行列式計(jì)算方法的研究

王建紅

（上海立信會(huì)計(jì)金融學(xué)院 統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，上海201209）

0 引言

行列式是線性代數(shù)課程中的一個(gè)基本概念，也是解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具。行列式的出現(xiàn)源于線性方程組的求解，是由德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨和日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和發(fā)明的。后來(lái)，瑞士數(shù)學(xué)家克萊姆對(duì)行列式的定義和展開(kāi)法則作出了比較完整、明確的闡述，并給出了現(xiàn)在所稱(chēng)的解線性方程組的克萊姆法則[1，2]。行列式在數(shù)學(xué)分析、幾何學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、線性方程組理論和二次型理論等多方面有著重要的應(yīng)用。除了數(shù)學(xué)學(xué)科上的應(yīng)用之外，其在物理學(xué)、力學(xué)、天文學(xué)以及其他技術(shù)學(xué)科中也有廣泛應(yīng)用[3，4]。行列式的理論奠定了高等數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)，同時(shí)也為數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛運(yùn)用提供了理論依據(jù)，因此行列式的計(jì)算是線性代數(shù)教學(xué)中的重要內(nèi)容之一。其計(jì)算方法較多，技巧性較強(qiáng)。要想掌握好行列式的計(jì)算，首先需具體分析所求行列式的特點(diǎn)和元素的規(guī)律性，針對(duì)其特征采取適當(dāng)?shù)姆椒?。其次，通過(guò)做題不斷總結(jié)，積累經(jīng)驗(yàn)。本文通過(guò)分析一些具體行列式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，介紹了常見(jiàn)的9種計(jì)算具體行列式的方法，給出了一些計(jì)算抽象型行列式的技巧。

1 具體型行列式的計(jì)算方法

1.1 定義法

定義：

其中p1,p2…p n是n階排列。

由行列式定義可知，其展開(kāi)是n!項(xiàng)之和，因此定義法基本只適合低階（二或三階）行列式和非零元素特別少的行列式（一般不多于2n個(gè)）。對(duì)于有些零元素分布比較有規(guī)律，如上（下）三角形行列式和含有零塊的行列式，也可以考慮利用定義法計(jì)算。由于定義法不太常用，這里不舉例說(shuō)明。

1.2 化三角形法

性質(zhì)：

該性質(zhì)中的行列式分別稱(chēng)為主對(duì)角線和次對(duì)角線的上（下）三角行列式。一般地，行列式自身不一定滿(mǎn)足此形式，可利用行列式的性質(zhì)將其化為該形式?；切畏ㄊ切辛惺接?jì)算中最常用的方法,特別適合于一類(lèi)爪型（或可化為爪型）行列式以及行和（列和）相等的行列式計(jì)算。所謂爪型行列式是指除首行首列和主對(duì)角線元素外其余元素均為零的行列式。

解法一：各行元素之和相等，將所有列加至第一列，再化為上三角行列式。

解法二：可將各行減去第1行，化為爪型行列式，再化為上三角行列式。

1.3 降階法

利用行列式按行（列）展開(kāi)定理或拉普拉斯定理將其降成低階行列式計(jì)算。按行（列）展開(kāi)前一般需要利用行列式的性質(zhì)將某行（列）化為只有一個(gè)非零元素的行（列）。若行列式中出現(xiàn)大片的零元素，即包含零塊，且非零的k階子式個(gè)數(shù)較少時(shí)，也可利用拉普拉斯定理將行列式較快的降階。

解：該行列式第二行是同一元素，其余各行與第二行有(n-1)個(gè)元素相同，因此將其余各行減去第二行，將第一行化成只有一個(gè)非零元素，再按第一行展開(kāi)降階可得

1.4 增階法

增階法是指在不改變?cè)辛惺街档那闆r下，通過(guò)增加一特殊行和列對(duì)行列式進(jìn)行計(jì)算。該方法一般適合于行列式中每行或每列對(duì)應(yīng)位置元素（除對(duì)角線位置外）都相同的。增加的行和列，一般需要首行首列元素為1,首行其余元素為每行相同的元素，首列其余元素均為零。增加一階后一般可利用行列式的性質(zhì)化為爪型行列式再計(jì)算。

解：通過(guò)增加一行和一列可得

1.5 拆項(xiàng)法

當(dāng)行列式某行（列）是兩項(xiàng)或多項(xiàng)之和時(shí)，可利用行列式的性質(zhì)將其拆成兩個(gè)或多個(gè)行列式的和再計(jì)算。但有些行列式不具備這種形式時(shí)，也可以用拆項(xiàng)法簡(jiǎn)化計(jì)算，將某行（列）所有元素拆成兩項(xiàng)之和，有些項(xiàng)看成加上零元素。

解：1.若b=c，由例1可知

D n=[a+(n-1)b](a-b)(n-1)。

2.若b≠c，將最后一列中b=b+0,a=b+(a-b),得

由于b,c是對(duì)稱(chēng)的，則

1.6 數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法一般適合于行列式的結(jié)論已知且結(jié)論與自然數(shù)相關(guān)，尤其是關(guān)于行列式的證明題。也可以用于在計(jì)算n階行列式時(shí)，先計(jì)算n=1,2的情形，找出一般規(guī)律，歸納出n階的結(jié)論，再用數(shù)學(xué)歸納法給出證明。

例5.計(jì)算

解：易 知n=1,D1=cosθ；n=2,D2=2 cos2θ-1=cos 2θ因此猜想D n=cosnθ。

這時(shí)可以利用數(shù)學(xué)歸納法給出證明,n=1時(shí)，顯然成立。假設(shè)結(jié)論≤n-1階成立，則將D n按最后一行展開(kāi)可得

Dn=2 cosθD n-1-D n-2=2 cosθcos(n-1)θ-cos(n-2)θ=cosnθ。

1.7 遞推公式法

若行列式的元素分布比較有規(guī)律，可以設(shè)法找出n階行列式與較低階行列式之間的遞推關(guān)系式，再解出此行列式。一般遞推關(guān)系式有以下兩種情形:

（1）若n階行列式滿(mǎn)足aD n+bD n-1+c=0，需再找出D n與D n-1的另一個(gè)關(guān)系式，聯(lián)立方程組解出D n;

（2）若n階行列式滿(mǎn)足aD n+bD n-1+cD n-2=0，則考慮特征方程ax2+bx+c=0。

1.若特征方程的判別式Δ≠0，則特征方程有兩個(gè)不相等的根x1,x2，此時(shí)可設(shè)(A,B待定)，令n=1,n=2解出A,B即可。

2.若特征方程的判別式Δ=0，則特征方程有兩個(gè)相等的根x1、x2，此時(shí)可設(shè)(A,B待定)，同樣令n=1,n=2解出A,B即可。

例6.計(jì)算

解：將此行列式按第一列展開(kāi)可得

所以，特征方程為x2-2ax+a2=0，有兩個(gè)相等的特征根x1=x2=a。

可設(shè)D n=(A+nB)an-1，又因?yàn)?/p>

所以D n=(n+1)an。

1.8 公式法

公式法一般是指利用范德蒙行列式的計(jì)算結(jié)果來(lái)計(jì)算某些可化為該形式的行列式。n階范德蒙行列式為：

V n=0?x i(i=1,2，…，n)中至少兩個(gè)相等。

例7.計(jì)算

解：將第一行1=ai-(a i-1)，則該行列式可化為兩個(gè)范德蒙行列式

1.9 特征值法

設(shè)是n階矩陣A的全部特征值（重根按重?cái)?shù)計(jì)算），則矩陣A的行列式|A|=λ1λ2…λn。所謂矩陣A的特征值λi是指滿(mǎn)足方程 |λi E-A|=0的根。由于計(jì)算特征值時(shí)需要求行列式，所以用特征值法計(jì)算行列式的方法不常用，一般可用于一些證明題中。

2 抽象型行列式的計(jì)算技巧

抽象型行列式是指不給出具體元素，往往涉及與行列式相關(guān)聯(lián)的方陣、伴隨陣、逆矩陣、分塊矩陣或用行（列）向量表示的矩陣等行列式的計(jì)算。因此，計(jì)算此類(lèi)行列式需靈活運(yùn)用矩陣和行列式的有關(guān)性質(zhì)。

（1）設(shè)A是n階方陣，k是一常數(shù)，則|AT|= |A|, |kA|=k n|A|，|A*|= |A|n-1（A*是A的伴隨矩陣）

（2）若A是n階可逆方陣，則 ||A-1= ||A-1。

（3）設(shè)A,B均是n階方陣，則 ||AB= ||A||B。

（4）設(shè)A,B分別是m階和n階方陣，對(duì)于分塊矩陣，其行列式

（5）若A是n階可逆方陣，對(duì)于分塊矩陣，利用初等變換可得，兩邊取行列式得

（6）若行列式的行或列以向量及其運(yùn)算形式給出時(shí)，可利用行列式的性質(zhì)計(jì)算。