GPS基線投影變形和基線邊檢查的研究

趙健

河北中核巖土工程有限責(zé)任公司測繪地理信息事業(yè)部 河北石家莊 050000

當(dāng)前CGCS2000大地坐標(biāo)系統(tǒng)成為官方要求使用的唯一國家標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系統(tǒng)。在平面坐標(biāo)系統(tǒng)方面，我國大比例尺地形圖均要求采用高斯投影，GPS基線元素經(jīng)兩次空間轉(zhuǎn)換投影到高斯平面上，其投影產(chǎn)生的變形問題無法避免，投影變形的大小直接關(guān)系到GPS控制網(wǎng)的整體精度。當(dāng)GPS控制網(wǎng)完成平差及精度評定后在對可通視的GPS基線邊長進(jìn)行檢查時，觀測邊長本身的精度也是衡量GPS基線邊長精度的主要因素，因此成功的解決投影變形問題及GPS靜態(tài)邊長檢查問題，是評定GPS控制網(wǎng)精度的最關(guān)鍵的兩個因素。下面就這兩種因素作具體研究說明。

1 因素研究說明

1.1 投影變形

1.1.1 投影變形概念

在實際工程應(yīng)用中，無論地形圖的測設(shè)還是施工圖的設(shè)計均是建立在平面直角坐標(biāo)的基礎(chǔ)上。當(dāng)橢球面上的點位以平面直角坐標(biāo)表示時，必不可少的步驟便是投影，由于橢球面是一個凸起的不可直接伸展成平面的曲面，如果將曲面上的元素投影到平面上，必然同原來的距離、方向、角度及圖形產(chǎn)生差異，因此無論采用何種投影方法，投影變形一定存在。

我國大比例尺地形圖一般采用高斯投影。高斯投影的最主要特點是中央子午線上無投影變形，除中央子午線外其他長度變形均大于0。高斯投影模型見圖1[1]。

圖1 高斯投影模型

1.1.2 投影變形元素

要將橢球體上元素投影到平面上，包括坐標(biāo)、方向和長度三類問題。當(dāng)橢球面與平面對應(yīng)點間的坐標(biāo)關(guān)系已經(jīng)確定后，相應(yīng)地，方向和長度的投影關(guān)系也即確定。

（1）坐標(biāo)元素（高斯正反算）。推求高斯投影坐標(biāo)關(guān)系式，是整個投影過程的主要問題。高斯投影坐標(biāo)分為正算和反算。正算為由L、B求x、y，反算為由x、y推求L、B。正、反算公式分別如下：

①正算公式：

上式中，x、y為正算平面坐標(biāo)，B、L為緯度、經(jīng)度，l為經(jīng)差。

②反算公式：

上式中，B、L為緯度、經(jīng)度，Bf為垂足緯度。

高斯正反算解釋如下：

①正算公式：

正算為已知B、L，求x、y。由于l值不大，因此公式可展開為l的冪級數(shù)，并以已知緯度B的函數(shù)m作為及系數(shù)，公式結(jié)果是：

當(dāng)l=0時，x=X

②反算公式：

反算為已知x、y求L、B。由于y值不大，因此公式可展開為y的冪級數(shù)。此時緯度B是要求的，但某點的垂足緯度Bf是已知的，因此公式中的各系數(shù)是Bf的函數(shù)，結(jié)果是：

通過對正算、反算公式分析，可知如下特點：①當(dāng)l為常數(shù)時，隨著B的增加x值增大，y值減??；又因cos（-B）=cos（B），所以無論B值為正還是為負(fù)，y值不變。意思即為，橢球面上除中央子午線外，其他子午線投影后，均向中央子午線彎曲，并向兩級收斂，同時對稱于中央子午線和赤道[2]。②當(dāng)B為常數(shù)時，隨著l的增加，x和y值都變大。所以在橢球面上對稱于赤道，投影后仍成為對稱的曲線，同時與子午線的投影曲線互相垂直凹向兩級。③距離中央子午線越遠(yuǎn)的子午線，投影后彎曲越厲害，長度變形越大。以上便可以證明高斯投影最重要的特點，即中央子午線上無投影變形，除中央子午線外其他長度變形均大于0，且距離中央子午線越遠(yuǎn)變形越大。引用參考文獻(xiàn)[1]

（2）方向、邊長元素.橢球面元素歸算到高斯平面直角坐標(biāo)系會產(chǎn)生方向變形和長度變形。球面三角形經(jīng)過正形投影后，形狀保持了相似性，邊長為曲線。橢球面三角形歸算到高斯平面直角坐標(biāo)系要經(jīng)過以下過程：

①角度歸化。地面觀測的方向值歸算到橢球面。歸算過程中需經(jīng)過垂線偏差改正、標(biāo)高差改正及截面差改正，即為三差改正。此項改正在一等、二等大地測量中需加以改正，在工程測量中由于控制網(wǎng)精度相較于大地測量較低，基本均為三、四等控制測量，無需改正。

②距離歸化。地面觀測的距離歸算到橢球面。假設(shè)平均水準(zhǔn)面與橢球面平行，高程會對橢球面長度歸算帶來影響。地面邊長（S0+ΔS）與橢球面越遠(yuǎn)，即大地高Hm越大，歸化到橢球面的邊長S變得越短。

圖2 距離歸化到橢球面

式中ΔS1-平均水準(zhǔn)面長度歸化到橢球面所加的改正；

Hm-邊長兩端大地高平均值；

S-橢球面邊長；

R-當(dāng)?shù)貦E球面平均曲率半徑。

③經(jīng)高斯正算，把橢球面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到平面坐標(biāo)，再用高斯反算檢核。

④兩點間大地線歸算到平面直線，球面三角形內(nèi)角歸化到高斯平面三角形內(nèi)角，經(jīng)過曲率改化（方向改化）計算和子午線收斂角計算。

⑤橢球大地線數(shù)據(jù)歸化到高斯平面所加的改正[3]。

因高斯投影面上除了中央子午線外長度比都大于1，故橢球邊長（大地線）歸化到高斯平面所加的改正與邊長距離中央子午線的遠(yuǎn)近相關(guān)，從橢球面歸化到高斯平面的邊長變長。以下為投影變形改正公式：

式中ΔS2-橢球面歸化到高斯平面所加的改正；

ym-投影邊兩端y坐標(biāo)平均值；

S-橢球面邊長；

R-當(dāng)?shù)貦E球面曲率半徑。

⑥地面測量的邊長改化到高斯平面上的近似改正數(shù)為ΔS=ΔS1+ΔS2。

1.1.3 抵償投影變形

根據(jù)《工程測量規(guī)范》GB50026-2007中第3章平面控制測量第3.1.4節(jié)規(guī)定，測區(qū)內(nèi)投影長度變形不應(yīng)大于2.5cm/km，因此在GPS控制網(wǎng)施測中，首先便要根據(jù)投影變形是否符合規(guī)范要求來解決投影變形問題。下面根據(jù)某高速公路隧道控制網(wǎng)實際工程案例予以說明。

（1）控制網(wǎng)網(wǎng)型。

（2）控制點情況。平面坐標(biāo)系統(tǒng)為2000國家坐標(biāo)系，高斯平面直角坐標(biāo)系3°帶，中央子午線為117°，高程系統(tǒng)為1985國家高程基準(zhǔn)。

（3）投影變形值。以II13-II14、II15-I049兩條通視已知起算邊為例說明。如果采用國家標(biāo)準(zhǔn)3°帶投影，在中央子午線為117°前提下，根據(jù)公式（1）、（2）計算可得投影變形值，具體見表1。注意：本案例中點位緯度約為北緯40°左右，故取曲率半徑R為6375km。由表1知，當(dāng)邊長歸化到參考橢球面上時投影變形超過2.5cm/km，投影到高斯平面上時投影變形超過規(guī)范規(guī)定2.5cm/km的要求，綜合投影變形ΔS亦超過2.5cm/km的規(guī)定，無法滿足規(guī)范要求。因此按照標(biāo)準(zhǔn)3°帶投影將中央子午線設(shè)置為117°無法實現(xiàn)精度要求[4]。

表1 投影變形值計算

（4）抵償投影變形措施。理論上抵償投影變形措施為移動中央子午線及改變高程投影面。下面分步解決。

①移動中央子午線。測區(qū)經(jīng)度平均值約為115°32’，為使測區(qū)邊長變形最小，理論上應(yīng)設(shè)置中央子午線為115°32’。但因該隧道為東西方向，距離較長，施工單位為兩家單位對向施工，最后將在隧道中部實現(xiàn)貫通，為使隧道在貫通面上邊長變形最小，同時結(jié)合該整段線路控制測量資料，通過綜合分析，選擇中央子午線為115°40′。通過坐標(biāo)換帶計算可得各控制點在中央子午線為115°40′時的平面坐標(biāo)，通過公式（2）可求得ΔS2，具體見表2。

由表2可知，當(dāng)中央子午線移動到115°40′后，高斯投影變形值ΔS2明顯小于2.5cm/km，由于地表邊長歸化到參考橢球上ΔS1變量中只涉及Hm，所以在移動中央子午線后該值并未發(fā)生變化，綜合變形值遠(yuǎn)大于2.5cm/km要求，因此只移動中央子午線不能規(guī)范要求。

表2 投影變形值計算

②選擇抵償面。當(dāng)邊長規(guī)劃到參考橢球面上變形值不符合規(guī)范要求時，要選擇合適的高程抵償面來消除長度變形誤差，為確保ΔS1+ΔS2盡量最小，在ΔS2已知的情況下需確保ΔS1盡量最小。

H0=Ym2/2RmH=H0+Hm

Ym2=（ymax2+ymin2）/2-（測區(qū)位于中央子午線一側(cè)）

Ym2=max{|ymax2|，ymin2}/2-（測區(qū)橫跨中央子午線）（3）

式中H0-測區(qū)平均高程面（Hm）高出抵償高程面的高度；

H-測區(qū)抵償面高程；

ymax、ymin-測區(qū)內(nèi)距離中央子午線的最大、最小距離；

Rm-當(dāng)?shù)貦E球面曲率半徑；

測區(qū)平均高程已知為1428.581m，Ym需根據(jù)測區(qū)范圍確定，ymax為12195.721m，ymin為8971.259m，經(jīng)公式（3）計算，抵償面高出平均高程面的值為8.989m，則有抵償面高程值為1437.57m。再通過公式1計算此時ΔS1，則有表3。由表3可知，在1437.57m的高程抵償面上，兩條邊的變形值均遠(yuǎn)小于2.5cm/km的規(guī)定。由于測區(qū)平均高程與抵償面高程相差不多，當(dāng)?shù)謨斆孢x擇平均高程面1428.581m時，得到的ΔS1見表4。

表3 抵償面變形值計算

表4 平均高程面變形值計算

由表4可知，在平均高程面上，邊長變形值同選擇的高程抵償面相差極小，因此在工程測量實際應(yīng)用中，選取測區(qū)平均高程面即可滿足每千米投影變形值不大于2.5cm的要求。

通過以上案例分析可知，為使邊長經(jīng)參考橢球面改化及高斯投影過程中的投影變形值趨于最小，可以采用移動中央子午線及選擇抵償高程面的方式予以減小或消除。尤其是在高海拔地區(qū)，平均高程較大，如果在靜態(tài)平差過程中投影面選擇不準(zhǔn)確，將給投影變形帶來很大影響。

1.2 GPS基線邊長檢驗

1.2.1 GPS基線邊長檢驗方式

通常情況下，當(dāng)GPS控制網(wǎng)施測完成后，應(yīng)對通視邊邊長進(jìn)行檢核。邊長檢核一般選用激光測距儀，目前實際操作中均為全站儀。

1.2.2 影響全站儀邊長測距精度因素

當(dāng)使用全站儀對GPS邊長進(jìn)行檢查時，影響全站儀測邊精度的因素較多，包括測量時間、測站和觀測目標(biāo)周邊環(huán)境、大氣折光影響、加乘常數(shù)和棱鏡常數(shù)改正及氣象因素，其中最主要的因素為氣象因素。工程測量規(guī)范《GB50026-2007》規(guī)定，測距應(yīng)對儀器進(jìn)行氣象改正。測量時間、周邊環(huán)境、大氣折光等因素在選擇合適的觀測條件時即可削弱其帶來的影響，加乘常數(shù)可以通過經(jīng)鑒定的全站儀鑒定報告正確設(shè)置。棱鏡常數(shù)為常量，通過正確的設(shè)置即可。以上因素本文不作詳述，下面就影響最大的氣象改正對邊長的影響做具體說明。

1.2.3 全站儀氣象改正對測邊的影響

全站儀氣象改正包括氣壓、溫度改正。下面就兩者對測邊精度的影響予以分項說明。

（1）氣壓改正。全站儀在測站開展測邊之前應(yīng)將測站當(dāng)前氣壓值輸入全站儀。由儀器根據(jù)輸入氣壓值完成當(dāng)前測站的氣壓改正。下面以某高速隧道控制網(wǎng)為例說明。

圖3中，II13-II14、I049-II15為已知邊，通過全站儀在設(shè)置溫度相同氣壓不同情況下檢查的邊長值見表5。

圖3 控制網(wǎng)網(wǎng)型

通過表5可以大致判斷，氣壓對全站儀邊長影響較大。去掉控制點坐標(biāo)誤差、儀器及棱鏡對中誤差、溫度誤差，由氣壓本身帶來的誤差大致為0.3mm/km每1hpa。測得的邊長隨著氣壓的增大而減小。因此在GPS邊長檢查中和日常施工測量中，正確設(shè)置氣壓值尤為重要，尤其是高海拔地區(qū)，需嚴(yán)格按照氣壓表數(shù)據(jù)正確改正。

表5 同溫度不同壓強邊長檢查值

（2）溫度改正。全站儀在測站開展測邊之前應(yīng)將測站當(dāng)前溫度值輸入全站儀。由儀器根據(jù)輸入溫度值完成當(dāng)前測站的溫度改正。在輸入正確的氣溫值之前需將全站儀靜置在測站溫度環(huán)境下至少30分鐘，盡量避免陽光直射，待儀器內(nèi)部各機械及電子元器件同當(dāng)前環(huán)境下溫度相統(tǒng)一后再行觀測。下面仍以某高速隧道控制網(wǎng)為例說明。

圖3中，II13-II14、I049-II15為已知邊，通過全站儀在設(shè)置相同壓強不同溫度下檢查的邊長值見表6。

表6 同壓強不同溫度邊長檢查值

通過表6可以大致判斷，溫度改正對全站儀測量邊長影響相較于氣壓改正較小。去掉控制點坐標(biāo)誤差、儀器及棱鏡對中誤差、氣壓誤差，由溫度本身帶來的誤差大致為1mm/km每1℃。測得的邊長隨著溫度的增大而增大。

由以上可知，在使用全站儀檢查GPS邊長時尤其是高海拔地區(qū)必須正確使用氣壓計、溫度計對氣壓及溫度進(jìn)行精確改正，尤其是長度超過1km的邊長。

2 結(jié)語

通過第1章中對所列因素影響及解決措施進(jìn)行分析，得出以下結(jié)論。

2.1 GPS投影變形

控制網(wǎng)施測前應(yīng)分析測區(qū)各控制點東坐標(biāo)所在位置，也即各控制點距離中央子午線長度范圍，將中央子午線移動至測區(qū)卯酉圈（東西）方向上大致中央的位置，同時分析測區(qū)大地高分布范圍，確定合適的抵償投影面，一般設(shè)置測區(qū)平均高程面即可。

2.2 全站儀邊長檢查

全站儀測距之前，務(wù)必將測區(qū)測站位置的溫度值及壓強值正確輸入全站儀，確保氣象改正正確，使全站儀測距誤差降到最低，確保對GPS基線邊長的檢驗值正確有效，充分辨識GPS基線邊長測距的精度。