初中數(shù)學(xué)幾何定理探究案例分析

梁笑韻

摘 要：初中數(shù)學(xué)有很多定理的教學(xué)，有些老師為了提高課堂效率，會(huì)把定理直接告知學(xué)生，學(xué)生運(yùn)用所學(xué)定理去完成練習(xí)，這樣看上去會(huì)比較高效，但是學(xué)生對(duì)于定理的生成過(guò)程比較陌生，容易遺忘，在實(shí)際運(yùn)用中也常有困惑。我認(rèn)為讓學(xué)生花時(shí)間去參與定理的生成、論證是非常重要的。學(xué)生通過(guò)歸納總結(jié)，可以有效的提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力。

關(guān)鍵詞：圓周角定理 學(xué)生講題 能力提升

1 學(xué)生講題案例探索（圓周角定理證明）

1、教學(xué)內(nèi)容分析：本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了圓、弦、弧、圓心角、圓周角等相關(guān)概念的基礎(chǔ)上出現(xiàn)的，圓周角和圓心角的關(guān)系通過(guò)弧作為橋梁連接，在圓這一單元有廣泛的應(yīng)用。通過(guò)對(duì)圓周角定理的探討，體驗(yàn)知識(shí)的形成過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)，為學(xué)生提供自主探索與交流展示的空間。

2、教學(xué)目標(biāo)：理解圓周角定理，通過(guò)觀察比較、發(fā)展學(xué)生的推理能力，在探索的過(guò)程中學(xué)會(huì)運(yùn)用分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題。

3、教學(xué)過(guò)程簡(jiǎn)述

活動(dòng)一：（1）請(qǐng)學(xué)生在紙上畫(huà)一個(gè)圓，在圓上任取兩點(diǎn)B和C，用紅筆畫(huà)出弧BC所對(duì)的圓心角，然后用藍(lán)筆畫(huà)出弧BC所對(duì)的圓周角，數(shù)一數(shù)能畫(huà)幾個(gè)圓心角、幾個(gè)圓周角。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生只能畫(huà)出一個(gè)圓心角，但可以畫(huà)出無(wú)數(shù)個(gè)圓周角。這里給學(xué)生提供了一個(gè)思考的方向，既然圓心角只有一個(gè)，我們?cè)谘芯繄A周角的時(shí)候，可不可以把無(wú)限個(gè)圓周角轉(zhuǎn)化成有限個(gè)圓心角呢，這是本定理證明的關(guān)鍵步驟，學(xué)生在畫(huà)圖中可以直觀感知這一問(wèn)題。

（2）請(qǐng)同學(xué)們把上圖所畫(huà)的圓周角進(jìn)行分類(lèi)。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過(guò)觀察這些角、找出分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)。有些同學(xué)看到角的分類(lèi)會(huì)聯(lián)想到把角分成銳角、鈍角、直角，但是上圖中的所有圓周角都是對(duì)著同一段弧BC，所以只有一個(gè)角度，學(xué)生也會(huì)發(fā)現(xiàn)按照以前所學(xué)的分類(lèi)方式不合適。教師可以引導(dǎo)學(xué)生以圓中固定的點(diǎn)為參照物，觀察圓周角與圓心的關(guān)系，找出圓心在角的內(nèi)部，在角的外部，在角的邊上這三種情況作為分類(lèi)的依據(jù)。

（3）請(qǐng)同學(xué)們到黑板上演示，拖動(dòng)圓上的點(diǎn)，觀察圓心與圓周角的關(guān)系，因?yàn)槲覀儺?huà)圖得出的圓周角是有限的，用幾何畫(huà)板演示的情況會(huì)更加全面。

設(shè)計(jì)意圖 ：我們?cè)趯W(xué)習(xí)幾何元素的時(shí)候?qū)W習(xí)了點(diǎn)、線、角，那么用類(lèi)比的思維我們?cè)趫A里面可以找到圓心、弦、圓周角和圓心角。點(diǎn)與直線的位置關(guān)系有兩種，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線外。點(diǎn)與角的位置關(guān)系是點(diǎn)在角的內(nèi)部、在角的外部、在角的邊上。在此讓學(xué)生明白為什么要進(jìn)行分類(lèi)研究，而且運(yùn)用以前所學(xué)的點(diǎn)與角的位置關(guān)系，從而確定分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，給學(xué)生明確了探究的方向。

活動(dòng)二：請(qǐng)同學(xué)們觀察圖中圓周角和圓心角的關(guān)系，大膽猜想，猜想后親自動(dòng)手測(cè)量驗(yàn)證結(jié)論，最后用幾何畫(huà)板演示，根據(jù)數(shù)據(jù)的變化情況能更直觀的得出兩者間的數(shù)量關(guān)系。

設(shè)計(jì)意圖：先讓學(xué)生猜測(cè)，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，然后用量角器測(cè)量，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作的能力，最后用幾何畫(huà)板驗(yàn)證，用幾何畫(huà)板演示時(shí)，注意改變圓周角的頂點(diǎn)，改變圓心角的大小，改變圓的半徑，從多個(gè)維度去驗(yàn)證圓周角與圓心角的關(guān)系。讓學(xué)生更加全面的感知信息技術(shù)在數(shù)學(xué)驗(yàn)證中的完整性、準(zhǔn)確性、便捷性，提高學(xué)生的興趣。這樣的幾個(gè)步驟可以幫助培養(yǎng)學(xué)生探究問(wèn)題思路，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)。

活動(dòng)三：證明一條弧所對(duì)的圓周角是它所對(duì)圓心角的一半。請(qǐng)同學(xué)們分組討論，然后派代表匯報(bào)。

學(xué)生上黑版講解第一種情況的證明思路，并書(shū)寫(xiě)過(guò)程，以圓為背景的題很多最后都可以轉(zhuǎn)化成三角形的題目，這個(gè)證明就用到三角形的外角和定理，我們可以把這個(gè)模型歸納為小紅旗模型，第二種情況就可以轉(zhuǎn)化為兩面小紅旗的和的形式，第三種情況可以轉(zhuǎn)化為兩面小紅旗的差的形式，三種情況的證明思路都是一致的。

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)定理的生成只靠測(cè)量是不夠的，我們也不可能把每一種情況都測(cè)量出來(lái)。所以我們還需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明。學(xué)生通過(guò)圓周角的定理的生成過(guò)程明白了證明幾何定理的一般步驟，同時(shí)理解了不同的情況需要分類(lèi)的去證明，這為日后學(xué)習(xí)其它定理提供了一個(gè)范例。通過(guò)師生合作 ，讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)方法 、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想來(lái)研究問(wèn)題，從而培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S能力。定理的學(xué)習(xí)需要學(xué)生更多的時(shí)間去探索，學(xué)生只有掌握了定理的來(lái)龍去脈，才能記得牢固，用的靈活，如果教師只重視結(jié)果，而輕視了過(guò)程，這只是讓學(xué)生記住了定理，不利于學(xué)生思維能力的培養(yǎng)。在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生關(guān)于為什么的問(wèn)題是最有價(jià)值的，所以引導(dǎo)學(xué)生解決為什么要這樣分類(lèi)是本節(jié)課的難點(diǎn)，教師通過(guò)類(lèi)比的思想，讓學(xué)生原有知識(shí)得到遷移，學(xué)生理解起來(lái)就會(huì)更加容易。

2 數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想相結(jié)合

數(shù)學(xué)課堂除了教給學(xué)生知識(shí)，還要教給學(xué)生方法，授之以魚(yú)還要授之以漁，本節(jié)課的內(nèi)容除了圓周角定理外同時(shí)還蘊(yùn)含了多種數(shù)學(xué)方法。我們?nèi)绾巫寣W(xué)生在課堂上體現(xiàn)這些數(shù)學(xué)方法呢？

（1）數(shù)學(xué)中的分類(lèi)討論的思想，本節(jié)課，圓周角的分類(lèi)是一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生是如何想到這個(gè)分類(lèi)呢，課本是通過(guò)把圓沿直徑折疊的方法，由折痕與圓周角的位置來(lái)進(jìn)行分類(lèi)。但筆者覺(jué)得折痕相對(duì)來(lái)說(shuō)清晰度不夠，學(xué)生不容易發(fā)現(xiàn)線與角的位置關(guān)系。所以選擇讓學(xué)生觀察圓中不變的點(diǎn)（圓心），然后以圓心為參照找出分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，由點(diǎn)與角的位置關(guān)系明確了分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)。

（2）數(shù)學(xué)中化歸的思想，本節(jié)課的三種情況用到了三種證明方法，但三種證明方法可以化歸到一種證明方法，所以課堂上要引導(dǎo)學(xué)生去觀察，建立一個(gè)數(shù)學(xué)幾何模型，然后以此來(lái)證明后面兩種情況。

（3）從特殊到一般的方法，先研究問(wèn)題的特殊情況，再探索并證明一般性結(jié)論。先選擇一個(gè)特定的圓，找出這個(gè)圓上同弧所對(duì)的圓周角和圓心角的關(guān)系，然后再找出特殊與一般的內(nèi)在聯(lián)系，再把特殊情形所獲得的結(jié)論應(yīng)用到一般情況，從而獲得問(wèn)題的解決。

靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)素質(zhì)的重要體現(xiàn)，我們?cè)诮虒W(xué)的過(guò)程中要以把課本作為研究數(shù)學(xué)的材料，領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)思想，并運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題。

3 定理的學(xué)習(xí)方法

數(shù)學(xué)定理是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)之一，學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)定理、經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)形成過(guò)程。數(shù)學(xué)定理的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)：1、了解定理的內(nèi)容、通過(guò)定理能夠解決什么問(wèn)題。2、理解定理的含義、條件和結(jié)論。3、定理的證明和推導(dǎo)過(guò)程。4、熟悉定理的使用（鞏固練習(xí)）。5、引申和拓展定理的應(yīng)用。學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和證明的定理更容易掌握和記憶，他們才能夠去運(yùn)用數(shù)學(xué)定理解決問(wèn)題。

暨南大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校 （廣東省廣州市 510632）