用二元函數(shù)極值的定義解決問題并滲透思政教育的探討

摘 要：文章從二元函數(shù)極值的定義出發(fā)，用幾個(gè)例子說明如何用定義解決一些難題。并將思政元素滲透到極值定義中，對(duì)學(xué)生處于低谷時(shí)的心理進(jìn)行疏導(dǎo)，提升學(xué)生的抗壓能力。

關(guān)鍵詞：二元函數(shù);二元函數(shù)極值定義;駐點(diǎn);思政

中圖分類號(hào)：O172.1文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1 緒論

在一元函數(shù)極值的基礎(chǔ)上，我們引入二元函數(shù)的極值問題，首先給出定義。

定義1[1] 設(shè)函數(shù)z=f（x，y）的定義域?yàn)镈，P0（x0，y0）為D的內(nèi)點(diǎn)。若存在P0的某個(gè)領(lǐng)域U（P0）D，使得對(duì)于該鄰域內(nèi)異于P0的任何點(diǎn)（x，y），都有f（x，y）f（x0，y0），則稱函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）有極小值f（x0，y0），點(diǎn)（x0，y0）稱為f（x，y）的極小值點(diǎn);極大值、極小值統(tǒng)稱為極值。使得函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。

人生何嘗不像一張曲面，極大值在高峰處取得，極小值在低谷處取得。人生總會(huì)有起有落，沒有一帆風(fēng)順的人生。有的學(xué)生可能已經(jīng)選擇好了即將要完成的目標(biāo)，而在完成目標(biāo)的過程中，有心酸、有困難，此時(shí)不要輕言放棄，低谷是為了更好地迎接勝利。也許此時(shí)的你非常的無助，但是這樣的事情在人生漫漫旅途中，只能算是小小的漣漪。所以，勇敢面對(duì)，不忘初心，砥礪前行吧。

而在處理二元函數(shù)極值問題的時(shí)候，也會(huì)遇到類似這樣的問題。往往用判定駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)的判別方法時(shí)非常的簡(jiǎn)單，但是，如果遇到可能的極值點(diǎn)是駐點(diǎn)，但是AC-B2=0，或者，該點(diǎn)根本不是駐點(diǎn)，我們會(huì)覺得非常的難，感覺到了解決二元函數(shù)極值問題的低谷。此時(shí)不要放棄，可以嘗試從定義出發(fā)。

下面從幾個(gè)例子來說明，怎樣從定義出發(fā)，解決二元函數(shù)的極值問題。

2 二元函數(shù)無條件極值特例

例1 求f（x，y）= x2+y2的極值。

解：因?yàn)閒x（x，y）=x x2+y2，fy（x，y）=y x2+y2，函數(shù)f（x，y）在R2上除（0，0）點(diǎn)外均可偏導(dǎo)，且無駐點(diǎn)，故可能的極值點(diǎn)僅為（0，0）點(diǎn)。又（0，0）點(diǎn)為不可偏導(dǎo)的點(diǎn)，此時(shí)從定義出發(fā)進(jìn)行判別。簡(jiǎn)單易見地是，

（x，y）∈R2＼（0，0），f（x，y）= x2+y2>0=f（0，0），所以（0，0）點(diǎn)為函數(shù)的極小值點(diǎn)，且極小值為f（0，0）=0。

例1給出了對(duì)于不可偏導(dǎo)點(diǎn)處，如何判斷其是否為極值點(diǎn)的方法。從定義出發(fā)，借助幾何直觀、數(shù)學(xué)表達(dá)式大小關(guān)系等方法確定該點(diǎn)是否為極值點(diǎn)。

例2 已知函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)（0，0）的鄰域內(nèi)連續(xù)，且lim（x，y）→（0，0）f（x，y）-axyx2+y2）2=1。其中a為非零常數(shù)，則（0，0）是否取得極值點(diǎn)，如果取得，是否跟a的取值有關(guān)。

解：∵lim（x，y）→（0，0）f（x，y）-axyx2+y2）2=1且lim（x，y）→（0，0）x2+y2）2=0，

∴l(xiāng)im（x，y）→（0，0）f（x，y）-axy=0，

∴l(xiāng)im（x，y）→（0，0）f（x，y）=0。

又 ∵f（x，y）在點(diǎn)（0，0）連續(xù)，

∴l(xiāng)im（x，y）→（0，0）f（x，y）=0=f（0，0）。

∵lim（x，y）→（0，0）f（x，y）-axyx2+y2）2=1，

∴f（x，y）-axyx2+y2）2=1+α（x，y），其中l(wèi)im（x，y）→（0，0）α（x，y）=0，即f（x，y）=axy+（1+α（x，y））x2+y2）2。

在y=x上，f（x，x）=ax2+41+α（x，x）x4。當(dāng)x→0時(shí)，f（x，x）=ax2+o（x2）。

在y=-x上，f（x，-x）=-ax2+41+α（x，x）x4。當(dāng)x→0時(shí)，f（x，-x）=-ax2+o（x2）。

故，當(dāng)x充分小的時(shí)候，f（x，y）在（0，0）點(diǎn)附近的值有正有負(fù)，而f（0，0）=0，故（0，0）不是函數(shù)的極值點(diǎn)，且其未取到極值與非零常數(shù)a無關(guān)。

例2題干中只給出了函數(shù)在（0，0）點(diǎn)處連續(xù)的條件，故不能用從駐點(diǎn)處取得極值的判別方法進(jìn)行判斷。本題找出了函數(shù)在（0，0）點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)，既有f（x，y）>f（0，0），又有f（x，y）

例3 求函數(shù)f（x，y）=3（x-2y）2+x3-8y3的極值，并證明f（0，0）=0不是f（x，y）的極值[2]。

解：先解方程組

fx（x，y）=6（x-2y）+3x2=0，

fx（x，y）=-12（x-2y）-24y2=0，

求得駐點(diǎn)為（-4，2）、（0，0）。

再求二階偏導(dǎo)數(shù)：

fxx（x，y）=6+6x，fxy（x，y）=-12，fyy（x，y）=24-48y。

在點(diǎn)（-4，2）處，AC-B2=（-12）·（-72）-（-12）2>0，又A<0，所以函數(shù)在（-4，2）處有極大值。

在點(diǎn)（0，0）處，AC-B2=6·24-（-12）2=0，無法判別（0，0）是否為極值點(diǎn)。

下面我們從定義出發(fā)，判別O（0，0）點(diǎn)是否為函數(shù)f（x，y）的極值點(diǎn)。

對(duì)于O（0，0）點(diǎn)的鄰域U°（O，ε）（ε<1），取點(diǎn)列（xn，yn）=（1n，0），當(dāng)n>1ε時(shí)，（1n，0）∈U°（O，ε），f1n，0=3n2+1n3>0，從而（x，y）∈U°（O，ε），使得f（x，y）>0。

取點(diǎn)列（x′n，y′n）=（2n-1n2，1n），當(dāng)n>2ε時(shí)，（2n-1n2，1n）∈U°（O，ε），f2n-1n2，1n=-9n2+6n-1n6<0，從而（x，y）∈U°（O，ε），使得f（x，y）<0。

因此，（0，0）不是函數(shù)f（x，y）的極值點(diǎn)。

所以，函數(shù)f（x，y）僅在（-4，2）處有極大值，且極大值為f-4，2=64。

例3不僅介紹了如何判斷駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)的解決方法，還給出了當(dāng)出現(xiàn)AC-B2=0時(shí)，如何從定義出發(fā)，給出解題方法。

例4 設(shè)函數(shù)f（x，y）在（0，0）點(diǎn)及其鄰域內(nèi)連續(xù)，且lim（x，y）→（0，0）f（x，y）-f（0，0）x2+1-xsiny-cos2y=A<0。討論（〗0，0）點(diǎn)是否為函數(shù)f（x，y）的駐點(diǎn)？函數(shù)f（x，y）在（0，0）點(diǎn)是否有極值？如果有，是極大值還是極小值？

解：∵lim（x，y）→（0，0）f（x，y）-f（0，0）x2+1-xsiny-cos2y=A

∴l(xiāng)im（x，y）→（0，0）y=0f（x，y）-f（0，0）x2+1-xsiny-cos2y=A

即limx→0f（x，0）-f（0，0）x2=A。

從而有l(wèi)imx→0f（x，0）-f（0，0）xx=A。

因此limx→0f（x，0）-f（0，0）x=0。

故fx（0，0）=0。

類似地，由lim（x，y）→（0，0）f（x，y）-f（0，0）x2+1-xsiny-cos2y=A

有l(wèi)im（x，y）→（0，0）x=0f（x，y）-f（0，0）x2+1-xsiny-cos2y=A

即limy→0f0，y-f（0，0）1-cos2y=A

運(yùn)用等價(jià)無窮小性質(zhì)有l(wèi)imy→0f0，y-f（0，0）y2=A，變形得limy→0f（0，y）-f（0，0）yy=A，所以limy→0f（0，y）-f（0，0）y=0，故fy（0，0）=0。

所以，（0，0）點(diǎn)是函數(shù)f（x，y）的駐點(diǎn)。

因?yàn)轳v點(diǎn)是可能的極值點(diǎn)，所以下面判斷（0，0）點(diǎn)是否為函數(shù)的極值點(diǎn)。由于f（x，y）在（0，0）點(diǎn)二階偏導(dǎo)數(shù)未必存在，因此我們從定義出發(fā)，研究其極值問題。

∵lim（x，y）→（0，0）f（x，y）-f（0，0）x2+1-xsiny-cos2y=A

∴f（x，y）-f（0，0）x2+1-xsiny-cos2y=A+α（x，y），其中l(wèi)im（x，y）→（0，0）α（x，y）=0。

即有：

f（x，y）-f（0，0）=（A+α（x，y））（x2+1-xsiny-cos2y）

（1）x2+1-xsiny-cos2y=x2+sin2y-xsiny2xsiny-xsiny>0（O（0，0）除外）;

（2）因?yàn)閘im（x，y）→（0，0）α（x，y）=0，所以根據(jù)極限的定義，對(duì)于A2>0，δ>0，對(duì)于（x，y）∈U°（O，δ），有α（x，y）

由（1）、（2）知，f（x，y）-f（0，0）<0，即存在U°（O，δ），對(duì)于任意的（x，y）∈U°（O，δ），有f（x，y）

從而，（0，0）是函數(shù)f（x，y）的極值點(diǎn)，且為極大值點(diǎn)。

例4 對(duì)于駐點(diǎn)處二階偏導(dǎo)未必存在的情況，從定義出發(fā)，給出證明。

3 結(jié)語(yǔ)

本文主要從二元函數(shù)極值的定義出發(fā)，用四個(gè)不同類型的例子說明，如何運(yùn)用極值的定義來解決問題，并且根據(jù)極值的定義引入了思想政治元素，既能使學(xué)生聯(lián)系實(shí)際，理解極值的定義，又能從思想上對(duì)學(xué)生進(jìn)行心理疏導(dǎo)?，F(xiàn)在的大學(xué)生抗挫折能力較差，遇到困難，往往容易放棄，其實(shí)雨后才有彩虹。相信在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，融入思想政治元素，會(huì)使我們的學(xué)生抗壓能力更強(qiáng)，變得越來越優(yōu)秀。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)[M].第五版下冊(cè).北京：高等數(shù)學(xué)出版社，2016：52.

[2]第十四屆江蘇省高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽本科組試題.

[3]黃正剛.解二元函數(shù)無條件極值的一個(gè)有效方法[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2017，33（2）：114117.

[4]韓淑霞，黃永忠，吳潔.一類二元函數(shù)極值的判別.高等數(shù)學(xué)研究，2018，2（21） ：5355.

基金項(xiàng)目：江蘇省2020年度高校哲學(xué)社會(huì)科學(xué)研究一般項(xiàng)目“新時(shí)代背景下思想政治教育融入高等數(shù)學(xué)課堂的探索與實(shí)踐”（編號(hào)：2020SJA2217）

作者簡(jiǎn)介：肖小燕（1979— ），女，漢族，江蘇如皋人，碩士研究生，講師，研究方向：多元統(tǒng)計(jì)。