基于最小二乘配置的地面三維脈沖激光掃描儀自檢校

郭獻濤，賈 燕

（南京郵電大學 地理與生物信息學院，江蘇 南京210023）

1 引言

地面激光掃描（Terrestrial Laser Scanning，TLS）技術(shù)又稱實景復制技術(shù)，它是測繪領(lǐng)域中繼GPS之后的又一次技術(shù)革命。該技術(shù)通過極坐標法掃描測量激光到對象表面的距離、水平角及垂直角，可以快速、高精度、免棱鏡式地獲取對象表面的高密度三維數(shù)據(jù)，得到對象的離散化表示；但TLS測量精度較大程度上受儀器系統(tǒng)誤差影響，為保證數(shù)據(jù)質(zhì)量，須在實際掃描測量前對儀器實施檢校［1］。

目前，關(guān)于TLS儀器的檢校還沒有通用的方法與評價體系，主要有分項檢校和整體檢校兩種模式。分項檢校主要采用誤差分析法對測距測角等模塊實施單獨檢校，需精確建立儀器的誤差模型，受掃描儀專利設計影響，這方面的知識通常較為有限［2］。此外，該類檢校還需檢?；€等特殊檢校設施，因此難以普及。整體檢校是將掃描儀所有組件作為一個整體，直接與標準檢校場比較測量來獲取系統(tǒng)改正數(shù)。該類檢校無需精確已知儀器的誤差模型，檢校場建立也不復雜，目前可通過自檢校實施整體檢校［3］。

近年來，自檢校已逐漸成為TLS檢校的流行方法，它可以確定掃描儀所有系統(tǒng)誤差及其他系統(tǒng)參數(shù)?；谑褂玫臋z校標志類型，TLS自檢?？煞譃閮煞N類型［4］：（1）基于點的自檢校，即利用可提取中心坐標的標志實施檢校。Lichti給出了一個自由網(wǎng)平差法，以同時估計外方位參數(shù)、對象點坐標與檢校參數(shù)［5］，檢校了Faro 880、Trim?ble GS200、Trimble GX等掃描儀，并分析了檢校參數(shù)的時序行為，文獻［6］詳細描述了上述數(shù)學模型。Krzysztof對掃描儀FARO 880實施了一系列自檢校實驗，較好地識別了TLS儀器誤差［7］。此外，Soudarissanane等人給出了一個全景相機擴展傳感器模型作為TLS誤差模型，使用掃描強度圖像代替點云對激光掃描儀Imager 5003實施建模和檢校［8］。目前這些研究主要集中于相位式掃描儀，且檢校參數(shù)間存在高相關(guān)性導致參數(shù)估計不確定性的問題。（2）基于平面的自檢校，即利用平面模板反射坐標實施檢校，該方法由Gielsdorf提出，并被應用于掃描儀Imager 5003與PoMeS的實驗室檢校［9］。Chow改進了該方法，利用室內(nèi)墻壁、地板和天花板代替專門的檢校面板實施了掃描儀FARO880的自檢校，改善了自檢校殘差標準差的觀測精度。Dorninger等人使用平面特征進行自校準，主要專注于現(xiàn)場閉合差估計［10］。此外，Mahbaz建議采用連續(xù)分段線性改正函數(shù)替代諧波函數(shù)和多項式函數(shù)［11］，該改正函數(shù)不需要對檢校模型做假設，但需要更多的參數(shù)。相比于點檢校法，基于平面的自檢校法無需做大量的單點測量，但結(jié)果卻與基于點自檢校方法相差較大，使系統(tǒng)的誤差識別復雜化。

本文基于點自檢校法提出一種脈沖TLS掃描儀檢校方法，以降低參數(shù)估計的相關(guān)性，保證參數(shù)估計的可靠性。

2 建模與優(yōu)化設計

2.1 自檢校建模

TLS檢校的首要步驟是解決掃描儀幾何建模的問題。由于掃描儀的專利設計，用戶通常難以了解其內(nèi)部構(gòu)造，需要對儀器模型做一定的假設［12］。TLS在測量原理（見圖1）上類似于免棱鏡測量的全站儀［13］，本文擬采用全站儀的誤差模型作為自檢校的基礎模型。

圖1 地面三維脈沖激光掃描測量的基本原理Fig.1 Basic principle for terrestrial laser scanning

參考全站儀的誤差模型，擬定該模型的主要檢校參數(shù)（Calibration Parameters，CPs）為激光測距儀的零誤差（加常數(shù)）、水平軸誤差、視準軸誤差、豎盤指標差以及尺度誤差。采用這些參數(shù)實施檢校后，殘差中可能還會殘留一些系統(tǒng)趨勢。對這些趨勢進行分析以確定其他的CPs。

2.2 檢校網(wǎng)優(yōu)化設計

TLS檢校網(wǎng)的最優(yōu)設計應能保持與其他系統(tǒng)參數(shù)較低相關(guān)性的前提下，提供CPs的可靠估計［14］，主要分為零類設計和一類設計兩部分。

2.2.1 零類設計

檢校網(wǎng)零類設計又稱檢校網(wǎng)基準設計，可基于最小化約束或內(nèi)部約束定義TLS檢校網(wǎng)基準。常見的內(nèi)部約束是通過對象點坐標（Object Point coordinates，OPs）實施基準約束，其約束參數(shù)精度較好，但會導致一些系統(tǒng)參數(shù)間（主要是外 方 位 參 數(shù)（Exterior Orientation Parameters，EOPs）與CPs間的高相關(guān)性。

最小化約束通常是固定TLS測站的方位和位置，或固定非共線的3個對象點的坐標，但該約束易增加一些CPs和OPs間的相關(guān)性［15］。所以，以上約束都不是TLS檢校網(wǎng)基準設計的最佳選擇。本文摒棄此類強制約束，采用最小二乘配置先驗隨機信息柔性定義檢校網(wǎng)基準。

2.2.2 一類設計

檢校網(wǎng)一類設計，即檢校網(wǎng)結(jié)構(gòu)圖形設計?；谇叭藢嵤┫鄼C檢校以及TLS檢校的成果與經(jīng)驗，為得到CPs的低相關(guān)高精度估計，本文擬采用以下檢校網(wǎng)配置：

（1）使用兩個或兩個以上掃描儀位置估計測距儀加常數(shù)；（2）使用大量的點狀標志提供平差觀測的高冗余度，確保有效檢測非模型系統(tǒng)誤差導致的殘差趨勢；（3）檢校標志在垂直方向均勻分布，保證垂直角依賴誤差（如水平軸誤差、視準軸誤差）的可靠估計；（4）從同一標稱位置實施正交掃描，以降低EOPs和CPs間的相關(guān)性。

3 方 法

傳統(tǒng)利用參數(shù)化模型或混合最小二乘平差模型實施TLS自檢校，通常把一部分變量視為觀測值，其他視為參數(shù)。伴隨觀測值的是以標準差或方差-協(xié)方差（Variance-Covariance，VCV）矩陣形式存在的先驗隨機信息，而對于參數(shù)并沒有給出這些信息。

本文提出的方法通過最小二乘配置對檢校平差中的所有參數(shù)配置先驗權(quán)重，把模型中的全部變量作為觀測值。對TLS自檢校來說，其主要優(yōu)勢是易于引入EOPs先驗隨機信息。同時，通過“隨機約束”定義檢校網(wǎng)基準，從而避免了強制約束易導致參數(shù)間高相關(guān)性的不足。

3.1 檢校模型

本文方法的底層數(shù)學模型是附有檢校參數(shù)與外方位信息的掃描儀坐標系統(tǒng)與外部坐標系統(tǒng)之間的剛性變換。假設在檢校場中利用點狀檢校標志進行檢校，且每站實施一次掃描，則從第i站掃描測量第j個檢校標志的條件方程為：

式中：p為掃描儀測站數(shù)，m為檢校標志數(shù)，ΔX(i)表示第i個掃描站的平移向量，R(ω(i)，?(i)，κ(i))表示坐標系統(tǒng)間的旋轉(zhuǎn)矩陣，X je為第j個檢校標志的外部坐標向量，x(i)scanj為在第i站上掃描第j個檢校標志校正掃描儀CPs影響后的掃描儀坐標向量，ΔX，ΔY，ΔZ，ω，φ，κ為掃描儀外方位參數(shù)。其中：

式中r，φ，θ分別為斜距、水平角與垂直角。誤差項 Δr，Δφ，Δθ的 建 模 為 ：Δr=a0，Δφ=b1/cosθj(i)+b2tanθj(i)，Δθ=c0，而a0，b1，b2和c0分別表示測距儀加常數(shù)、視準軸誤差、水平軸誤差與豎盤指標差。由于檢校場尺寸通常較為有限，尺度參數(shù)估計較弱，本文檢校模型中沒有包含該誤差參數(shù)。

由于參數(shù)和觀測隱性相關(guān)，選擇線性化混合平差模型。式（1）線性化可得：

式中：A，B分別為式（1）關(guān)于參數(shù)和掃描觀測的衍生矩陣，W與W X為閉合差向量，X為參數(shù)向量，其近似值為X0；Xobs，V X分別為參數(shù)“觀測”值與“觀測”參數(shù)有關(guān)的殘差向量，uCP為CPs數(shù)量。式（3）和式（4）聯(lián)立得到：

式中：向量X，W X，V X及矩陣A被分解為三部分，分別對應掃描站EOPs(AEOP，XEOP，WEOP，VEOP)、掃 描 儀 CPs(ACP，XCP，WCP，VCP)與 OPs（AOP，XOP，WOP，VOP）。

其平差先驗VCV矩陣計算如下：

式中：C為VCV矩陣，Q為輔因子矩陣，P為權(quán)重矩陣。在平差開始，假設先驗方差因子σ20=1.0，并假設式（6）中系統(tǒng)參數(shù)各不相關(guān)。VCV的子矩陣Cobs為：

式中：σr，σφ，σθ分別表示測距、水平方向與垂直角的先驗信息（標準差），參考儀器說明書設定；σbeam表示激光光斑內(nèi)測距位置的不確定性，約等于波束寬度的1/4。

X的法方程系統(tǒng)表示為：

式中：

式中：

則解變?yōu)椋?/p>

為消除設計矩陣基準秩虧及應對傳統(tǒng)約束導致的高相關(guān)性，代替引入OPs作為觀測值，對其坐標引入內(nèi)部約束。該模型中隨機內(nèi)部約束為：

式中：VC是約束下的殘差向量，D為內(nèi)部約束矩陣。本文估計的不是OPs，而是其近似值的改正（XOP）。將式（5）轉(zhuǎn)變?yōu)橄铝芯仃嚪匠蹋?/p>

其約束平差的先驗VCV矩陣為：

式中：CC，QC和PC分別為約束下“觀測”的VCV矩陣、輔因子矩陣與權(quán)重矩陣。具體實施中，矩陣CC和QC可設置為單位矩陣乘以一個極小數(shù)，矩陣PC中對角元素趨向無窮大。同式（12）求解內(nèi)部約束的平差解。

3.2 方差分量估計與粗差檢測

在TLS自檢校過程中需要利用后驗方差分量估計觀測精度，以評估檢校平差中使用的先驗觀測權(quán)重是否合理。此外，為了成功實施后驗方差分量估計須剔除粗差，而要有效檢驗粗差，觀測VCV矩陣應正確無誤，因此，需同時實施方差分量估計和粗差檢驗。

本文采用Forstner法同時實施方差分量估計和魯棒估計［16］。首先利用檢校模型中計算的方差-協(xié)方差矩陣實施最小二乘平差，然后通過以下權(quán)重基于平差殘差計算新的等價權(quán)矩陣，即有：

式中σl i和v i分別為第i站觀測的先驗標準差和殘差。根據(jù)以上加權(quán)法則，具有較大殘差的觀測被視為異常值，使用殘差指數(shù)函數(shù)降低其權(quán)重，持續(xù)迭代直至收斂。

最后，估計觀測方差分量，并利用F測試檢驗它是否與先驗值存在顯著差異，若不顯著，則接受平差結(jié)果；若顯著，則計算新的后驗權(quán)矩陣，并重復上述檢校流程。

4 實驗

為了測試本文方法的性能以及找到CPs之間以及CPs和其他系統(tǒng)參數(shù)間低相關(guān)性的最優(yōu)檢校網(wǎng)設計，利用掃描儀Leica Scan Station（具有直接地理定位功能）在一個12 m×9 m×3 m的室內(nèi)檢校場中實施自檢校實驗（見圖2）。

圖2 檢校場設計平面圖Fig.2 Schematic diagram of self-calibration field

該實驗場包含144個均勻分布于檢校場空間（墻壁、地板和天花板上）的點狀檢校標志，其垂直分布范圍為-45°～83°，幾乎覆蓋了整個垂直維掃描視場，分別采用2站和4站掃描設置實施兩個系列的模擬自檢校實驗（具體設計見表1）。

表1 自檢校模擬設計Tab.1 Specific indexes of self-calibration test

實驗中采用的掃描儀觀測先驗標準差從儀器說明書中獲取，誤差項σbeams忽略不計，掃描儀CPs先驗標準差參考前人研究成果設置（見表2）；OPs先驗標準差基于假設“其中一站掃描的檢校標志坐標可作為OPs的先驗值”；EOPs先驗標準差參考掃描儀可實現(xiàn)的對中整平精度；掃描方位先驗精度可設為一較大值，以實現(xiàn)該參數(shù)的完全自由。最后，加入隨機噪聲（對應于各個觀測的標準差）到掃描儀觀測、掃描儀中心坐標和“傾”角中。

表2 自檢校中模擬CPsTab.2 Simulation of CPs in self-calibration test

根據(jù)表1中的實驗設計，分別實施兩個系列的檢校實驗。在第一個系列實驗中不加入任何已知點，在第二個實驗系列中加入3個位置分布良好的已知檢校標志（XYZ坐標先驗標準差約為1 mm），以研究已知點對模擬結(jié)果的影響。

5 結(jié)果與分析

5.1 實驗結(jié)果

檢校實驗結(jié)果見表3與表4（篇幅所限，僅給出部分掃描站檢校數(shù)據(jù)）以及圖3和圖4（圖中無已知點參與的結(jié)果以黑色表示，包含3個已知點的模擬結(jié)果以灰色表示）。表3和表4中給出了估計的CPs以及其標準差信息、EOPs和OPs的相關(guān)系數(shù)（最大絕對值）以及平均標準偏差信息。由于掃描儀自檢校中主要關(guān)注CPs的精確估計，所以表中僅給出了CPs和其他系統(tǒng)參數(shù)間的相關(guān)系數(shù)。這里用ρ表示相關(guān)系數(shù)。

圖3 自檢校模擬得到的CPs估計和標準差Fig.3 Estimation and standard deviations of CPs in self-calibration simulation

圖4 自檢校模擬中不同參數(shù)間最大（絕對值）相關(guān)系數(shù)Fig.4 Maximal correlation coefficients（absolute value）between different parameters

表3 無已知點參與的自檢校模擬結(jié)果Tab.3 Simulation results of self-calibration without points （°）

表4 包含3個已知點的自檢校模擬結(jié)果Tab.4 Simulation results of self-calibration with 3 points

5.2 結(jié)果分析

由表3～表4和圖3分析可知，掃描儀加常數(shù)、水平軸誤差和豎盤指標差等CPs在所有模擬設計下都得到了高精度估計，其估計標準差約為其估計值的1/10，且估計值與模擬值吻合較好；在2站掃描設計下，視準軸誤差b1與掃描儀方位κ高度相關(guān)（ρ約為-0.8），導致這兩個參數(shù)估計結(jié)果較差。雖然通過多次掃描，b1的標準差有所下降，但并沒有降低b1和κ間的相關(guān)性，同時采取不同測站高度掃描未發(fā)現(xiàn)對參數(shù)估計有顯著影響。除b1與κ間的高相關(guān)性外，所有CP-EOP間的相關(guān)性都相對較低，且在檢校中影響不顯著。采用4站掃描設計顯著改善了b1的估計結(jié)果（其估計標準差比2站配置下改善約2倍），且ρ下降到0.5。

分析圖4可知，掃描儀中心位置的已知有助于降低a0和ΔX及ΔY間的相關(guān)性（ρ最高約為0.3）。a0和ΔY間的相關(guān)性高于它和ΔX間的相關(guān)性，這可能與外部坐標系統(tǒng)的Y軸沿檢校場長尺寸方向有關(guān)；此外，CP-OP相關(guān)性非常低，觀測到的最大相關(guān)性（0.4～0.5）存在于加常數(shù)a0和X，Y標志點坐標間。無已知點檢校的最大相關(guān)系數(shù)為0.28，使用3個已知點檢校的最大相關(guān)系數(shù)為0.39，以上相關(guān)性對TLS自檢校而言并不算高；而OPs估計的平均標準差處于亞毫米水平，由于加常數(shù)a0和標志點X，Y軸向間的相關(guān)性相對較高，OPs平面標準差稍差于高程標準差。

最后結(jié)合圖3可知，檢校網(wǎng)中已知點的存在對CPs估計無顯著影響，但對參數(shù)相關(guān)性有較大影響，如b1和κ間的相關(guān)性以及a0與ΔX，ΔY間的相關(guān)性。相對于無已知點檢校實驗，其相關(guān)性變大，CP-OP間的相關(guān)性也略有增加，而EOPs和OPs的標準差卻略有下降。

6 結(jié)論

本文以全站儀誤差模型為基礎提出了一種脈沖TLS儀器系統(tǒng)誤差自檢校方法，通過對估計參數(shù)配置先驗權(quán)重信息以及對檢校網(wǎng)進行優(yōu)化設計，降低了脈沖TLS自檢校平差中大多數(shù)CPs和其他系統(tǒng)參數(shù)間（尤其是與外方位參數(shù)EOPs間）的相關(guān)性，從而提高了估計參數(shù)的可靠性。檢校實驗結(jié)果表明，4站掃描檢校配置的設計結(jié)果顯著優(yōu)于2站掃描設計，而掃描儀設站的高度差異、同一測站多次掃描、正交掃描等措施并未對參數(shù)估計產(chǎn)生顯著影響。此外，為可靠估計掃描儀加常數(shù)，需以約1 mm的高精度測定掃描儀站坐標，由此顯示出采用隨機內(nèi)部約束方法定義檢校網(wǎng)基準的優(yōu)勢。