具有密度制約捕食者-食餌系統(tǒng)周期解的全局存在性

魏寧，占萌穎，鄭立飛，萬阿英

(1.西北農(nóng)林科技大學(xué)理學(xué)院，陜西楊凌712100;2.西北工業(yè)大學(xué)計算機學(xué)院，陜西西安710000;3.呼倫貝爾學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，內(nèi)蒙古海拉爾021008)

1.引言

種群的持續(xù)生存是數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)中捕食理論的一個重要而廣泛的問題.對于捕食者-食餌系統(tǒng)，很多學(xué)者已有大量的研究工作[1－10].同時，越來越多的生物學(xué)和生理學(xué)證據(jù)表明，在許多情況下，特別是當(dāng)捕食者不得不搜尋食物，因此不得不分享或競爭食物時，一個更切合實際并且更一般的捕食者-食餌系統(tǒng)模型應(yīng)該是：捕食者的捕食率除了和食餌種群的種群密度有關(guān)外，還受到捕食者種群自身的密度影響.因此一般的捕食者-食餌系統(tǒng)模型可描述為

其中ai，bi，ci(i=1，2)均為正常數(shù).采用Holling第二型功能反應(yīng)項，該模型可以改進為

其中ai，bi(i=1，2)，α，k，m均為正常數(shù).

然而，人們發(fā)現(xiàn)在現(xiàn)實問題當(dāng)中，一個系統(tǒng)將來的狀態(tài)不僅僅只是和當(dāng)前的狀態(tài)有關(guān)同時它也與過去的某一時間段有緊密的聯(lián)系．所以，近年來具有時滯的捕食者-食餌系統(tǒng)模型倍受廣泛關(guān)注.在模型(1)和(2)的基礎(chǔ)上，本文主要考慮如下時滯系統(tǒng)

其中，N1(t)，N2(t)分別是食餌和捕食者的種群密度，bi:R→R，ai，τi，σi，α:R→[0，+∞)，β:R→[0，+∞)是連續(xù)的ω周期函數(shù)且α/0.m≥0，當(dāng)m=0時系統(tǒng)(3)是經(jīng)典的Lotka-Volterra捕食者-食餌模型.

本文的目的是利用Mawhin重合度理論中的延拓定理來研究系統(tǒng)(3)正ω周期解的全局存在性.

2.預(yù)備知識

本文利用Gaines和Mawhin重合度理論中的延拓定理證明系統(tǒng)(3)周期解的存在性.

設(shè)X，Z是兩個Banach空間，L:DomL?X→Z為線性映射，N:X→Z為連續(xù)映射.如果dim KerL=co dim ImL＜+∞且ImL為Z中的閉子集，則稱映射L是指標(biāo)為0的Fredholm映射.若L指標(biāo)為0的Fredholm映射存在連續(xù)投影

使得

則L|DomL∩KerP:(I-P)X→ImL可逆，并設(shè)其逆影射為KP.

設(shè)Ω為X中的有界開集，若QN()有界且KP(I-Q)N:→X是緊的，則稱N在上是L-緊的.由于ImQ和KerL是同構(gòu)的，因而存在同構(gòu)影射J:ImQ→KerL.

引理1[11](延拓定理)設(shè)X，Z是Banach空間，L指標(biāo)為0的Fredholm映射，N:X→Z在上是L-緊的，其中Ω為X中的有界開集，且滿足：

1)?λ∈(0，1)，方程Lx=λNx的解滿足;

2)?x∈Ker0;

3)deg{JQN，Ω∩KerL，00.

則方程Lx=Nx在DomL∩內(nèi)至少存在一個解.

引理2關(guān)于系統(tǒng)(3)是正向不變的.

證因為

顯然引理的結(jié)論成立.

結(jié)合系統(tǒng)(3)的實際生物學(xué)意義，取如下初值

且假設(shè)種群密度有界，即

其中，τ=max{τ1(t)，τ2(t)，σ1(t)，σ2(t)}.本文采用如下的記號:

3.主要結(jié)果及證明

本文主要結(jié)果為如下的定理.

定理1如果則系統(tǒng)(3)至少存在一個正ω周期解.

證首先作變換

則系統(tǒng)(3)可變形為

則X，Z在范數(shù)‖·‖下為Banach空間，令

則

為Z中的閉子集，且dim KerL=2=co dim ImL.因此，L是指標(biāo)為0的Fredholm映射.容易證明，P，Q是連續(xù)的投影算子且使得ImP=KerL，ImL=KerQ=Im(I-Q)，故L的逆映射Kp:ImL→KerP∩DomL存在，且

從而

顯然，由以上兩式可知QN及Kp(I-Q)N也連續(xù)，因為Ω為X中的有界開集，則QN()有界，利用Ascoli-Arzela定理，容易證明是緊致的，因此N在上是L-緊的.

對應(yīng)于算子方程Lx=λNx，λ∈(0，1)，有

設(shè)x(t)∈X是系統(tǒng)(6)對應(yīng)于某個λ∈(0，1)的解，對系統(tǒng)(5)兩端由0到ω積分得

即

由(6)-(8)知

因為x(t)=(x1(t)，x2(t))T∈X，所以存在ξi，ηi∈[0，ω]，i=1，2，使得

由(4)，(7)及(11)，有

且

即

于是

另外，由(7)及(10)還可以得到

即

于是

由(12)，(13)，有

由(7)式有

所以

則

由(7)，(10)及(12)可得

所以

則

由(15)，(16)可知

由式(13)-(16)，可以看出Hi(i=1，2，3，4)與λ的選取無關(guān)，由定理的已知條件容易證明代數(shù)方程組

令

則Ω滿足引理1中的條件，當(dāng)x∈?Ω∩KerL=?Ω∩R2時，x是R2中的常值向量且‖x‖=H，于是

又式（16）存在唯一解，由已知條件可直接計算得到

此式中同構(gòu)映射J可取為恒同構(gòu)映射，因為KerL=ImQ.由于已經(jīng)證明Ω滿足引理1的全部條件，由引理1，方程Lx=Nx在DomL∩中至少存在一個解，即系統(tǒng)(3)在中至少存在一個ω周期解令則由(4)可知是系統(tǒng)(3)的一個ω周期解.

注1系統(tǒng)(3)中τ1(t)，τ2(t)，σ1(t)，σ2(t)不必恒為正數(shù).

注2此結(jié)論對食物鏈系統(tǒng)模型仍然成立.

注3當(dāng)m=0時，系統(tǒng)(3)的周期解仍然存在.