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    一種適應(yīng)度排序的高維多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法

    2021-07-01 14:26:04楊五四張茂省
    關(guān)鍵詞:高維適應(yīng)度排序

    楊五四,陳 莉,王 毅,張茂省

    (1.西北大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,陜西 西安 710021;2.中國地質(zhì)調(diào)查局西安地質(zhì)調(diào)查中心 自然資源部黃土地質(zhì)災(zāi)害重點實驗室,陜西 西安 710054)

    多目標(biāo)優(yōu)化問題是一類復(fù)雜的最優(yōu)化問題。常規(guī)多目標(biāo)優(yōu)化算法雖能夠有效解決2或3個目標(biāo)的多目標(biāo)優(yōu)化問題,但求解高維多目標(biāo)優(yōu)化問題(n≥4)的效果并不理想。其主要原因有:隨著問題目標(biāo)維數(shù)的增加,采用常規(guī)帕累托(Pareto)支配關(guān)系將有可能導(dǎo)致算法對非支配解的選擇壓力不足,使得非支配解難以有效逼近真實帕累托前沿;另外,由于高維多目標(biāo)優(yōu)化問題的帕累托最優(yōu)前沿為超曲面,導(dǎo)致帕累托最優(yōu)解集及對應(yīng)可行解搜索空間的規(guī)模呈指數(shù)級增長,從而使算法收斂速度大幅下降。如何有效求解高維多目標(biāo)優(yōu)化問題,研究更優(yōu)的高維多目標(biāo)優(yōu)化方法是目前進(jìn)化多目標(biāo)優(yōu)化領(lǐng)域所面臨的難題之一?,F(xiàn)有的方法,如在搜索過程中結(jié)合偏好信息以縮小帕累托前沿區(qū)域[1-2],通過寬松的帕累托支配關(guān)系來增強算法選擇壓力,如格支配[3]、K支配[4]、直覺模糊支配[5]、α支配[6]、模糊支配[7]等,以及采用新的比較準(zhǔn)則對個體收斂性能的優(yōu)劣進(jìn)行比較與排序,以實現(xiàn)非支配個體之間的性能比較[8-9]。

    針對高維多目標(biāo)優(yōu)化問題,考慮到集成適應(yīng)度排序[8]是一種非帕累托支配排序方式,文中提出了一種集成適應(yīng)度排序的高維多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法。即通過獲取種群中個體與參考點最近的確定維度向量,其中向量維度參數(shù)設(shè)為K,首先使用基于懲罰的邊界交叉方法(PBI)作為適應(yīng)度函數(shù)來對種群中的個體進(jìn)行排序,然后對較差的個體進(jìn)行剔除,并將精英個體保存到外部檔案中;同時,雖然粒子優(yōu)化算法[10]具有較強的局部和全局搜索功能,以及收斂速度較快、算法參數(shù)較少等優(yōu)良特性,但其易落入局部最優(yōu),影響算法效果,因而采用雙搜索策略的粒子群優(yōu)化算法[11]對種群進(jìn)行尋優(yōu)搜索。

    1 集成適應(yīng)度排序

    集成適應(yīng)度排序方法在文獻(xiàn)[8]中是這樣描述的:對種群P每個個體與預(yù)先定義的均勻分布參考點W進(jìn)行關(guān)聯(lián),據(jù)此求出每個個體的最近權(quán)向量L,并選出前K個(其中K遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N)權(quán)向量,其中K為提前定義的常數(shù)。將已選權(quán)向量與N個適應(yīng)度函數(shù)相關(guān)聯(lián),這里采用基于懲罰的邊界交叉函數(shù)作為適應(yīng)度函數(shù),具體數(shù)學(xué)形式如式(1)所示。每個適應(yīng)度函數(shù)對部分個體進(jìn)行非遞減排序,并根據(jù)個體的優(yōu)劣進(jìn)行編號,得到每個個體排序向量R。與文獻(xiàn)[8]不同之處在于沒有直接計算出每個個體最大排序序號,而是通過向量R結(jié)合參考點W對種群進(jìn)行選擇,并將精英個體保存在檔案中,同時,采用算法NSGA-Ⅲ[12]的歸一化方法對種群進(jìn)行處理,集成適應(yīng)度排序的算法流程見算法1。

    算法1集成適應(yīng)度排序(Ensemble Fit Ranking)。

    輸入:種群P,參考點W,控制參數(shù)K。

    輸出:每個解的全局排序序數(shù)RankNumber。

    ① [N,M]←size(P)

    ②NW←size(W)

    ③P←Normalization(P)

    ④rank←AssociationSort(P,W)

    ⑤L←GetClosestWeightVectors(K)

    ⑥D(zhuǎn)istance←GetPBIValue(L,K)

    ⑦r←GetSortNumber(Distance)

    ⑧Distance←Distance(Distance≠inf)=1

    ⑨RankNumber←r*Distance

    基于懲罰的邊界交叉方法[13]的數(shù)學(xué)形式如下:

    mingpbi(x|λi,z*)=d1+θd2,

    (1)

    z*為理想點,θ為罰參數(shù),λi為權(quán)重向量,x為決策向量。

    2 基于集成適應(yīng)度排序的高維多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法MaPSO-EFR

    2.1 算法描述

    基于帕累托支配的高維多目標(biāo)優(yōu)化算法在求解高維多目標(biāo)優(yōu)化問題時具有一定的局限性,而基于非帕累托支配的排序方法的主要優(yōu)勢在于放棄了帕累托支配方法中較為嚴(yán)格的個體優(yōu)劣衡量標(biāo)準(zhǔn),通過新的比較準(zhǔn)則對個體收斂性能的優(yōu)劣進(jìn)行比較與排序,以實現(xiàn)非支配個體之間的性能比較,可有效提升對精英個體的選擇壓力,提高了算法的收斂精度,而且使得算法選擇壓力的提升不受目標(biāo)維數(shù)增加的影響,從根本上解決了目標(biāo)維數(shù)增多時精英個體選擇壓力退化的問題。基于此,提出一種集成適應(yīng)度排序的高維多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法(MaPSO-EFR),其算法流程如算法2和算法3所示。

    算法2高維多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法(MaPSO-EFR)。

    輸入:種群大小N,控制參數(shù)K,最大迭代次數(shù)Gmax。

    輸出:種群P。

    ① 初始種群P,產(chǎn)生一組均勻分布的參考點W

    ②Archive←UpdateArchive(P,W,N,K)

    ③ whileG

    ④P←Operator(P,Archive)

    ⑤Archive←UpdateArchive([P,Archive],W,N,K)

    ⑥Offspring←DE_Operator(Archive)

    ⑦Archive←UpdateArchive([Offspring,Archive],W,N,K)

    ⑧ end while

    算法3外部檔案更新(UpdateArchive)。

    輸入:種群P,參考點W,種群大小N,控制參數(shù)K。

    輸出:更新后種群Archive。

    ①RankNumber←EnsembleFitRanking(P,W,K)

    ②RP←1:length(P)

    ③RR←1:length(W)

    ④ While length(RP)>length(P)-N

    ⑤ [temp,imin]=min(RankNumber(RP,RR))

    ⑥RP←Delete disadvantaged individuals(temp,imin)

    ⑦ end while

    ⑦Archive←P(RP)

    算法MaPSO-EFR的總流程:首先初始化種群P,并在目標(biāo)空間中產(chǎn)生一組均勻分布的參考點W,并初始化外部檔案,在while循環(huán)中,使用雙搜索策略的粒子群優(yōu)化算法對種群P進(jìn)行更新,得到新種群P,然后更新檔案,利用差分進(jìn)化算子對檔案中的個體進(jìn)行交叉、變異等操作,得到子群,最后再次更新檔案,直到循環(huán)迭代滿足結(jié)束條件。外部檔案更新流程如算法3所示,首先通過集成適應(yīng)度排序獲取各向量排序后的序號,計算出當(dāng)前種群的大小,以及參考點數(shù)量,進(jìn)入while循環(huán)中,通過種群與參考點的關(guān)系對最小的序號進(jìn)行選擇,刪除較差的個體,直到滿足循環(huán)終止條件,最后將精英個體保存在外部檔案中。

    2.2 計算復(fù)雜度分析

    算法MaPSO-EFR的計算時間復(fù)雜度主要在于排序,其中歸一化操作的時間復(fù)雜度為O(m2N),而全局排序序號的計算的時間復(fù)雜度為max{O(mN2),O(N2logN)},綜合考慮算法MaPSO-EFR的計算復(fù)雜度為max {O(mN2),O(N2logN)}。

    3 實驗結(jié)果與分析

    仿真實驗在Intel Core i7-6500u 、8 GB內(nèi)存、2.50 GHz 主頻的雙核CPU與Windows 1064位操作系統(tǒng)的個人電腦上運行。為了測試算法MaPSO-EFR的性能,選取性能先進(jìn)的4種高維多目標(biāo)進(jìn)化優(yōu)化算法進(jìn)行對比,分別為EFRRR[8]、NSGA-III[12]、MOEA/D[14]、MaOEAIGD[15],所有算法在多目標(biāo)進(jìn)化算法開源平臺PlatEMO[16]上進(jìn)行對比驗證。

    3.1 測試函數(shù)與評價指標(biāo)

    選取標(biāo)準(zhǔn)測試問題DTLZ1-4和WFG的部分測試實例,分別在5,8,10,15目標(biāo)上進(jìn)行仿真實驗。測試問題決策變量的設(shè)置如表1所示。其中,m為目標(biāo)數(shù),n為決策變量數(shù),k為位置變量,l為距離變量。采用綜合性能指標(biāo)反世代距離(IGD)對算法性能進(jìn)行評價。

    表1 測試問題的決策變量設(shè)置

    3.2 實驗參數(shù)設(shè)置

    表2 目標(biāo)數(shù)、種群數(shù)與進(jìn)化次數(shù)設(shè)置

    每個算法在測試用例上分別獨立運行30次,并取均值作為最終結(jié)果;所有對比算法的參數(shù)設(shè)置均采用原文獻(xiàn)中的數(shù)值,變異算子采用多項式變異,其中ηm=20,pm=1/n;集成適應(yīng)度排序參數(shù)K設(shè)置為目標(biāo)數(shù),根據(jù)目標(biāo)數(shù)的增加而變化。測試實例的目標(biāo)數(shù),采用的種群數(shù)以及算法進(jìn)化次數(shù)如表2所示。

    3.3 實驗結(jié)果與分析

    為了更客觀地評估實驗結(jié)果,采用Wilcoxon秩和檢驗對所有對比算法進(jìn)行兩兩比較,顯著性水平設(shè)為0.05,其中“+”、“-”和“=”分別表示對比算法性能優(yōu)于、劣于和相似于提出的算法,其中最優(yōu)值用灰色背景進(jìn)行標(biāo)注。

    表3 統(tǒng)計了5種對比算法的最終實驗結(jié)果。從表中可以直觀地看到,算法MaPSO-EFR在大部分測試問題上的表現(xiàn)優(yōu)于其他對比算法。其中,在測試問題DTLZ上,以略微的優(yōu)勢領(lǐng)先于其它算法,而在測試問題WFG上,算法MaPSO-EFR的性能表現(xiàn)明顯優(yōu)于其它算法,比同樣采用集成適應(yīng)度排序的EFRRR獲得的最佳測試實例的數(shù)量多一些。但是算法MaPSO-EFR的集成適應(yīng)度的方式與算法EFRRR還是有很大的不同,前者采用基于懲罰的邊界交叉方法作為適應(yīng)度函數(shù),而后者使用切比雪夫函數(shù)作為適應(yīng)度函數(shù);基于懲罰的邊界交叉方法分為兩部分,一部分強調(diào)收斂性,另一部分強調(diào)多樣性,使得其在某些測試用例上的表現(xiàn)優(yōu)于切比雪夫方法。但這不是說基于懲罰的邊界交叉方法在所有問題上都優(yōu)于切比雪夫方法。另外,算法MaPSO-EFR沒有采用EFRRR中的最大排序模式選擇個體,而是通過參考點對標(biāo)記序號的個體進(jìn)一步選擇,并保存最優(yōu)個體進(jìn)入下一代,這樣可以避免在某一方向上重復(fù)選擇個體,在保證種群收斂性的同時,保證種群的多樣性。

    表4對表3中各對比算法在測試實例上所獲得Wilcoxon秩和檢驗的最佳、較好(+)、相似(=)、較差(-)等進(jìn)行了統(tǒng)計。其中,算法MaPSO-EFR獲得了23個最佳性能表現(xiàn)的測試實例,占總數(shù)的57.5%;算法NSGA-III在6個測試實例上的性能最優(yōu),而且在21個測試實例上的性能與算法MaPSO-EFR的相似,在4個對比算法中性能綜合表現(xiàn)最好。

    為了更直觀地評價算法MaPSO-EFR性能表現(xiàn),以5種對比算法在實例DTLZ3的15目標(biāo)上的測試為例,采用折線圖、盒圖等可視化工具進(jìn)行說明。其中,圖1(a)描繪出了各對比算法的反世代距離指標(biāo)隨著迭代次數(shù)的增加而變化的折線,可以明顯地看出對比算法NSGA-III,MaOEA-IGD的收斂性不如算法MaPSO-EFR和EFRRR;算法MaPSO-EFR收斂性表現(xiàn)幾乎和算法EFRRR是一樣的,但還是稍遜于算法EFRRR。雖然MOEA/D的收斂性表現(xiàn)比算法MaPSO-EFR和EFRRR都要好,但從表3中的數(shù)據(jù)容易發(fā)現(xiàn),算法MOEA/D在DTLZ3的15目標(biāo)上表現(xiàn)不穩(wěn)定。圖1(b)將各對比算法在DTLZ3的15目標(biāo)上的30次實驗數(shù)據(jù)用盒圖的方式進(jìn)行了說明。直觀上可以看出,算法NSGA-III的表現(xiàn)最差,算法EFRRR和算法MaPSO-EFR的性能表現(xiàn)相似。

    表3 算法MaPSO-EFR與四種對比算法在DTLZ和WFG的不同目標(biāo)維數(shù)上獲得的IGD平均值和標(biāo)準(zhǔn)差

    (a) 5種對比算法的收斂性能曲線對比

    (b) 5種對比算法收斂性能的盒圖對比

    表4 所有對比算法實驗結(jié)果總結(jié)

    綜上分析,算法MaPSO-EFR在采用的大多數(shù)測試問題上獲得了比對比算法更好的表現(xiàn),表明提出的算法具有較好的收斂性和多樣性,具有一定的競爭性。

    3.4 參數(shù)K的討論

    參數(shù)K是一個平衡算法收斂性與多樣性的控制參數(shù)。為了討論其對算法評價結(jié)果的影響,除了上述反世代距離指標(biāo),另外還采用世代距離指標(biāo)(GD)、空間評價指標(biāo)(SP)這兩個指標(biāo)。其中,世代距離指標(biāo)用于評價算法的收斂性能,所得解集的世代距離評價指標(biāo)值越小越好;空間評價指標(biāo)用于反映算法所得解集分布的均勻性,空間評價指標(biāo)值越小,解集的分布越均勻。在測試實例DTLZ3的5,8,10,15目標(biāo)上,分別取[1,15]之間的整數(shù)來對參數(shù)K進(jìn)行實驗,對于每個K值,算法程序運行30次并取平均值。最終結(jié)果如圖2所示。

    (a) 參數(shù)K對世代距離指標(biāo)的影響

    (b) 參數(shù)K對空間評價指標(biāo)的影響

    (c) 參數(shù)K對指標(biāo)反世代距離的影響

    從圖2(a)和(b)可以看出,算法MaPSO-EFR在DTLZ3的不同目標(biāo)數(shù)上的世代距離和空間評價指標(biāo)隨著參數(shù)K的增加呈下降趨勢,說明參數(shù)K的取值對算法的收斂性和多樣性有較大影響。而在圖2(c)中,參數(shù)K在取值3以后,反世代距離指標(biāo)變化幅度趨于穩(wěn)定,也就是說,參數(shù)K對綜合指標(biāo)反世代距離的影響比較小。從而說明了針對不同目標(biāo)維數(shù),需要設(shè)定不同的K值,才可以使得算法性能表現(xiàn)更佳。

    4 結(jié)束語

    針對高維多目標(biāo)優(yōu)化問題,考慮集成適應(yīng)度排序是一種非帕累托支配排序方式,提出了一種集成適應(yīng)度排序的高維多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法。首先,對種群P每個個體與預(yù)先定義的均勻分布參考點W進(jìn)行關(guān)聯(lián),求出每個個體的最近權(quán)向量L,并選出前K個權(quán)向量,采用基于懲罰的邊界交叉方法作為適應(yīng)度函數(shù),對部分個體進(jìn)行非遞減排序,并根據(jù)個體的優(yōu)劣進(jìn)行排序編號。然后,對較差的個體進(jìn)行剔除,并保存精英個體到外部檔案中進(jìn)入下一次迭代更新。最后,討論了參數(shù)K值對算法性能的影響。與4種先進(jìn)的高維多目標(biāo)進(jìn)化優(yōu)化算法在標(biāo)準(zhǔn)測試集DTLZ和WFG的實驗表明,算法MaPSO-EFR在大多數(shù)測試實例上的性能表現(xiàn)優(yōu)于對比算法,具有較好的收斂性與多樣性。但是算法MaPSO-EFR在一些退化的多目標(biāo)測試問題上表現(xiàn)不理想,接下來工作將繼續(xù)改善算法MaPSO-EFR的性能。

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