Sobolev方程的等參有限元法

劉智新，張媛，宋士倉(cāng)

(1.鄭州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南鄭州450001;2.鄭州鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室，河南鄭州451460)

1.引言

考慮如下的Sobolev方程

其中Ω?R2為具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域，X=(x，y)，u0(X)，f(X，t)是已知函數(shù).

Sobolev方程在流體穿過(guò)裂縫巖石的滲透理論，土壤中的濕氣遷移問(wèn)題，不同介質(zhì)中的熱傳導(dǎo)問(wèn)題，黏土的加固理論等許多數(shù)學(xué)物理問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用.關(guān)于其數(shù)值方法的研究已經(jīng)有很多，如文[1]討論了標(biāo)準(zhǔn)混合有限元方法，文[2-3]介紹了H1-Galerkin混合有限元方法，文[4-5]分別討論了非協(xié)調(diào)元方法和弱Galerkin有限元方法.進(jìn)一步的，文[6-8]討論了非線性的情形，并給出了相應(yīng)數(shù)值方法的收斂性分析.關(guān)于這些數(shù)值方法的文獻(xiàn)還有很多，但這些文獻(xiàn)主要是在凸多邊形區(qū)域上討論的.對(duì)于多角形區(qū)域，由于解的光滑性不夠，不宜采用高次元去逼近，否則達(dá)不到提高精度的目的.在實(shí)際生活中會(huì)經(jīng)常遇到曲邊區(qū)域的情況，當(dāng)用有限元方法去處理時(shí)，通常的方法是用多角形區(qū)域(直邊有限元)去逼近，但由于邊界處的誤差較大，也會(huì)影響精度.若通過(guò)對(duì)邊界處的網(wǎng)格加密來(lái)減少誤差，這樣也會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量的巨大增加.因此為了使收斂階不受損失，我們可以采用等參有限元去逼近曲邊區(qū)域.

目前討論等參有限元逼近的文獻(xiàn)也比較多，在此我們簡(jiǎn)要描述與之相關(guān)的一些主要貢獻(xiàn).設(shè)u是某個(gè)方程的變分問(wèn)題的解，Ω是具有光滑邊界的有界區(qū)域，uh和Ωh分別是u和Ω的近似值.文[9-10]中詳細(xì)介紹了等參有限元方法，并應(yīng)用二次Lagrange等參元去逼近具有齊次Dirichlet邊界的二階橢圓問(wèn)題，最終得到了‖-uh‖H1(Ωh)=O(h2)的誤差估計(jì)，其中～u是u到Ωh的某種延拓.同時(shí)由于其考慮了數(shù)值積分，因此只要積分點(diǎn)位于Ω∩Ωh上，便能夠定義近似問(wèn)題而無(wú)需將函數(shù)延拓到Ωh上，文[11]給出了不使用數(shù)值積分的誤差估計(jì).基于這種思想，許多學(xué)者將等參有限元方法應(yīng)用到其他問(wèn)題中，如[12-14]討論了用等參混合有限元方法去求解四階橢圓邊值問(wèn)題和Stokes問(wèn)題，得到了與凸多邊形區(qū)域上同樣的收斂階.文[15-16]將等參有限元方法應(yīng)用到了橢圓界面問(wèn)題中，得到了比傳統(tǒng)的有限元方法更好的收斂階.進(jìn)一步的，文[17]在文[10]中介紹的等參有限元方法基礎(chǔ)上，提出了另一種估計(jì)思路.它討論了如何去構(gòu)造一個(gè)映射Φh:Ωh→Ω，該映射對(duì)于任意維數(shù)空間都是有效的，可以很自然的將Ω區(qū)域上的函數(shù)延拓到Ωh上，并給出了相關(guān)的誤差估計(jì).然后應(yīng)用k次Lagrange等參元討論了曲邊區(qū)域上的二階橢圓問(wèn)題，得到了‖u-uh°‖H1(Ω)=O(hk)的誤差估計(jì).但是以上討論都是基于定常問(wèn)題，就作者所知，將等參有限元方法應(yīng)用于非定常問(wèn)題的文獻(xiàn)還比較少，文[18]基于文[10]中提出的思想討論了拋物方程的等參有限元方法，其中引入了Ritz投影，并給出了嚴(yán)格的證明，最后討論了全離散格式下真解和有限元解在Ω∩Ωh上的L2模誤差估計(jì).文[19]將文[17]中的思想進(jìn)一步應(yīng)用到了拋物方程中，并分別討論了真解和有限元解在半離散和Crank-Nicolson全離散格式下的誤差估計(jì).但上述文獻(xiàn)只是給出了理論估計(jì)，并沒(méi)有給出相應(yīng)的數(shù)值算例.

本文主要研究當(dāng)求解區(qū)域Ω?R2為具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域時(shí)，應(yīng)用文[17]的思想去求解問(wèn)題(1.1).給出了半離散問(wèn)題和向后歐拉全離散格式下解的存在唯一性的證明，并且分別討論了真解和有限元解之間的誤差估計(jì).最后給出了一個(gè)數(shù)值算例，進(jìn)一步驗(yàn)證了理論分析的結(jié)果，其結(jié)果表明，采用等參有限元去逼近曲邊區(qū)域可以達(dá)到和凸多邊形區(qū)域上同樣的收斂階.

在本文中我們用C表示一個(gè)與h無(wú)關(guān)的大于0的常數(shù)，不同的地方大小可能不同.

2.預(yù)備知識(shí)

為了下面證明的需要和方便，首先給出一些定義和引理.

我們用Wm，p(Ω)表示通常的Sobolev空間，其中m≥0，1≤p≤∞，其范數(shù)定義如下

當(dāng)p=2時(shí)，記Wm，p(Ω)=Hm(Ω).并且相關(guān)的范數(shù)記作如下:

設(shè)Y是Banach空間，其范數(shù)記為‖·‖Y，對(duì)映射φ:[0，T]→Y，定義

為了引進(jìn)全離散逼近格式，將區(qū)間[0，T]劃分為:0=t0＜t1＜···＜tN=T，Δt=為時(shí)間步長(zhǎng)，其中N為正整數(shù).同樣定義

另外關(guān)于等參有限元的詳細(xì)介紹可見(jiàn)文[9-10]，此處不再詳細(xì)介紹.現(xiàn)在我們用k次Lagrange等參有限元對(duì)區(qū)域Ω進(jìn)行剖分，Jh為一族正則的等參有限元剖分，Ω的近似區(qū)域?yàn)棣竓=其中T為剖分單元，記h為剖分單元的最大直徑.我們記ΠT為單元T上的插值算子，其具體定義可見(jiàn)文[9-10]，又由文[17]知，存在可逆映射Φh:Ωh→Ω，其逆為則有Φh|T:T→，且同理，有Φh:→X.定義Πh為整個(gè)Ωh區(qū)域上的插值算子，對(duì)則有

由此引入(Ωh)的有限維子空間

及)的有限維子空間

由文[17]，我們可以得到如下三個(gè)引理.

引理2.1設(shè)Jh為一族正則的等參有限元剖分，用J(Φh)表示映射Φh的Jacobi行列式，則存在一個(gè)與h無(wú)關(guān)的常數(shù)C，使得

引理2.2假設(shè)v∈C0(∩Hk+1(Ω)，令則存在一個(gè)與h無(wú)關(guān)的常數(shù)C，然后有

引理2.3設(shè)0≤m≤k+1，則范數(shù)‖vh‖Hm(Ωh)和是等價(jià)的.

3.半離散問(wèn)題的誤差估計(jì)

問(wèn)題(1.1)的變分問(wèn)題為，求u:[0，T](Ω)，使得

則問(wèn)題(3.1)對(duì)應(yīng)的半離散逼近格式為：求uh:[0，T]→Vh，滿足

定理3.1問(wèn)題(3.2)有唯一解.

證設(shè)是空間Vh的一組基，則uh可以表示為

其中

顯然(3.3)式是關(guān)于未知函數(shù)α(t)的線性常微分方程組，當(dāng)給定初值α(0)時(shí)，由常微分方程理論知(3.3)式存在唯一解α(t)，從而半離散問(wèn)題(3.2)存在唯一解uh(X，t).

定理3.2設(shè)u和uh是問(wèn)題(3.1)和問(wèn)題(3.2)的解，f∈L2(0，T，L2(Ω))，u∈L2(0，T，Hk+1(Ω))，ut∈L2(0，T，Hk+1(Ω))，并且ut，?ut，?u有界，則有如下估計(jì)

證首先我們引入一個(gè)穩(wěn)態(tài)問(wèn)題，即尋求輔助函數(shù)χh∈Vh，使得

令u°Φh-uh=u°Φh-χh+χh-uh=θ+η，其中θ=u°Φh-χh，η=χh-uh.將(3.1)式改寫(xiě)為

(3.5)式減去(3.2)式得

其中G1=(?χh，t，?vh)-(?ut，?(vh°))，G2=(?χh，?vh)-(?u，?(vh°))，G3=.

在(3.5)式中令vh=η，則左端為

同理

將(3.8)-(3.11)式代入(3.5)式，則有

將(3.12)式從0到t積分，可得

利用Gronwall引理，存在常數(shù)C，使如下估計(jì)式成立

對(duì)于輔助函數(shù)χh，因?yàn)棣癶(u°Φh)∈Vh，且滿足(?(Πh(u°Φh))，ωh)=(?(u°Φh)，ωh)，?ωh∈Vh.所以我們?nèi)ˇ謍=Πh(u°Φh)，由引理2.2有

又θt=ut°Φh-Πh(ut°Φh)，類(lèi)似地有

應(yīng)用引理2.3即可得到(3.4)式，定理證畢.

4.全離散問(wèn)題的誤差估計(jì)

現(xiàn)在我們采用向后歐拉差分格式構(gòu)造問(wèn)題(3.1)的全離散格式，目的是求解初邊值問(wèn)題的真解u(x，t)在節(jié)點(diǎn)tn，n=1，2，...N處的近似值.對(duì)于[0，T]上的任意光滑函數(shù)φ，定義φn=

與問(wèn)題(3.1)對(duì)應(yīng)的的全離散逼近格式為:求Un∈Vh，n=0，1，...N，使得

在(3.1)式中令t=tn，可得

定理4.1問(wèn)題(4.1)有唯一解.

證記則全離散問(wèn)題(4.1)可以等價(jià)的表示為:求Un∈Vh，n=0，1，···N，使得

又

從而A()是Vh上的正定雙線性型，易證A()是Vh上的連續(xù)雙線性泛函，而且對(duì)于已知的Un－1，F(xiàn)()是Vh上的連續(xù)線性泛函.于是由Lax-Milgram定理知，方程(4.3)即問(wèn)題(4.1)存在唯一的解Un∈Vh，n=0，1，...N.

定理4.2設(shè)un和Un是問(wèn)題(4.2)和問(wèn)題(4.1)的解，f∈L2(0，T，L2(Ω))，u∈L2(0，T，Hk+1(Ω))，ut∈L2(0，T，Hk+1(Ω))，utt∈L2(0，T，H1(Ω))，并且?u有界，則對(duì)任意的1≤n≤N，有如下估計(jì)

證此處同樣引入輔助函數(shù)使得

記un°Φh-Un=un°Φh-Wn+Wn-Un=θn+ηn，其中θn=un°Φh-Wn，ηn=Wn-Un.將(4.2)式改寫(xiě)為

(4.5)式減去(4.1)式，可得

然后，在(4.6)式中令vh=ηn，則有

對(duì)于(4.7)式左端，有

同理

結(jié)合(4.7)-(4.13)式，可得

(4.14)式兩端同乘以2Δt，并對(duì)n從1到m求和，有

則由離散的Gronwall引理可得

因此

又注意到?η0=η0=0，則結(jié)合(4.16)-(4.20)式，對(duì)任意的1≤n≤N，有

最后由引理2.3及三角不等式即可得到(4.4)式，定理4.2得證.

5.數(shù)值算例

為了驗(yàn)證理論分析的正確性，我們首先考慮問(wèn)題(1.1)，其中

可以容易驗(yàn)證其真解為

然后為了便于數(shù)值計(jì)算，我們選用二次Lagrange等參元.對(duì)空間區(qū)域Ω沿x軸和y軸方向剖分成M×M(M=2，4，8，···)份，采用向后歐拉格式對(duì)時(shí)間區(qū)域進(jìn)行離散，其中如圖5.1所示是一個(gè)4×4的二次等參元網(wǎng)格剖分圖.

圖5.1 4×4網(wǎng)格圖

圖5.2和圖5.3分別給出了t=0.1，網(wǎng)格剖分為16×16時(shí)問(wèn)題(1.1)的真解和問(wèn)題(4.1)的有限元解.表5.1給出了在不同網(wǎng)格剖分下的誤差和收斂階數(shù)，從表5.1中可以看出當(dāng)網(wǎng)格步長(zhǎng)h→0時(shí)，收斂階為O(h2)，這和我們前面的理論估計(jì)是一致的.

表5.1 t=0.1時(shí)的逼近結(jié)果

圖5.2 t=0.1時(shí)真解u

圖5.3 t=0.1時(shí)有限元解U