多離散變量桁架結構協(xié)調優(yōu)化研究＊

張志強 秦義校 谷金朋

太原科技大學機械工程學院 太原 030024

0 引言

臂架為典型的細長桁架結構，是履帶起重機的主要承載構件，在較大載荷作用下易發(fā)生幾何非線性行為，使臂架變形過大而失穩(wěn)。因此，質量輕、承載力高的臂架對保證履帶起重機的工作性能非常重要?；诓煌膬?yōu)化設計方法和分析軟件，國內外學者對桁架式臂架結構進行了許多研究。文獻[1]從1968年～2014年介紹了具有離散設計變量的桁架結構優(yōu)化的模型，理論和數(shù)值方法。該領域的文章全面收集，其研究方法已從確定性方法轉變?yōu)樵獑l(fā)式方法，即隨機方法搜索方法。文獻[2]將基于生物地理學的優(yōu)化（BBO）和差分演化（DE）方法進行混合，優(yōu)化具有連續(xù)和離散變量的桁架結構的設計。文獻[3]提出一種自適應精英差分進化算法（aeDE），用于優(yōu)化具有離散設計變量的桁架結構。通過6個具有離散設計變量的桁架結構優(yōu)化問題，證明了該方法的有效性和可靠性。文獻[4]充分考慮起重機失穩(wěn)因素，進行了結構振動和失穩(wěn)分析，為其合理安全設計提供了理論基礎。文獻[5]提出一種面向對象的桁架臂架建模方法，為桁架臂架系統(tǒng)仿真設計提供了方法基礎，并以全地面起重機桁架副臂為例，驗證了該方法的正確性和可行性。

由于本文中的最佳動臂尺寸受特定運輸條件和制造模型的限制，故選擇此模型中最大的動臂。圖1為優(yōu)化的復雜桁架，動臂總長為120 m，底部兩個下部鉸接點之間的距離為2.2 m，且動臂頂部的橫截面較小。

圖1 履帶起重機臂架結構示意圖

圖2為要優(yōu)化的動臂部分的離散變量。本文將非線性有限元法和非均勻離散變量協(xié)調優(yōu)化法相結合，解決了復雜桁架工程的實際問題，編寫了程序以方便廣泛應用。研究結果表明，該優(yōu)化算法在解決工程問題時的應用思想和數(shù)學模型建立方法具有重要的參考價值。

圖2 臂架各節(jié)中的設計變量

1 智能優(yōu)化算法與桁架臂的優(yōu)化模型

1.1 智能算法

智能優(yōu)化算法對要解決問題的目標函數(shù)無特殊要求，并可處理離散變量問題和連續(xù)變量問題。該方法屬于改進的混合離散變量優(yōu)化方法，其算法邏輯框圖如圖3所示。

圖3 優(yōu)化算法邏輯框圖

在工程優(yōu)化設計中，大多數(shù)在數(shù)學編程中使用連續(xù)變量的約束非線性優(yōu)化方法一般屬于局部最優(yōu)，而最優(yōu)解總是在約束區(qū)域的邊界上。非均勻離散變量的協(xié)調優(yōu)化方法不僅可以避免上述缺點，還可大大加快初始搜索的速度。增加變量協(xié)調約束可使算法消除搜索過程中不滿足橫截面特征的值，例如腹板構件的外徑不可大于弦桿的外徑。

1.2 復雜桁架臂的優(yōu)化數(shù)學模型

由于履帶起重機主臂為組合空間結構，其單元種類和材料種類較多，導致該類結構按傳統(tǒng)設計方法設計會造成材料浪費，體積增大，作業(yè)時產生過大慣性。

1）設計變量

以LR1300型履帶起重機為研究對象，為優(yōu)化提供初始設計，取底節(jié)支承桿、底節(jié)、標準節(jié)、變徑頂節(jié)的設計參數(shù)為基本變量，具體如表1所示。

表1 設計變量不同的初始值及其上下限

2）目標函數(shù)

在滿足所有約束條件的前提下以降低結構總質量為目標，目標函數(shù)可寫為

式中：Nk是屬于第k組梁單元編號集合，Di為第i個桿單元的外徑，Li為第i個梁單元的長度，ti為第i個梁單元的壁厚，Li第i個梁單元的密度。

如上t1、R1、t2、R2、t3、R3、t4、R4、t5、R5、t6、R6、t7、R7在VB優(yōu)化程序中分別對應變量xi（i＝1，2，…，14）。

3）約束條件

在主臂的優(yōu)化過程中，算法每取得一組取值時都要驗證滿足結構設計規(guī)范的約束條件，而這些約束條件往往比較復雜，導致算法收斂速度較慢。在本文中，增加變量協(xié)調約束，并且在算法每取得一組取值時先驗算這類約束條件，先剔除一部分取值。將以下所列的G1～G10作為變量協(xié)調約束加入VB優(yōu)化程序中。

式中：G1～G3分別為第一類變量協(xié)同約束；G3+i為第二類變量協(xié)同約束。

在每次幾何非線性分析之后，必須提取每組桿件的最大馮·米塞斯應力約束條件。在對于這種復雜應力結構應判定其Von Mises 等效應力，即

臂架在各種工況下承受不同的載荷組合，故分組桿件中的最大應力不得大于許用應力。臂架中底節(jié)支承桿最大應力為σ1，底節(jié)中弦桿最大應力為σ2，標準節(jié)中弦桿最大應力為σ3，頂節(jié)中弦桿最大應力為σ4，底節(jié)中腹桿最大應力為σ5，標準節(jié)中腹桿最大應力為σ6，頂節(jié)中腹桿最大應力為σ7，則有σ1＜ [σ]1，σ2＜ [σ]2，σ3＜ [σ]3，σ4＜ [σ]4，σ5＜ [σ]5，σ6＜ [σ]6，σ7＜ [σ]7，其中 [σ]i為各組桿件的許用應力。

臂架的結構形式復雜，承受的載荷和約束也較復雜，在臂架高聳時容易發(fā)生失穩(wěn)。根據(jù)履帶起重機臂架受力形式為雙向壓彎構件的原理，其整體穩(wěn)定性驗算公式為

式中：N為臂架軸向力，Mx、My為臂架計算截面對x軸或y軸的彎矩，NEx、NEy為臂架對x軸或y軸的名義歐拉臨界應力載荷，φ為臂架最大長細比選取的壓桿穩(wěn)定系數(shù)，A為臂架截面積，Wx、Wy為臂架截面對x軸或y軸的抗彎截面系數(shù)，[σ]為鋼材的許用應力。

2 復雜桁架臂結構優(yōu)化結果分析

選擇3個不同的初始點進行優(yōu)化，并比較優(yōu)化前后的數(shù)據(jù)，詳見表2～表4。本文分別取了3組符合結構設計規(guī)范的初始值進行優(yōu)化，初始值1、2、3分別在迭代10次、9次、7次后得到收斂，收斂結果基本一致，故本文只對初始值為1時的優(yōu)化結果進行討論分析。

表2 初始值為1時的優(yōu)化前后的結果對比

表3 初始值為2時的優(yōu)化前后的結果對比

表4 初始值為3時的優(yōu)化前后的結果對比

圖4為所選初始值1下的變量優(yōu)化歷程圖。其中，圖4a為以各組桿件的壁厚為設計變量的優(yōu)化歷程，曲線x1、x3、x5、x7分別代表主弦桿、底節(jié)弦桿、標準節(jié)弦桿和頂節(jié)弦桿的壁厚，曲線x9、x11、x13分別代表底節(jié)腹桿、標準節(jié)腹桿和頂節(jié)腹桿的壁厚。從圖中可以看出，代表弦桿壁厚曲線的變化率比代表腹桿壁厚曲線的變化率要高。圖4b為以各組桿件的外徑為設計變量的優(yōu)化歷程，曲線x2、x4、x6、x8分別代表主弦桿、底節(jié)弦桿、標準節(jié)弦桿和頂節(jié)弦桿的外徑，曲線x10、x12、x14分別代表底節(jié)腹桿、標準節(jié)腹桿和頂節(jié)腹桿的外徑。從圖中可以看出，代表桿件外徑的曲線呈下降趨勢，會出現(xiàn)局部峰值。在優(yōu)化過程中，當個別變量的取值較大時，就會有與其協(xié)調的變量來進行協(xié)調與制約。

圖4 初始值1時的圓管壁厚、外徑優(yōu)化歷程

從整體來看，各變量在優(yōu)化過程中的變化趨勢均較正常，且體現(xiàn)了變量之間協(xié)調變化的特點。通過對優(yōu)化結果的提取與分析可知，在用VB編寫的優(yōu)化程序中增加變量協(xié)調約束條件，使優(yōu)化分析結果更接近實際工程應用，同時使復雜優(yōu)化問題求解速度更快。

由目標函數(shù)優(yōu)化歷程與各類變量的優(yōu)化歷程分析可知，運用本文算法優(yōu)化桁式臂架，其總質量總能達到一個最佳值，最多可減少26%，且臂架型材截面更加合理。為了驗證上述優(yōu)化結果，分別選取了初始值1下各節(jié)優(yōu)化前后的應力圖，如圖5所示。在優(yōu)化后，底節(jié)承載應力由111.55 MPa增加到228.8 MPa，標準節(jié)承載應力由137.58 MPa增加到271.7 MPa，變徑頂節(jié)承載應力優(yōu)化前后差別不大，這表明它充分利用了材料的承載能力。

圖5 各節(jié)優(yōu)化前后應力圖

3 結論

提出了將改進的離散變量智能優(yōu)化算法與結構非線性有限元分析相耦合的復雜桁架工程優(yōu)化方法，加快了復雜結構優(yōu)化進程。通過對桁架臂工程實例的優(yōu)化分析，可知本文解決復雜工程問題的方法為復雜桁架結構的優(yōu)化設計提供了思路，在工程實踐中具有一定的應用價值。