一維周期性δ函數(shù)勢場中束縛態(tài)能級的研究①

田路遙，張瀾旭，裴魏魏,*，張海豐

(佳木斯大學(xué)a.理學(xué)院,b.機械工程學(xué)院,黑龍江 佳木斯 154007)

0 引 言

在初等量子力學(xué)中，求解一維薛定諤方程能夠給出量子體系的嚴(yán)格的能級分布和波函數(shù)，其關(guān)鍵在于知道體系的勢能函數(shù)分布，δ函數(shù)勢場是典型的勢能函數(shù)之一，因而被廣泛的研究與應(yīng)用[1-4]。例如，黃明舉對有限長周期δ勢阱和勢壘中的原子鏈模型的薛定諤方程進行了遞推法求解，給出了計算機計算時確定能級的遞推公式[5]；井孝功等在給定的極限條件下，方勢壘(阱)的本征解與δ勢壘(阱)的本征解一致[6]；唐義甲等通過對添加δ勢壘的一維半無限深勢阱的薛定諤方程進行求解，得到了粒子運動的波函數(shù)和能級的相關(guān)公式[7]；唐世清等求解了一維δ勢阱的束縛態(tài)問題[8]。旨在通過求解一維周期性δ函數(shù)勢所滿足的薛定諤方程，給出系數(shù)方程組的系數(shù)矩陣，進而給出束縛態(tài)能級。

1 一維勢場中的波函數(shù)

設(shè)質(zhì)量為m的粒子約束在一維勢V(x)中，在某些區(qū)域V(x)是常數(shù)V(x)=V。在此區(qū)域內(nèi)，E>V，E

易知，體系的定態(tài)波函數(shù)滿足的薛定諤方程為

(1)

E>V時，令?2k2/2m=E-V，于是有

(2)

該方程的解可以寫成

φ(x)=Aeikx+A'e-ikx

(3)

的形式，這里的A是A'是任意復(fù)常數(shù)。

E

(4)

上式的一般解是

φ(x)=Beρx+B′e-ρx

(5)

這里B和B'是任意復(fù)常數(shù)。

E=V時，可得

(6)

上式的解為

φ(x)=Cx+C′

(7)

這里C是C'是復(fù)常數(shù)。

2 一維δ函數(shù)勢場中束縛態(tài)本征函數(shù)的躍變條件

設(shè)質(zhì)量為m，能量E>0的粒子被束縛在一維勢-V0δ(x-a)中，下邊討論取極限ε→0時的定態(tài)薛定諤方程，進而給出束縛態(tài)波函數(shù)的躍變條件。

易知，體系的薛定諤方程可以寫為

(8)

對上式在a-ε和a+ε之間進行積分

(9)

根據(jù)波函數(shù)φ(x)的自然條件，在區(qū)間[a-ε,a+ε]上，當(dāng)ε→0時，可得

(10)

在x=a處，φ(x)的導(dǎo)數(shù)發(fā)生躍變

2mV0φ(x)/?2

(11)

由φ(x)在x=a連續(xù)性條件，可以得到

(12)

由式(11)和(12)可得

(13)

所以可以得到系數(shù)滿足的方程組為

(14)

因而，有

(15)

3 周期性的δ函數(shù)勢場中粒子的束縛態(tài)能級

設(shè)質(zhì)量為m的粒子被束縛在周期性的δ函數(shù)勢場中，周期勢表示為

(16)

對于每一個na

φn(x)=Bneik(x-na)+Cne-ik(x-na)

(17)

則在n+1區(qū)域內(nèi)的系數(shù)關(guān)系矩陣為

(18)

根據(jù)T的非奇異性，可以得到矩陣T的本征向量為

(19)

式中：β1和β2是復(fù)數(shù)。

在n和n+1兩個區(qū)域的x=(n+1)a處按照邊界條件可得

(20)

其中系數(shù)滿足如下矩陣

(21)

(22)

由于

(23)

可見T不是奇異矩陣detT≠0。 根據(jù)T的非奇異性，令C2的本征值為α1和α2，則有

(24)

則由式(18)可以得到

(25)

當(dāng)|α1|≤1時

(26)

當(dāng)|α2|≤1時

(27)

對于n→-∞的情況，可得

(28)

當(dāng)|α1|=|α2|=1時，T的本征值方程為

det(T-eiφI)=0

(29)

式中：φ是實常數(shù)，I為單位矩陣，于是

(30)

整理上式可得

(31)

上式的實部為

(32)

由cos(2φ)=2cos2φ-1及可以得到

(33)

4 結(jié) 語

(34)

可以通過對函數(shù)

(35)

描點法給出相應(yīng)的能級。當(dāng)k→∞時，函數(shù)f(k)近似為cos(ka)?？梢娤鄳?yīng)的能量E并不對應(yīng)一個可能的態(tài)，而是被|f(k)|≥1區(qū)域隔開的可能能量分布；當(dāng)E→∞，能級分布的禁帶將變得很窄，從而可以得到能級的連續(xù)譜。