初中數(shù)學(xué)幾何定理探究案例分析

梁笑韻

摘 要：初中數(shù)學(xué)有很多定理的教學(xué)，有些老師為了提高課堂效率，會把定理直接告知學(xué)生，學(xué)生運用所學(xué)定理去完成練習(xí)，這樣看上去會比較高效，但是學(xué)生對于定理的生成過程比較陌生，容易遺忘，在實際運用中也常有困惑。我認為讓學(xué)生花時間去參與定理的生成、論證是非常重要的。學(xué)生通過歸納總結(jié)，可以有效的提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力。

關(guān)鍵詞：圓周角定理 學(xué)生講題 能力提升

1 學(xué)生講題案例探索（圓周角定理證明）

1、教學(xué)內(nèi)容分析：本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了圓、弦、弧、圓心角、圓周角等相關(guān)概念的基礎(chǔ)上出現(xiàn)的，圓周角和圓心角的關(guān)系通過弧作為橋梁連接，在圓這一單元有廣泛的應(yīng)用。通過對圓周角定理的探討，體驗知識的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)乃季S品質(zhì)，為學(xué)生提供自主探索與交流展示的空間。

2、教學(xué)目標：理解圓周角定理，通過觀察比較、發(fā)展學(xué)生的推理能力，在探索的過程中學(xué)會運用分類討論、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想解決問題。

3、教學(xué)過程簡述

活動一：（1）請學(xué)生在紙上畫一個圓，在圓上任取兩點B和C，用紅筆畫出弧BC所對的圓心角，然后用藍筆畫出弧BC所對的圓周角，數(shù)一數(shù)能畫幾個圓心角、幾個圓周角。

設(shè)計意圖：學(xué)生只能畫出一個圓心角，但可以畫出無數(shù)個圓周角。這里給學(xué)生提供了一個思考的方向，既然圓心角只有一個，我們在研究圓周角的時候，可不可以把無限個圓周角轉(zhuǎn)化成有限個圓心角呢，這是本定理證明的關(guān)鍵步驟，學(xué)生在畫圖中可以直觀感知這一問題。

（2）請同學(xué)們把上圖所畫的圓周角進行分類。

設(shè)計意圖：讓學(xué)生通過觀察這些角、找出分類的標準。有些同學(xué)看到角的分類會聯(lián)想到把角分成銳角、鈍角、直角，但是上圖中的所有圓周角都是對著同一段弧BC，所以只有一個角度，學(xué)生也會發(fā)現(xiàn)按照以前所學(xué)的分類方式不合適。教師可以引導(dǎo)學(xué)生以圓中固定的點為參照物，觀察圓周角與圓心的關(guān)系，找出圓心在角的內(nèi)部，在角的外部，在角的邊上這三種情況作為分類的依據(jù)。

（3）請同學(xué)們到黑板上演示，拖動圓上的點，觀察圓心與圓周角的關(guān)系，因為我們畫圖得出的圓周角是有限的，用幾何畫板演示的情況會更加全面。

設(shè)計意圖 ：我們在學(xué)習(xí)幾何元素的時候?qū)W習(xí)了點、線、角，那么用類比的思維我們在圓里面可以找到圓心、弦、圓周角和圓心角。點與直線的位置關(guān)系有兩種，點在直線上，點在直線外。點與角的位置關(guān)系是點在角的內(nèi)部、在角的外部、在角的邊上。在此讓學(xué)生明白為什么要進行分類研究，而且運用以前所學(xué)的點與角的位置關(guān)系，從而確定分類的標準，給學(xué)生明確了探究的方向。

活動二：請同學(xué)們觀察圖中圓周角和圓心角的關(guān)系，大膽猜想，猜想后親自動手測量驗證結(jié)論，最后用幾何畫板演示，根據(jù)數(shù)據(jù)的變化情況能更直觀的得出兩者間的數(shù)量關(guān)系。

設(shè)計意圖：先讓學(xué)生猜測，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，然后用量角器測量，培養(yǎng)學(xué)生動手操作的能力，最后用幾何畫板驗證，用幾何畫板演示時，注意改變圓周角的頂點，改變圓心角的大小，改變圓的半徑，從多個維度去驗證圓周角與圓心角的關(guān)系。讓學(xué)生更加全面的感知信息技術(shù)在數(shù)學(xué)驗證中的完整性、準確性、便捷性，提高學(xué)生的興趣。這樣的幾個步驟可以幫助培養(yǎng)學(xué)生探究問題思路，積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗。

活動三：證明一條弧所對的圓周角是它所對圓心角的一半。請同學(xué)們分組討論，然后派代表匯報。

學(xué)生上黑版講解第一種情況的證明思路，并書寫過程，以圓為背景的題很多最后都可以轉(zhuǎn)化成三角形的題目，這個證明就用到三角形的外角和定理，我們可以把這個模型歸納為小紅旗模型，第二種情況就可以轉(zhuǎn)化為兩面小紅旗的和的形式，第三種情況可以轉(zhuǎn)化為兩面小紅旗的差的形式，三種情況的證明思路都是一致的。

設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)定理的生成只靠測量是不夠的，我們也不可能把每一種情況都測量出來。所以我們還需要嚴謹?shù)淖C明。學(xué)生通過圓周角的定理的生成過程明白了證明幾何定理的一般步驟，同時理解了不同的情況需要分類的去證明，這為日后學(xué)習(xí)其它定理提供了一個范例。通過師生合作 ，讓學(xué)生學(xué)會運用分類討論的數(shù)學(xué)方法 、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想來研究問題，從而培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)乃季S能力。定理的學(xué)習(xí)需要學(xué)生更多的時間去探索，學(xué)生只有掌握了定理的來龍去脈，才能記得牢固，用的靈活，如果教師只重視結(jié)果，而輕視了過程，這只是讓學(xué)生記住了定理，不利于學(xué)生思維能力的培養(yǎng)。在教學(xué)過程中，學(xué)生關(guān)于為什么的問題是最有價值的，所以引導(dǎo)學(xué)生解決為什么要這樣分類是本節(jié)課的難點，教師通過類比的思想，讓學(xué)生原有知識得到遷移，學(xué)生理解起來就會更加容易。

2 數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)思想相結(jié)合

數(shù)學(xué)課堂除了教給學(xué)生知識，還要教給學(xué)生方法，授之以魚還要授之以漁，本節(jié)課的內(nèi)容除了圓周角定理外同時還蘊含了多種數(shù)學(xué)方法。我們?nèi)绾巫寣W(xué)生在課堂上體現(xiàn)這些數(shù)學(xué)方法呢？

（1）數(shù)學(xué)中的分類討論的思想，本節(jié)課，圓周角的分類是一個難點，學(xué)生是如何想到這個分類呢，課本是通過把圓沿直徑折疊的方法，由折痕與圓周角的位置來進行分類。但筆者覺得折痕相對來說清晰度不夠，學(xué)生不容易發(fā)現(xiàn)線與角的位置關(guān)系。所以選擇讓學(xué)生觀察圓中不變的點（圓心），然后以圓心為參照找出分類的標準，由點與角的位置關(guān)系明確了分類的標準。

（2）數(shù)學(xué)中化歸的思想，本節(jié)課的三種情況用到了三種證明方法，但三種證明方法可以化歸到一種證明方法，所以課堂上要引導(dǎo)學(xué)生去觀察，建立一個數(shù)學(xué)幾何模型，然后以此來證明后面兩種情況。

（3）從特殊到一般的方法，先研究問題的特殊情況，再探索并證明一般性結(jié)論。先選擇一個特定的圓，找出這個圓上同弧所對的圓周角和圓心角的關(guān)系，然后再找出特殊與一般的內(nèi)在聯(lián)系，再把特殊情形所獲得的結(jié)論應(yīng)用到一般情況，從而獲得問題的解決。

靈活運用數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)素質(zhì)的重要體現(xiàn)，我們在教學(xué)的過程中要以把課本作為研究數(shù)學(xué)的材料，領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)思想，并運用數(shù)學(xué)思想解決問題。

3 定理的學(xué)習(xí)方法

數(shù)學(xué)定理是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)之一，學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)定理、經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識形成過程。數(shù)學(xué)定理的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)：1、了解定理的內(nèi)容、通過定理能夠解決什么問題。2、理解定理的含義、條件和結(jié)論。3、定理的證明和推導(dǎo)過程。4、熟悉定理的使用（鞏固練習(xí)）。5、引申和拓展定理的應(yīng)用。學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和證明的定理更容易掌握和記憶，他們才能夠去運用數(shù)學(xué)定理解決問題。

暨南大學(xué)附屬實驗學(xué)校 （廣東省廣州市 510632）