基于通用生成函數(shù)的結構可靠性優(yōu)化策略

周金宇 朱達偉 王志凌

1.金陵科技學院機電工程學院，南京，211169 2.江蘇理工學院機械工程學院，常州，213001

0 引言

不確定性是客觀世界的重要特征，普遍存在于工業(yè)產(chǎn)品的設計、制造和使用過程。工程問題中，加工尺寸、外載荷、材料等往往存在不確定性，設計時若不考慮這些不確定性，可能得到不可靠的設計結果[1]。近年來，計算技術飛躍發(fā)展，考慮不確定性的優(yōu)化設計方法逐步應用于航空航天、遠洋深海、高速機車、特種裝備等工程領域。其中，基于概率理論和隨機不確定性的可靠性設計優(yōu)化(reliability-based design optimization，RBDO)是理論較成熟、應用最廣泛的考慮不確定性的優(yōu)化設計方法[2]。

根據(jù)優(yōu)化流程的迭代結構，可將RBDO方法分為雙循環(huán)法、單循環(huán)法和解耦法。雙循環(huán)法是解決RBDO問題的最基本方法，具有外層設計變量優(yōu)化與內層可靠性分析相互耦合的雙層嵌套結構。雙循環(huán)法計算成本高、效率低，因此學者相繼提出了單循環(huán)法和解耦法。單循環(huán)法利用近似等效條件替代可靠性約束，避免優(yōu)化循環(huán)內嵌的可靠性分析循環(huán)。為進一步提高優(yōu)化求解效率，LI等[3]基于可靠設計空間，將RBDO問題完全轉換為確定性優(yōu)化問題；ZHOU等[4]提出的基于順序逼近的兩階段RBDO方法顯著減小了計算量。對于解耦法，DU等[5]引入偏移向量，將設計變量優(yōu)化與可靠性分析解耦分離，提出了序列優(yōu)化與可靠性評估(sequential optimization and reliability assessment, SORA)方法；TORII等[6]提出一種適用于各類可靠性分析方法的通用解耦方法；HAO等[7]提出一種增強步長調整(enhanced step length adjustment, ESLA)迭代算法和基于二階可靠性分析的逐步增強順序優(yōu)化與可靠性評估方法(SSORA-SORM)。

工程結構RBDO通常面臨的兩大技術瓶頸是復雜功能函數(shù)的調用成本高和可靠度指標的求解精度低。一方面，實際工程計算中含復雜功能函數(shù)的問題時，往往需借助有限元分析等成本高昂的學科工具。近年來，研究人員借助多項式響應面(RSM)、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(ANN)、支持向量機(SVM)、克里金(Kriging)模型等代理模型，通過試驗樣本的高效訓練建立分析變量與復雜功能函數(shù)之間的簡明映射，在一定程度上解決了復雜功能函數(shù)調用成本高的難題，因此功能函數(shù)調用次數(shù)不總是算法評估的核心指標。另一方面，針對工程結構RBDO中常見的變量非正態(tài)分布(如指數(shù)分布、均勻分布、多峰分布)和功能函數(shù)非線性場合，可靠度指標求解的常用方法(FORM、SORM)存在較大誤差，甚至因誤差不可控、迭代不收斂導致方法失效。Monte Carlo模擬(MCS)法是高精度求解方法，但計算成本極高，一般難以勝任工程結構RBDO的可靠性分析。因此，在可控成本下實施可靠度指標的高精度求解，已成為工程結構RBDO亟待攻克的現(xiàn)實難題。

上世紀80年代USHAKOV[8]提出通用生成函數(shù)(universal generating function, UGF)概念以來，UGF法被引入工程領域并取得豐碩成果。文獻[9-11]在多狀態(tài)系統(tǒng)研究領域中應用并進一步發(fā)展該方法，使之逐步成為系統(tǒng)概率分析的重要工具。LISNIANSKI[12]基于變量離散化思想，利用UGF計算連續(xù)狀態(tài)系統(tǒng)可靠性指標的界后，UGF法逐步擴展到具有連續(xù)型隨機變量的結構體系概率分析[13]。

筆者在結構RBDO中引入UGF，針對隨機變量為非正態(tài)分布和功能函數(shù)非線性的RBDO問題，提出一種基于UGF的可靠性設計優(yōu)化策略。通過系列響應面建立分析變量與概率指標的動態(tài)映射，消除傳統(tǒng)雙循環(huán)法的內層循環(huán)；利用UGF法替代傳統(tǒng)矩法完成響應面動態(tài)更新過程中的可靠性分析。該方法能在可控的計算成本內顯著提高隨機變量/參數(shù)非正態(tài)、功能函數(shù)非線性場合的工程結構RBDO的求解精度。

1 結構可靠性分析的UGF法

1.1 連續(xù)型隨機變量的UGF

對于連續(xù)型隨機變量s，累積分布函數(shù)及概率密度函數(shù)分別為FS(s)和fS(s)，將s在其定義域(smin,smax)內近似均勻離散化為m個點，分別記作s1、s2、…、sm。離散點si(i=1,2,…,m)對應的概率為

(1)

式中，δ為離散步長，δ=(smax-smin)/m。

這樣，可根據(jù)離散數(shù)據(jù)集{(si,pi)|i=1，2，…，m}定義連續(xù)型隨機變量s的UGF：

(2)

式中，離散值si為隨機變量的第i個狀態(tài)值，si=smin+(i-0.5)δ;z為UGF模型中的默認字符，僅用于表示函數(shù)結構，無實際含義。

1.2 基于UGF的可靠性分析

對于涉及n維連續(xù)型隨機向量S=(S1,S2,…,Sn)的工程結構，可靠性分析可利用式(1)、式(2)獲得S第j個分量的UGF：

(3)

設結構的功能函數(shù)為G(S)，G(S)>0時，結構可靠，否則失效。對結構進行可靠性分析時，需對各隨機變量UGF進行復合運算，獲得描述總體性能分布的結構UGF：

(4)

其中，?G為復合算子，由復合算子根據(jù)結構物理內涵定義不同變量UGF之間的運算規(guī)則。

結構UGF包含總體性能分布信息，可用來計算各類可靠性指標[9]。設結構的性能分布用UGF表示為

(5)

則依據(jù)該UGF的概率項進行條件求和，得到結構可靠度

(6)

其中，M為結構UGF的離散狀態(tài)組合總數(shù)，可考慮對性能值接近的狀態(tài)組合進行同類項合并，且通常M≤mn；ψ(·)為條件求和算子；I(·)為示性函數(shù)，當其自變量大于0時取1，否則取0。

由式(6)可知，基于UGF的可靠度計算原理是，對各隨機變量離散狀態(tài)組合進行條件枚舉。借助UGF復合算子內稟的普適性、遞推性、可分性、互換性等優(yōu)異特性[9]，該方法適用于任意分布的隨機變量，以及任意形態(tài)的功能函數(shù)。

1.3 連續(xù)型隨機變量的非均勻離散化

UGF法已在多狀態(tài)系統(tǒng)分析中得到成功應用，因存在組合爆炸的壁壘，因此在連續(xù)狀態(tài)結構系統(tǒng)分析中的應用受限。對于連續(xù)狀態(tài)的結構系統(tǒng)，通過低密度離散化將連續(xù)型變量描述為UGF往往達不到預期精度，高密度離散化將在后繼復合運算中消耗較高計算成本，甚至導致組合爆炸，而借助同類項合并的增效技術在較多場合下無效。因此，本文針對結構RBDO問題，對隨機變量進行非均勻離散化，在減少離散狀態(tài)組合數(shù)的情況下保證可靠度指標的求解精度。

非均勻離散化的基本思路是當給定的離散狀態(tài)數(shù)m因計算成本原因而限定為較小值時，選擇結構RBDO當前迭代步的最大概然失效點(most probable failure point, MPP)為敏感點SMPP。以該點為中心，依照等比級數(shù)對各隨機變量進行敏感點密集、邊緣點稀疏的離散化，使SMPP鄰域內的離散點密集化，以保證極限狀態(tài)敏感區(qū)的概率分析精度。隨機變量Si在敏感區(qū)可實現(xiàn)的最小離散步長為

(7)

式中，simax、simin分別為Si的最小值和最大值；SMPP(i)為SMPP的第i個分量；q為等比級數(shù)的公比，通常取1

這里的SMPP為極限狀態(tài)超曲面上距離隨機空間的均值點μS最近的點，通過求解下面的數(shù)學模型可得敏感點SMPP：

(8)

2 基于UGF的RBDO方法

RBDO求解的代表性數(shù)學模型為

(9)

2.1 指標函數(shù)的響應面模型

分析RBDO數(shù)學模型不難發(fā)現(xiàn)，不確定性功能函數(shù)Gq(d,X,P)與設計點D密切相關，每個迭代步的可靠性分析均基于當前設計點Dk。因此，Dk和該點對應的當前可靠度指標βk之間存在如下映射關系：

Dk→βk

(10)

確定指標函數(shù)的響應面模型時，可選用不含交叉項的一次和二次響應面，這兩種響應面模型結構簡單、運算量小且精度滿足求解要求，各自表達式分別為

(11)

(12)

式中，nd為設計變量的個數(shù)；Dk,i為設計點Dk第i個分量；a、bi、ci為待定系數(shù)。

初始響應面的構建依賴于初始設計點D0鄰域的N對輸入輸出數(shù)據(jù)：

B0=[D0,1D0,2…D0,N]
β0=(β0,1,β0,2, …,β0,N)

式中，B0為初始迭代步的響應面輸入數(shù)據(jù)矩陣；D0,i為D0鄰域的第i個試驗點向量；β0為初始迭代步的響應面輸出數(shù)據(jù)向量；β0,i為對應輸入數(shù)據(jù)的第i個可靠度指標值。

對于一次響應面模型和二次響應面模型，N=2nd+1。

首先，確定初始設計點D0與初始迭代步的響應面輸入數(shù)據(jù)矩陣B0。具體做法是：通過等距抽樣在設計空間中生成若干點樣本，對這些樣本進行約束函數(shù)評估，選定位于可行域且目標函數(shù)值較小的點為初始設計點D0。以此為中心，通過下列規(guī)則確定B0中的試驗點向量：

(13)

其中，α為調節(jié)系數(shù)，可取0.05～1。θ(t)(t=1,2,…,n)為擴展向量，其分量若與確定性設計變量相對應，則取值為初始設計點到該分量定義域最近邊界的距離；其分量若與不確定性設計變量相對應，則取值為相應隨機變量的標準差。

(14)

式中，βT為許用可靠度指標。

2.2 指標函數(shù)響應面的動態(tài)更新

圖1 基于UGF的RBDO算法流程

3 算例分析

為比較不同算法的求解精度，計算最優(yōu)點處可靠度指標的相對誤差：

(15)

式中，βMCS為在不同算法最優(yōu)點處采用Monte Carlo模擬求得的可靠度指標。

3.1 算例1

本例為通用數(shù)值算例[14]，涉及2個確定性設計變量d1、d2和2個隨機參數(shù)X1、X2，且功能函數(shù)為非線性。RBDO數(shù)學模型為

(16)

其中，X1、X2均服從正態(tài)分布，其均值μ1、μ2分別為5和3，標準差σ1、σ2分別為1.5和0.9；許用可靠度指標βT=2.32；隨機參數(shù)的離散狀態(tài)數(shù)取30。

根據(jù)式(11)構建迭代開始時的響應面和迭代收斂時的響應面，如圖2所示。不同算法的目標函數(shù)值迭代過程如圖3所示，優(yōu)化結果見表1，其中，N為功能函數(shù)調用次數(shù)；算法1為基于FORM的雙循環(huán)法；算法2為SORA法；算法3為本文所提方法，其可靠性分析環(huán)節(jié)由UGF法完成；算法4為本文所提方法的變形，其可靠性分析環(huán)節(jié)由MCS法完成。

(a)迭代開始時響應面

圖3 不同算法目標函數(shù)迭代過程

由表1可以看出，所提算法與傳統(tǒng)算法均可收斂到最優(yōu)解。算法3的精度高于傳統(tǒng)方法(算法1和算法2)，算法4的精度更高，但對功能函數(shù)的調用過多(5×106次)。因此，與傳統(tǒng)方法相比，算法3在計算成本可控的條件下獲得了更高精度，算法可行。值得一提的是，本例中的隨機變量均為正態(tài)變量，所以傳統(tǒng)算法也能有效實施并獲得一定精度。

表1 不同RBDO算法的算例1優(yōu)化結果

3.2 算例2

本算例涉及設計隨機變量X3和X4，其中，X3服從標準差為0.6的正態(tài)分布，X4服從標準差為0.6的均勻分布，兩設計隨機變量的均值μ3和μ4為不確定性設計變量。RBDO數(shù)學模型為

(17)

其中，許用可靠度指標βT=2。設計隨機變量的離散狀態(tài)數(shù)取30，不同算法的優(yōu)化結果見表2。

由表2數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，優(yōu)化求解問題含高度非正態(tài)(如均勻分布)的隨機變量時，若采用矩法完成可靠性分析，則當量正態(tài)化處理極易導致顯著誤差[15]，因此算法1、算法2均無法收斂到最優(yōu)解，方法失效。算法3和算法4均可收斂到最優(yōu)點，且精度較高。兼顧求解效率，算法3最優(yōu)，解決了傳統(tǒng)算法對高度非正態(tài)隨機變量無法求解的普遍難題。

表2 算例2不同RBDO算法優(yōu)化結果

3.3 算例3

短梁結構如圖4所示。矩形截面的高為h、寬為b，自由端受到雙軸彎矩M1、M2和軸向力F作用，材料的屈服強度為Y。

圖4 短梁結構示意圖

確定性設計變量d=(b,h)，隨機參數(shù)P=(M1,M2,F,Y)。各隨機參數(shù)相互獨立，其中，M1、M2、Y服從正態(tài)分布，F(xiàn)服從均勻分布，各自統(tǒng)計信息見表3。該結構RBDO的數(shù)學模型為

表3 隨機參數(shù)統(tǒng)計信息

(18)

其中，許用可靠度指標βT=3，隨機參數(shù)的離散狀態(tài)數(shù)取10，不同算法的優(yōu)化結果見表4。

分析表4數(shù)據(jù)可知，RBDO問題中的隨機變量增多且存在非正態(tài)(如均勻分布)隨機變量時，算法1可以收斂，但在最優(yōu)解處的可靠度不滿足概率約束的要求，求解精度極低；算法2無法收斂，方法失效；算法3以較高精度收斂到最優(yōu)解。算法3為抑制多變量UGF復合運算引發(fā)的組合爆炸，將隨機變量的離散狀態(tài)數(shù)減為10，但由于算法采用了非均勻離散化技術，故仍可保證較高的求解精度。

表4 不同RBDO算法的算例3優(yōu)化結果

3.4 算例4

本算例對單級齒輪傳動減速箱的局部結構進行可靠性優(yōu)化設計，要求在滿足齒輪強度可靠度R≥0.99的條件下結構總質量最小。已知傳動比為3.2，指定齒寬系數(shù)d1、模數(shù)d2、主動輪齒數(shù)d3、主動軸的最小直徑d4、從動軸的最小直徑d5為確定性設計變量。齒輪傳動的輸入轉矩T服從均值為108.8 N·m、標準差為8.704 N·m的均勻分布；齒輪的彎曲疲勞強度極限σF,lim服從均值380 MPa、標準差30.4 MPa的對數(shù)正態(tài)分布；齒輪的接觸疲勞強度極限σH,lim服從均值500 MPa、標準差44 MPa的對數(shù)正態(tài)分布。該優(yōu)化問題的數(shù)學模型為

(19)

其中，確定性設計變量d=(d1,d2,d3,d4,d5)，隨機參數(shù)P=(T,σF,lim,σH,lim)，許用可靠度指標βT=2.33，隨機參數(shù)的離散狀態(tài)數(shù)取20，不同算法的優(yōu)化結果見表5。

表5 不同RBDO算法的算例4優(yōu)化結果

由表5所示的優(yōu)化結果可知，由于隨機變量為均勻分布和對數(shù)正態(tài)分布，且同時存在2個概率約束，因此算法1、算法2均無法得到收斂解而失效，算法3可較好地收斂到最優(yōu)解。與算法4相比，算法3的求解精度滿足工程需求并具有更高的求解效率。

4 結論

(1)針對通常的結構RBDO，本文方法比傳統(tǒng)方法具有更高的求解精度和可控的計算效率。

(2)RBDO問題涉及非正態(tài)隨機變量、高度非線性功能函數(shù)時，傳統(tǒng)方法存在求解精度低或無法收斂的劣勢；本文方法的可靠性分析由UGF法完成，不受隨機變量非正態(tài)、功能函數(shù)高度非線性的影響，具有較高的魯棒性。

(3)RBDO問題存在高維隨機空間時，所提方法可借助非均勻離散化技術，在保持隨機變量離散狀態(tài)數(shù)不變的條件下，提高了優(yōu)化求解的精度。