD模型運行仿真，仿真結果對比SD模型以及歷史數(shù)據(jù)見表4.

表4 GDP預測結果對比

由表4可知，觀察2010—2015年內(nèi)GDP預測量與實際統(tǒng)計數(shù)據(jù)的誤差，LV-SD模型預測的歷年平均誤差為3.24%，SD模型預測的歷年平均誤差為4.50%，兩者較歷史數(shù)據(jù)而言，LV-SD模型預測精度提高了約1.26%，可見LV-SD模型較原有的SD預測模型預測精度有了近28%的提高.

3 結 論

1) 系統(tǒng)動力學模型中存在反饋關系不固定且隨著時間或空間維度處于不斷微變的反饋環(huán).

2) Lotka-Volterra理論的引入證明了系統(tǒng)動力學模型反饋關系中存在隨時間細微變化的節(jié)點，節(jié)點的位置決定著反饋關系的正負與大小.Lotka-Volterra理論利用歷史累積數(shù)據(jù)，可以量化系統(tǒng)關系微變的節(jié)點，將復雜系統(tǒng)變量關系分割成模塊化的循環(huán)變化關系.

3) 短期預測中，系統(tǒng)反饋環(huán)中的關系不會出現(xiàn)大的變化，反饋關系可通過一次LV判定求得，而反饋節(jié)點需進行多次LV判定來確定節(jié)點區(qū)間位置；在長期預測中，為保證系統(tǒng)動力學模型的精度，需系統(tǒng)反饋環(huán)多次進行LV判定來保證變量關系的即時更新，因此判定次數(shù)倍數(shù)增長，過程復雜，體現(xiàn)不出具體的優(yōu)勢，需對LV-SD模型做更深入的優(yōu)化研究.

4) 基于專業(yè)領域的限制，LV判定下的SD模型節(jié)點研究僅以運輸系統(tǒng)為例，而未對其他領域進行驗證.需不同領域學者專家對LV-SD模型進行改進驗證.