具有時(shí)變時(shí)滯的線性離散隨機(jī)系統(tǒng)的間歇故障檢測(cè)

張 森,盛 立,高 明

(中國(guó)石油大學(xué)(華東)控制科學(xué)與工程學(xué)院,山東青島 266580)

1 引言

隨著控制理論與計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展,現(xiàn)代工業(yè)技術(shù)裝備和自動(dòng)化控制系統(tǒng)變得更加復(fù)雜化,高效化和智能化.眾所周知,故障診斷技術(shù)是一種提高動(dòng)態(tài)系統(tǒng)安全性和可靠性的有效方法[1].在故障診斷技術(shù)領(lǐng)域,與硬件冗余技術(shù)相比,基于模型的故障診斷方法由于其具有耗費(fèi)低,性能好和應(yīng)用范圍廣等優(yōu)勢(shì),已逐漸成為故障診斷研究領(lǐng)域的重要手段,并且已有大量相關(guān)研究成果[2-5].

在工業(yè)系統(tǒng)中,由于設(shè)備的老化和工作環(huán)境的復(fù)雜化,難免會(huì)產(chǎn)生各種類型的故障,其中一種常見(jiàn)的故障被人們稱為間歇故障[6].例如,在電力系統(tǒng)中,電線的磨損老化會(huì)產(chǎn)生間歇的電弧,如果不及時(shí)處理,最終可能會(huì)演變成間歇電弧故障[7].在航空飛行領(lǐng)域中,大約超過(guò)一半的電子設(shè)備故障為間歇故障[8].通常來(lái)說(shuō),間歇故障具有隨機(jī)消失,隨機(jī)出現(xiàn)的特性,而且它的活躍時(shí)間和間隔時(shí)間都不確定,這就對(duì)間歇故障的檢測(cè)帶來(lái)極大的困難.考慮到間歇故障的隨機(jī)特性,間歇故障檢測(cè)不僅要求檢測(cè)出故障的發(fā)生時(shí)刻,還要求檢測(cè)出故障的消失時(shí)刻,這也是間歇故障檢測(cè)的難點(diǎn)所在.

最近幾年,間歇故障的檢測(cè)逐漸吸引了眾多學(xué)者的研究興趣[9-10].例如,文獻(xiàn)[11]研究了一類離散事件系統(tǒng)傳感器間歇故障的可檢測(cè)性問(wèn)題.文獻(xiàn)[12]研究了具有輸出死區(qū)的離散線性隨機(jī)系統(tǒng)的間歇故障診斷問(wèn)題.文獻(xiàn)[13]在假設(shè)間歇故障發(fā)生概率先驗(yàn)已知的情況下,研究了一類具有非均勻采樣與動(dòng)態(tài)量化的網(wǎng)絡(luò)化多速率系統(tǒng)的間歇故障檢測(cè)問(wèn)題.最近,基于最小化估計(jì)誤差協(xié)方差法,文獻(xiàn)[14-16]研究了線性時(shí)變系統(tǒng)的間歇故障檢測(cè)問(wèn)題.然而上述文獻(xiàn)對(duì)間歇故障的可檢測(cè)性,漏報(bào)率和誤報(bào)率均沒(méi)有進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆治?在文獻(xiàn)[17-20]中,創(chuàng)新性的設(shè)計(jì)了兩個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)分別對(duì)間歇故障的發(fā)生時(shí)刻和消失時(shí)刻進(jìn)行檢測(cè),并且在殘差統(tǒng)計(jì)特性分析的框架下研究了間歇故障的可檢測(cè)性、漏報(bào)率和誤報(bào)率等問(wèn)題.但截至目前,間歇故障檢測(cè)對(duì)象模型大多是非時(shí)滯系統(tǒng),針對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)間歇故障診斷的研究鮮有報(bào)道.

實(shí)際上,由于信號(hào)傳遞需要一定的時(shí)間,工業(yè)生產(chǎn)過(guò)程中的系統(tǒng)幾乎都存在時(shí)間延遲的特性[21].因此,研究時(shí)滯系統(tǒng)故障檢測(cè)問(wèn)題具有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義,并且在相關(guān)研究領(lǐng)域已有眾多研究成果.文獻(xiàn)[22]為狀態(tài)時(shí)滯動(dòng)態(tài)系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種未知輸入觀測(cè)器來(lái)對(duì)故障進(jìn)行檢測(cè).文獻(xiàn)[23]采用了三角算子和輸入輸出方法來(lái)檢測(cè)T-S模糊時(shí)滯系統(tǒng)的故障.在文獻(xiàn)[24]中,研究了一種基于功能觀測(cè)器的時(shí)滯系統(tǒng)故障檢測(cè)方法.最近,文獻(xiàn)[25]研究了一類基于分布式功能觀測(cè)器的互聯(lián)時(shí)滯系統(tǒng)故障檢測(cè)問(wèn)題.然而,上述文獻(xiàn)的故障檢測(cè)問(wèn)題只考慮到對(duì)故障發(fā)生時(shí)刻的檢測(cè),研究間歇故障消失時(shí)刻檢測(cè)問(wèn)題的較少.文獻(xiàn)[26]基于滑動(dòng)窗口方法對(duì)一類具有定常時(shí)滯的線性隨機(jī)系統(tǒng)的間歇故障檢測(cè)問(wèn)題研究進(jìn)行了初步的探索,但在時(shí)變時(shí)滯的情況下該方法不再適用.因此,研究具有時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的間歇故障檢測(cè)問(wèn)題具有重要的理論意義與應(yīng)用價(jià)值.

本文針對(duì)一類具有未知擾動(dòng)的線性離散時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng),在其時(shí)變時(shí)滯滿足周期性變化規(guī)律的前提下,研究了其間歇故障檢測(cè)問(wèn)題.論文主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)包括:1)研究了線性離散時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的間歇故障檢測(cè)問(wèn)題;2)結(jié)合等價(jià)空間法,利用兩個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)來(lái)分別檢測(cè)間歇故障的發(fā)生時(shí)刻和消失時(shí)刻;3)在殘差統(tǒng)計(jì)特性分析的框架下,分析了間歇故障的可檢測(cè)性.

2 問(wèn)題描述

考慮一類存在未知擾動(dòng)的線性離散時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng):

其中:符號(hào)mod(k,T)表示求余運(yùn)算,l表示最大時(shí)滯步數(shù).從h(k)的表達(dá)式中可以看出,此類時(shí)變時(shí)滯具有周期性變化的規(guī)律,為了簡(jiǎn)化符號(hào)表示,令周期T=l+1.

在模型(1)中,f(k)∈R代表間歇故障.在實(shí)際應(yīng)用中,間歇故障可以被描述為一系列可以重復(fù)出現(xiàn)的突變,且這些突變的活躍時(shí)間和間隔時(shí)間具有一定的不確定性.隨著時(shí)間的推移,間歇故障的活躍時(shí)間會(huì)變得更長(zhǎng),間隔時(shí)間會(huì)變得更短,最終會(huì)演化為永久故障.基于以上間歇故障的特點(diǎn),本文研究的間歇故障模型描述為下式:

其中:Γ(·)為離散階躍函數(shù),kqa和kqd分別表示間歇故障的第q次故障的發(fā)生時(shí)刻和消失時(shí)刻,mq表示第q次間歇故障的幅值.由于間歇故障具有隨機(jī)的活躍時(shí)間和間隔時(shí)間,定義第q次間歇故障的活躍時(shí)間為,間隔時(shí)間為本文對(duì)于以上的離散時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)和間歇故障模型,做出如下假設(shè):

假設(shè)1線性離散時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)(1)完全可觀測(cè)且其輸出維數(shù)大于擾動(dòng)維數(shù),即ny＞nd.

假設(shè)2i)間歇故障的幅值存在一個(gè)已知的最小值λ,即所有的間歇故障幅值都滿足|mq|≥λ;ii)間歇故障的最小活躍時(shí)間和最小間隔時(shí)間都是先驗(yàn)已知的;iii)定義τmin=min,且τmin

注1假設(shè)2是根據(jù)實(shí)際操作經(jīng)驗(yàn)和歷史記錄數(shù)據(jù)提出的,即間歇故障往往具有有限的活躍時(shí)間和間隔時(shí)間.此外,較小的間歇故障對(duì)系統(tǒng)的正常運(yùn)行不會(huì)造成影響.因此,本文提出的待檢測(cè)間歇故障模型具有最小幅值,最小活躍時(shí)間和最小間隔時(shí)間是合理的.

對(duì)于系統(tǒng)(1)所描述的具有未知擾動(dòng)的線性離散時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng),令

由文獻(xiàn)[27]可知,線性離散周期系統(tǒng)(4)可以利用提升技術(shù)轉(zhuǎn)化成線性離散時(shí)不變系統(tǒng),設(shè)τ ∈[0,T-1]且τ ∈N,對(duì)狀態(tài)方程利用疊加原理可得

3 時(shí)變時(shí)滯間歇故障檢測(cè)方法

間歇故障的檢測(cè)不僅要求在故障消失之前檢測(cè)到發(fā)生時(shí)刻,而且要求在下一個(gè)故障發(fā)生之前檢測(cè)到當(dāng)前故障的消失時(shí)刻.針對(duì)間歇故障的特性和檢測(cè)要求,本節(jié)設(shè)計(jì)了對(duì)外部未知擾動(dòng)解耦的標(biāo)量魯棒殘差.在考慮隨機(jī)噪聲影響的同時(shí),利用兩個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)分別檢測(cè)間歇故障的發(fā)生時(shí)刻和消失時(shí)刻,并分析了間歇故障的可診斷性問(wèn)題.

3.1 魯棒殘差設(shè)計(jì)

針對(duì)系統(tǒng)(8),為了能夠設(shè)計(jì)殘差使其對(duì)外部未知擾動(dòng)解耦,并且對(duì)間歇故障敏感,采用等價(jià)空間法,通過(guò)選擇合適的滑動(dòng)時(shí)間窗口s來(lái)構(gòu)建魯棒殘差,對(duì)于任意的滑動(dòng)時(shí)間窗口s ＞0,有

在式(11)中,根據(jù)等價(jià)空間法,設(shè)計(jì)的魯棒殘差需要對(duì)初始狀態(tài)xτ(k-s)和外部未知擾動(dòng)解耦,同時(shí)還要對(duì)待測(cè)間歇故障敏感.注意到間歇故障的最小活躍時(shí)間和最小間隔時(shí)間是先驗(yàn)已知的,根據(jù)文獻(xiàn)[28],選擇滑動(dòng)時(shí)間窗口使其滿足以下條件:

從式(12)中可以看出,魯棒殘差只與間歇故障,過(guò)程噪聲和測(cè)量噪聲有關(guān).為了方便分析魯棒殘差的統(tǒng)計(jì)特性,設(shè)計(jì)一個(gè)結(jié)構(gòu)化標(biāo)量殘差如下式所示:

其中Λ為具有適當(dāng)維數(shù)的標(biāo)量殘差生成列向量.

3.2 間歇故障檢測(cè)

間歇故障檢測(cè)要求在間歇故障消失之前檢測(cè)到故障發(fā)生時(shí)刻,在下一次故障發(fā)生之前能夠檢測(cè)到故障的消失時(shí)刻.為了準(zhǔn)確的設(shè)定檢測(cè)閾值,首先要對(duì)魯棒殘差的統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行分析,由式(13)可知,結(jié)構(gòu)化標(biāo)量殘差可以被重寫為

由于w(k)和v(k)是相互獨(dú)立的零均值高斯白噪聲,那么(k)和(k)也是相互獨(dú)立的零均值高斯白噪聲,且其方差分別為和.那么P2(k,Δk)也是服從高斯分布的,其均值為零,方差為

對(duì)于給定的顯著性水平γ,可以得到發(fā)生時(shí)刻的檢測(cè)接受域?yàn)?/p>

當(dāng)滑動(dòng)時(shí)間窗口完全位于間歇故障內(nèi)時(shí),根據(jù)假設(shè)2可知,一個(gè)間歇故障的幅值具有最小值λ.定義一個(gè)元素全為1的列向量1f ∈R(l+1)(s+1)×1,則

根據(jù)文獻(xiàn)[17],間歇故障的消失時(shí)刻可以被以下的假設(shè)檢驗(yàn)來(lái)檢測(cè):

對(duì)于給定的顯著性水平?,可以得到消失時(shí)刻的檢測(cè)接受域?yàn)?/p>

這里的H?表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量具有?的概率落在(H?,+∞)內(nèi).

因此,對(duì)于給定的滑動(dòng)時(shí)間窗口s和顯著性水平γ,間歇故障消失時(shí)刻的檢測(cè)閾值θd為

3.3 間歇故障可診斷性分析

由第3.2節(jié)可知,間歇故障檢測(cè)要求當(dāng)前故障的發(fā)生時(shí)刻要在當(dāng)前故障消失之前檢測(cè)到,在下一個(gè)間歇故障出現(xiàn)之前,當(dāng)前故障的消失時(shí)刻要檢測(cè)完畢.因此,對(duì)于給定的滑動(dòng)時(shí)間窗口s,間歇故障發(fā)生時(shí)刻和消失時(shí)刻能夠準(zhǔn)確檢測(cè)到的充分條件為W(k,s)∩V(k,s)=?.本文采用了兩個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)來(lái)分別檢測(cè)間歇故障的發(fā)生時(shí)刻和消失時(shí)刻,這就導(dǎo)致了兩個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)的接受域存在交集的情況,從而影響間歇故障的檢測(cè),因此定義

這里的Ψ是在間歇故障可檢測(cè)框架下滑動(dòng)時(shí)間窗口s的集合,當(dāng)滑動(dòng)時(shí)間窗口s給定以后,也就確定了間歇故障實(shí)際檢測(cè)值與真實(shí)值之間的最大延遲,也就是說(shuō),間歇故障發(fā)生時(shí)刻kqa的最佳測(cè)量值為.同理,間歇故障消失時(shí)刻kqd的最佳測(cè)量值為,給出間歇故障可檢測(cè)性定義如下:

證此定理的證明可以通過(guò)以下步驟得到:

步驟1首先,由于間歇故障的發(fā)生時(shí)刻和消失時(shí)刻分別是通過(guò)兩個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)來(lái)檢測(cè)得到的.因此,通過(guò)式(17)和式(21)得到的兩個(gè)接受域交集應(yīng)為空集,即W(k,s)∩V(k,s)=?.

4 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上述方法的有效性,本節(jié)在一個(gè)簡(jiǎn)化的無(wú)人飛行控制系統(tǒng)模型[19,29]上進(jìn)行了仿真驗(yàn)證.該飛行控制系統(tǒng)受到未知擾動(dòng)的離散系統(tǒng)模型為

其中:x(k)=(η(k)(k)δ(k))T;η(k)為正常飛行速度(kts);(k)為俯仰角速度((°)/s);δ(k)為俯仰角();u(k)為升降舵控制信號(hào);d(k)為電子信號(hào)干擾;f(k)為發(fā)生在舵機(jī)上的間歇故障信號(hào);w(k)為復(fù)雜飛行環(huán)境引起的過(guò)程噪聲;v(k)為測(cè)量噪聲.假設(shè)w(k)和v(k)都是已知的零均值的高斯白噪聲,其方差分別為Rw和Rv.系統(tǒng)(27)中其他矩陣參數(shù)分別為

為保證無(wú)人機(jī)跟蹤預(yù)設(shè)運(yùn)行軌跡的性能,仿真采用狀態(tài)反饋控制律u=-Kx(k),其中

仿真中的間歇故障模型如圖1所示,其最小活躍時(shí)間=10,最小間隔時(shí)間=10,間歇故障的最小幅值λ=0.8.假設(shè)最大時(shí)滯步數(shù)l=1,從式(11)和式(12)中,可以得到滿足對(duì)外部未知擾動(dòng)解耦且對(duì)故障敏感的最小值s=2,容易驗(yàn)證rank(Ho,sHd,sHf,s)=6 且rank(Ho,sHd,s)=8.因此,可以建立一個(gè)魯棒殘差使得其對(duì)外部未知擾動(dòng)解耦并且對(duì)間歇故障敏感.選取兩個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)的顯著性水平分別為γ=0.05和?=0.05,可以得到間歇故障發(fā)生時(shí)刻和消失時(shí)刻的檢測(cè)閾值分別為θa=±0.1328和θb=±0.1204.

圖1 間歇故障Fig.1 The intermittent fault

本文建立標(biāo)量魯棒殘差對(duì)間歇故障進(jìn)行實(shí)時(shí)檢測(cè)的效果如圖2所示,當(dāng)間歇故障沒(méi)有發(fā)生時(shí),標(biāo)量殘差ˉr(k,s)只在平衡點(diǎn)附近的很小的范圍內(nèi)波動(dòng),說(shuō)明設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)化魯棒殘差能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)外部未知擾動(dòng)解耦;當(dāng)間歇故障發(fā)生后,殘差ˉr(k,s)以較快的速度超越檢測(cè)閾值θa,及時(shí)的檢測(cè)出間歇故障的發(fā)生時(shí)刻.當(dāng)間歇故障消失后,殘差ˉr(k,s)仍能以較快的速度超越檢測(cè)閾值θd,及時(shí)的檢測(cè)得到間歇故障的消失時(shí)刻.由圖3可以看出,所有的間歇故障發(fā)生時(shí)刻都能在間歇故障消失前準(zhǔn)確檢測(cè)得到,所有的間歇故障消失時(shí)刻都能在下一個(gè)間歇故障發(fā)生前被檢測(cè)得到,檢測(cè)結(jié)果表明,該方法能夠準(zhǔn)確檢測(cè)到間歇故障所有的發(fā)生時(shí)刻和消失時(shí)刻.

圖2 標(biāo)量殘差Fig.2 The scalar residual

為了更好的說(shuō)明所述方法的有效性,對(duì)于上述問(wèn)題,本仿真采用傳統(tǒng)龍伯格觀測(cè)器的方法進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn).基于龍伯格觀測(cè)器方法所建立的殘差如圖4所示,當(dāng)間歇故障發(fā)生后,第一個(gè)故障的發(fā)生時(shí)刻能夠很快的被檢測(cè)到.在故障消失后,由于前一時(shí)刻的故障影響還存在與當(dāng)前的誤差中,所以殘差無(wú)法快速的降到閾值以下,無(wú)法檢測(cè)到當(dāng)前故障的消失時(shí)刻,進(jìn)而會(huì)影響后續(xù)間歇故障的檢測(cè),無(wú)法給出準(zhǔn)確的測(cè)量結(jié)果.因此,與傳統(tǒng)龍伯格觀測(cè)器方法相比,本文提出的間歇故障診斷方法能夠更為有效的檢測(cè)間歇故障.

圖4 基于龍伯格觀測(cè)器得到的殘差Fig.4 The residual derived from Luenberger observer

5 結(jié)論

論文針對(duì)一類存在未知擾動(dòng)的線性時(shí)變時(shí)滯離散隨機(jī)系統(tǒng)的間歇故障檢測(cè)問(wèn)題,提出一種魯棒間歇故障的檢測(cè)方法.基于提升技術(shù)和疊加原理,首先將時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為時(shí)不變系統(tǒng).在等價(jià)空間法的基礎(chǔ)上,通過(guò)引入滑動(dòng)時(shí)間窗口,設(shè)計(jì)了一個(gè)對(duì)外部未知擾動(dòng)解耦且對(duì)間歇故障敏感的結(jié)構(gòu)化魯棒標(biāo)量殘差,該殘差對(duì)間歇故障的發(fā)生和消失更加的敏感.在給定顯著性水平的前提下,利用兩個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)來(lái)分別檢測(cè)間歇故障的發(fā)生時(shí)刻和消失時(shí)刻.最后,通過(guò)一個(gè)無(wú)人機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了此方法的有效性.