基于LQR/PID控制飛機(jī)俯仰角的仿真研究

李衛(wèi)衛(wèi)，李 凌

(沈陽化工大學(xué) 信息工程學(xué)院， 遼寧 沈陽 110142)

飛機(jī)在空中飛行時(shí)，飛行參數(shù)會(huì)受到高度、馬赫數(shù)的影響，而且俯仰姿態(tài)也會(huì)發(fā)生變化.因此，為使飛機(jī)能夠平穩(wěn)飛行就需要設(shè)計(jì)合適的控制器.現(xiàn)階段國內(nèi)外有很多對(duì)飛機(jī)俯仰姿態(tài)的研究，現(xiàn)代飛機(jī)的設(shè)計(jì)主要依靠自動(dòng)控制系統(tǒng)來控制飛機(jī)各個(gè)子系統(tǒng).自動(dòng)控制系統(tǒng)的進(jìn)步在飛機(jī)的發(fā)展中發(fā)揮了重要作用.通常，飛機(jī)的飛行運(yùn)動(dòng)包含3個(gè)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)和3個(gè)平移運(yùn)動(dòng)，飛機(jī)的控制策略可分為橫向控制和縱向控制[1].其中，俯仰控制是一種縱向控制，因此可以采用飛機(jī)縱向模型設(shè)計(jì)飛機(jī)的俯仰角控制器.在縱向控制中，俯仰角被控制，飛機(jī)的俯仰可以看作繞側(cè)軸旋轉(zhuǎn)，它是水平線上的速度方向與垂直平面之間的夾角，另外，偏轉(zhuǎn)角用于控制位于飛機(jī)后部的俯仰.在過去，許多研究人員做過控制飛機(jī)的俯仰、滾轉(zhuǎn)和偏航以穩(wěn)定飛機(jī)的研究工作，這一課題至今仍是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的問題[2-3].針對(duì)飛機(jī)俯仰姿態(tài)以及俯仰角的控制已經(jīng)有多種方法，例如基于遺傳算法的LQR和PID控制器[4]，模糊PID控制[5]，GA調(diào)諧LQR和PID控制器[6]，混合EKF和NDO的魯棒自適應(yīng)控制器[7]，串級(jí) PID 控制方案所設(shè)計(jì)的P-PID和PD-PI控制器[8]，H∞控制理論應(yīng)用于飛機(jī)俯仰角控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)[9]等.

本文主要介紹了飛機(jī)俯仰角的基本控制方法LQR控制器和PID控制器.LQR控制響應(yīng)速度快，跟蹤性能好，在LQR的設(shè)計(jì)中，可手動(dòng)調(diào)節(jié)增益k的值，使性能指標(biāo)J被優(yōu)化，但是會(huì)存在不確定性，這時(shí)將預(yù)補(bǔ)償器加入控制回路中，利用MATLAB仿真對(duì)LQR控制器進(jìn)行整定，得到了控制器Q矩陣的最優(yōu)值，主要目的是減少上升時(shí)間、穩(wěn)定時(shí)間和峰值超調(diào).在PID控制器設(shè)計(jì)中，通過P，PI，PID仿真結(jié)果分析對(duì)比，可發(fā)現(xiàn)PID控制器的控制回路結(jié)構(gòu)簡單，當(dāng)系統(tǒng)中出現(xiàn)擾動(dòng)時(shí)，PID控制器可使系統(tǒng)平穩(wěn)，并且通過參數(shù)整定可使上升時(shí)間和調(diào)節(jié)時(shí)間加快，穩(wěn)態(tài)誤差和超調(diào)量都減小.以飛機(jī)的俯仰角為輸出，在MATLAB環(huán)境下對(duì)這兩種控制方案進(jìn)行仿真分析并與原系統(tǒng)進(jìn)行比較，討論2種控制策略對(duì)飛機(jī)系統(tǒng)性能的影響，給出了飛機(jī)俯仰角響應(yīng)的MATLAB仿真結(jié)果，并以飛機(jī)俯仰角響應(yīng)的上升時(shí)間、峰值超調(diào)和穩(wěn)態(tài)誤差為指標(biāo)進(jìn)行性能測試.

1 系統(tǒng)建模

飛機(jī)運(yùn)動(dòng)方程是一組非常復(fù)雜的6個(gè)非線性耦合微分方程組,而且飛機(jī)俯仰角的模型是時(shí)變、非線性的.假設(shè)飛機(jī)的速度和高度是恒定的，而且俯仰角的改變不會(huì)影響飛機(jī)的速度，它們可以解耦并線性化為縱向和橫向方程.飛機(jī)俯仰受縱向動(dòng)力學(xué)控制，這里將設(shè)計(jì)一個(gè)自動(dòng)駕駛儀來控制飛機(jī)的俯仰.

如圖1所示，假設(shè)重力、阻力、升力和推力在x,y方向上，并且在高空飛行時(shí)俯仰角的改變不會(huì)影響飛機(jī)的速度.文中主要研究飛機(jī)的俯仰角θ以及偏轉(zhuǎn)角δ，通過推導(dǎo)[10]可得出飛機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)方程：

圖1 飛機(jī)受力分析Fig.1 Aircraft force analysis

(1)

[CM+σCM(1-μCL)]q+

(ηCWsinγ)δ],

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

在零初始條件下，經(jīng)過拉普拉斯變換可以得到傳遞函數(shù)：

(7)

將其整理成狀態(tài)空間模型：

(8)

(9)

根據(jù)狀態(tài)空間模型(8)、(9)，通過SIMULINK搭建出控制對(duì)象，在開環(huán)狀態(tài)下，當(dāng)輸入為一個(gè)階躍響應(yīng)時(shí)，其輸出如圖2所示，由圖2可見，俯仰角是沒有趨于穩(wěn)定值的，即系統(tǒng)是不穩(wěn)定的.而為了使飛機(jī)能夠平穩(wěn)的飛行，將設(shè)計(jì)反饋控制形成閉環(huán)，使飛行中實(shí)際俯仰角的控制能夠滿足表1中各個(gè)參數(shù)的基本要求.

圖2 開環(huán)階躍響應(yīng)Fig.2 Open-loop step response

表1 性能指標(biāo)要求Table 1 Performance requirement

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 LQR控制器

(10)

線性定常系統(tǒng)可通過狀態(tài)反饋控制實(shí)現(xiàn)n個(gè)極點(diǎn)任意配置的充要條件是被控系統(tǒng)∑0(A，B，C)態(tài)完全能控.通過驗(yàn)證rank[B,AB,A2B…An-1B]即rankQc，或用MATLAB環(huán)境編寫命令，若滿秩則為完全能控.系統(tǒng)的能控矩陣是3×3，經(jīng)計(jì)算秩為3，則系統(tǒng)可控，可以設(shè)置一個(gè)全狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)(見圖3)實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)的任意配置.

圖3 全狀態(tài)反饋系統(tǒng)原理Fig.3 Full state feedback system schematic diagram

2.2 PID控制器

圖4為控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)，其中PID控制器[13]的傳遞函數(shù)為

圖4 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型Fig.4 System structure model

(11)

通過MATLAB仿真觀察輸出響應(yīng)，判斷PID是否滿足飛機(jī)俯仰角的4個(gè)性能要求.

首先，加入P控制器C(s)=Kp，可以提高系統(tǒng)的開環(huán)增益，減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差從而提高系統(tǒng)的控制精度.設(shè)定參考階躍響應(yīng)為0.2 rad，設(shè)置比例系數(shù)Kp=1，判斷此時(shí)所產(chǎn)生的波形是否穩(wěn)定.若不穩(wěn)定，需要多次反復(fù)檢驗(yàn).若是控制器滿足了上升時(shí)間穩(wěn)態(tài)誤差以及超調(diào)量的要求，但是調(diào)節(jié)時(shí)間過大，此時(shí)需要在控制器中加入微分或積分項(xiàng)以加快響應(yīng)滿足要求.

3 系統(tǒng)仿真研究

假設(shè)飛機(jī)是在恒定的速度以及高度下駕駛，而且飛機(jī)俯仰角θ的改變不會(huì)影響飛機(jī)的速度，通過SIMULINK設(shè)計(jì)一個(gè)自動(dòng)駕駛儀，采用LQR控制以及PID控制對(duì)比分析效果.為使飛機(jī)能夠平穩(wěn)駕駛，對(duì)θ進(jìn)行研究，使其滿足超調(diào)小于10 %，上升時(shí)間小于2 s,調(diào)節(jié)時(shí)間小于10 s，穩(wěn)態(tài)誤差小于2 %.

3.1 LQR控制器

建立SIMULINK[14]閉環(huán)狀態(tài)下的模型觀察響應(yīng)是否滿足要求.在模型的建立中，階躍響應(yīng)終值設(shè)置為0.2，狀態(tài)空間模塊使用飛機(jī)狀態(tài)空間模型的參數(shù).作為單入單出系統(tǒng)，示波器顯示的是飛機(jī)俯仰角θ的變化.

圖5所示為閉環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，在開環(huán)系統(tǒng)的基礎(chǔ)上增加一個(gè)反饋控制增益，這個(gè)增益由線性二次調(diào)節(jié)器LQR[15]設(shè)計(jì)，可以先使用Riccati方程求解，或用MATLAB環(huán)境lqr命令，具體值K=[-0.643 5，169.695 0，7.071 1]，此時(shí)示波器所產(chǎn)生的波形如圖6所示.由圖6可以看出飛機(jī)俯仰角θ是穩(wěn)定的，調(diào)節(jié)時(shí)間、上升時(shí)間、超調(diào)量都滿足要求，但存在穩(wěn)態(tài)誤差，需要在閉環(huán)系統(tǒng)的基礎(chǔ)上添加預(yù)補(bǔ)償器，如圖7所示.

圖5 閉環(huán)控制系統(tǒng)Fig.5 Closed-loop control system

圖6 閉環(huán)階躍響應(yīng)Fig.6 Closed-loop step response

圖7 添加預(yù)補(bǔ)償器Fig.7 Added pre-compensator

在線性二次調(diào)節(jié)之后，穩(wěn)態(tài)誤差過大，需要縮放基準(zhǔn)輸入，使輸出在穩(wěn)態(tài)下等于基準(zhǔn).其中縮放因子可以通過MATLAB用戶自定義函數(shù)自動(dòng)生成，在這里縮放因子N=7.071 1.此時(shí)，波形如圖8所示，俯仰角θ超調(diào)量為5 %，上升時(shí)間為1.15 s，調(diào)節(jié)時(shí)間為2 s，穩(wěn)態(tài)誤差為0.2 %，滿足各項(xiàng)要求.

圖8 預(yù)補(bǔ)償后輸出θ波形Fig.8 Waveform output after adding pre-compensator

3.2 PID控制器

因?yàn)轭A(yù)補(bǔ)償器是根據(jù)被控對(duì)象的模型計(jì)算的，而且位于反饋回路之外，所以預(yù)補(bǔ)償器存在弊端.當(dāng)系統(tǒng)存在誤差或未知擾動(dòng)時(shí)，預(yù)補(bǔ)償器不能將其校正，會(huì)存在穩(wěn)態(tài)誤差.為了消除誤差，需要添加PID控制器[16]進(jìn)行自動(dòng)整定.

圖9 添加擾動(dòng)后波形Fig.9 Added disturbance waveform

將LQR控制器與PID控制器的控制效果進(jìn)行對(duì)比分析，如表2(表2的參數(shù)值是由圖6、圖8和圖10的波形分析計(jì)算得出)所示，與閉環(huán)控制系統(tǒng)相比，在PID控制器以及LQR控制器下的飛機(jī)俯仰角的控制系統(tǒng)的確能夠較好地消除飛機(jī)在飛行中受到干擾時(shí)的俯仰角偏差，縮短飛機(jī)在飛行中趨向穩(wěn)定的時(shí)間，加速響應(yīng)，減少了上升時(shí)間，并且LQR與PID相比較效果更好.

圖10 PID系統(tǒng)產(chǎn)生波形Fig.10 Waveform generated by PID system

表2 性能指標(biāo)對(duì)比Table 2 Comparison of performance indexes

4 結(jié) 論

由于周圍環(huán)境等諸多因素，飛機(jī)會(huì)受到干擾和噪聲的影響，從而導(dǎo)致系統(tǒng)的振動(dòng)、穩(wěn)態(tài)誤差和響應(yīng)時(shí)間的延長.本文通過設(shè)計(jì)LQR控制器和PID控制器來實(shí)現(xiàn)對(duì)原系統(tǒng)的控制，LQR控制器提供了最小的可能振動(dòng)和更好的響應(yīng)速度，它需要加入預(yù)補(bǔ)償器縮放輸入基準(zhǔn)；為了測試PID控制器的性能，要通過添加擾動(dòng)來實(shí)現(xiàn).

在2種控制方法中，PID控制器的控制效果稍差一些，由于PID控制器的比例、積分、微分參數(shù)靠經(jīng)驗(yàn)或者多次實(shí)驗(yàn)獲得，當(dāng)系統(tǒng)性能發(fā)生變化或者遇到干擾后，整定的參數(shù)不一定適用，但PID控制器因具有結(jié)構(gòu)簡單、設(shè)計(jì)原理易于掌握和魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于工業(yè)控制中.LQR控制器是通過對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行局部線性化的方法進(jìn)行控制的，其抗干擾性和魯棒性效果較好，LQR控制器比PID控制器能更好地實(shí)現(xiàn)對(duì)俯仰角的控制，具有響應(yīng)快，超調(diào)小，穩(wěn)態(tài)誤差小的優(yōu)勢，能夠更好地滿足要求，使飛機(jī)處于平穩(wěn)狀態(tài)，飛行更加舒適安全.