正定二次型的習(xí)題課設(shè)計(jì)

尹正

摘?要：高等代數(shù)二次型理論中，正定二次型的判定是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，不少同學(xué)解題時(shí)感到無從下手。本文就從基本概念的回顧、正定二次型與正定矩陣的性質(zhì)、二次型正定及矩陣正定的判定等方面來設(shè)計(jì)正定二次型的習(xí)題課。

關(guān)鍵字：高等代數(shù);二次型;正定二次型;習(xí)題課

Design?of?an?Exercise?Lesson?of?the?Quadratic?Form

of?Positive?Definite

Yin?Zheng

Yunnan?Normal?University??YunnanKunming??650050

Abstract：Quadratic?form?of?positive?definite?plays?an?important?role?in?the?teaching?content?of?advanced?algebra.?It?is?important?and?difficult?to?determine?whether?a?real?quadratic?form?is?positive?definite?or?not.?This?paper?designs?exercises?of?quadratic?form?of?positive?definite?from?the?aspects?of?concept?review，?properties?of?quadratic?form?of?positive?definite?and?positive?definite?matrix，?determination?of?positive?definite?quadratic?form?and?positive?definite?matrix.

Keywords：advanced?algebra;quadratic?form;quadratic?form?of?positive?definite

1?緒論

在正定二次型的課堂教學(xué)中，同學(xué)基本上能明白二次型、正定二次型及其與對稱矩陣之間的關(guān)系，對正定二次型的各種判定方法也比較容易理解。但是，面對課后具體的各類型判定二次型正定的習(xí)題卻感覺解題思路模糊，把握不了解題的關(guān)鍵點(diǎn)。因此，我們在正定二次型內(nèi)容的習(xí)題課上，教師不僅要概括和復(fù)習(xí)主要的知識點(diǎn)，還要對解題的方法進(jìn)行剖析，幫助學(xué)生理清解題思路，特別是通過典型的一題多解例子的講解，使得學(xué)生理解不同解法之間的縱橫關(guān)系，這樣就可以極大地開拓學(xué)生的解題思路，掌握解題的方法，不斷提高學(xué)生運(yùn)用學(xué)到的知識去探究和解決問題的能力。

2?概念與結(jié)論回顧

習(xí)題課開始時(shí)，先復(fù)習(xí)和鞏固二次型的相關(guān)概念、定理、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的兩種基本方法。教師可以借助靈活的教學(xué)手段，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，啟發(fā)同學(xué)們積極思考、理清解題思路，把題目中的已知條件和要解決的問題之間的關(guān)系和橋梁搞清楚。下面定理1是最基礎(chǔ)的結(jié)論之一，可以從二次型角度和對稱矩陣角度來描述。

3?正定二次型、正定矩陣的判定

為了使學(xué)生更好地理解正定二次型、正定矩陣的概念，熟練掌握判定方法，習(xí)題課上應(yīng)結(jié)合正定概念的核心內(nèi)容精選典型例題用多種方法進(jìn)行講解，經(jīng)過分組討論等形式，讓學(xué)生明白解題的分析過程和解題思路，感受各種解法之間的聯(lián)系，并對二次型正定或矩陣正定的證明方法進(jìn)行歸納和總結(jié)，在此基礎(chǔ)上，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)一步探討和加以推廣，培養(yǎng)數(shù)學(xué)的思維方式，不斷提高解題能力。

經(jīng)過上面一個(gè)典型一題多解例子的講解，不僅使學(xué)生加深了對二次型及矩陣正定的相關(guān)概念和解題思路的理解，而且，也能歸納總結(jié)出判定二次型及矩陣正定的方法與技巧，從而達(dá)到開闊眼界、發(fā)展思維;尤其是通過分組學(xué)習(xí)、討論，既有利于學(xué)生在主動探究和學(xué)習(xí)中達(dá)到問題的解決，也有利于學(xué)生掌握題型、開拓解題思路、熟悉解題方法。

用證法一，即二次型正定的定義和證法三，即用二次型對應(yīng)的矩陣的各階順序主子式還可以來討論含參數(shù)二次型的正定性，例如：

上面的例題是判定二次型或矩陣正定的幾種常用的方法，下面的例題則是考察學(xué)生對正定矩陣性質(zhì)的理解。

分析：由于矩陣????的元素結(jié)構(gòu)沒有給出，像這樣的抽象矩陣無法計(jì)算出它的順序主子式，因此，要判斷其正定性，沒法用其順序主子式全大于零來判定。這類問題一般用例1的證法一或證法五，即用定義或用其特征值全大于零這兩種思路來證明。而求抽象矩陣的特征值需要知道矩陣滿足的一定的矩陣關(guān)系式，該題目也沒有給出此類條件，因此，這類題目只能用定義來證明。

4?結(jié)語

實(shí)踐證明，在正定二次型教學(xué)的習(xí)題課上，教師經(jīng)過典型例題的詳細(xì)分析和多種證明方法的講解，不僅讓學(xué)生掌握分析問題和解決問題的方法與技巧，而且，在參與學(xué)生分組討論時(shí)適當(dāng)?shù)丶右詥l(fā)，及時(shí)發(fā)現(xiàn)和糾正學(xué)生分析證明思路的錯(cuò)誤，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合所學(xué)習(xí)的證明方法進(jìn)行正確的審題，抓住證明的關(guān)鍵點(diǎn)有極大的幫助;對證明二次型或矩陣正定有更好的證明思路和證明方法給予充分的肯定和鼓勵(lì)，可極大地提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和分析問題、解決問題的能力。

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基金項(xiàng)目：云南師范大學(xué)本科教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目（YNJG?201831）;云南師范大學(xué)本科線下一流課程建設(shè)項(xiàng)目（2019xxkc28）