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    特殊高階函數(shù)的構(gòu)造方法及相關(guān)性質(zhì)證明

    2021-06-29 13:55:22孟宜成
    關(guān)鍵詞:赫爾德構(gòu)造方法級(jí)數(shù)

    孟宜成

    (淮南師范學(xué)院 金融與數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽 淮南 232001)

    0 引言

    作為數(shù)學(xué)分析研究的主要對(duì)象,函數(shù)性質(zhì)一直是數(shù)學(xué)研究者所重點(diǎn)關(guān)注的問(wèn)題.特殊函數(shù)的性質(zhì)因其具有一定的特殊性,在理解、接受上具有較大難度[1].因此,對(duì)于特殊函數(shù)性質(zhì)能夠構(gòu)造出具有相關(guān)性質(zhì)的函數(shù),對(duì)這類函數(shù)的理解具有很大幫助.隨著級(jí)數(shù)理論的發(fā)展,很多學(xué)者借助函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)來(lái)表示更廣泛且具有特殊性質(zhì)的函數(shù)類[2-3].還有學(xué)者利用處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)函數(shù)的構(gòu)造,來(lái)提高人們對(duì)特殊函數(shù)性質(zhì)的認(rèn)識(shí)[4-5].研究者發(fā)現(xiàn)盡管收斂函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中的任意一項(xiàng)均可微或連續(xù),但其所表征的和函數(shù)也可能是不可微或不連續(xù)的[6].因此,本文以上述主流研究成果為基礎(chǔ),利用正、余弦2種三角函數(shù)的自相似性,完成了3種特殊高階函數(shù)的構(gòu)造,同時(shí)對(duì)其函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行了驗(yàn)證.

    1 處處連續(xù)而處處不可微函數(shù)

    自從魏爾施特拉斯成功構(gòu)造出處處連續(xù)而處處不可導(dǎo)的函數(shù),自相似性概念被逐漸引入到三角函數(shù)的相關(guān)分析中,以此為基礎(chǔ),對(duì)魏爾施特拉斯的函數(shù)構(gòu)造方法進(jìn)行延伸和擴(kuò)展,即能實(shí)現(xiàn)處處連續(xù)而處處不可微函數(shù)的構(gòu)造.

    定理1根據(jù)魏爾施特拉斯函數(shù)構(gòu)造理論,假定存在1個(gè)和函數(shù),即

    證明因?yàn)閨bncosanπx|≤bn同時(shí)b∈(0,1),所以w(x)∈Cb(Rl)(函數(shù)在Rl上有界且連續(xù)),其連續(xù)性是一致的.

    對(duì)于下式

    按照微分中值定理,存在1個(gè)θn使下式成立,即

    |cosan(x+h)π-cosanzπ|=

    |anπhsinanπ(x+θh)|≤anπ|h|.

    繼而能夠推導(dǎo)出

    am(x+hm)=amx+amhm=1+am.

    在n≥m的情況下,有

    anπ(x+hm)=an-mπam(x+hm)=an-mπ(1+am).

    由于a為正奇整數(shù),則

    cos(anπ(x+hm))=cos(an-mπ(1+am))=

    (-1)1- am.

    同時(shí)

    cos(anπx)=cos(an-mπamx)=

    (-1)amcos(an-mπβm).

    因而可得

    由此可推導(dǎo)出

    所以下式成立,即

    由此即能證明函數(shù)w(x)在x處是不可微的.

    推而廣之,可作以下結(jié)論.

    定理2假設(shè)存在1個(gè)函數(shù),即

    證明v(x)是明顯的處處連續(xù)的函數(shù).

    對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,由于函數(shù)v(x)的差分,有

    所以以下關(guān)系成立,即

    假定1個(gè)函數(shù)amx=am+βm,其中am為任意1個(gè)整數(shù),βm∈[-1/2,1/2],設(shè)

    在n≥m的情況下,有

    同時(shí)

    因而可得

    |Km|=

    所以有

    在m→∞同時(shí)hm→0的條件下,函數(shù)v(x)在x處是不可微的.

    若將函數(shù)v(x)表示為正弦級(jí)數(shù),即

    (1)

    則也可作出如下結(jié)論.

    證明對(duì)于任意的x∈R,由于函數(shù)v(x)的差分,有

    Am+Am-1+Am+1.

    (2)

    設(shè)amx=am+βm,其中βm∈[-1/2,1/2],

    (3)

    在此條件下,有

    (4)

    可見(jiàn)式(3)所示的關(guān)系依然成立.

    所以有

    在n≥m的情況下,有

    因此下式成立,即

    也就是

    在m→∞同時(shí)hm→0的條件下,函數(shù)v(x)是處處是不可微的.

    通過(guò)實(shí)例可以證明必然存在符合定理3的函數(shù)v(x).

    證明按照特定算法進(jìn)行計(jì)算之后可得

    則有

    (a+3+π)2-12a-12aπ>0.

    2 處處連續(xù)而處處非赫爾德連續(xù)函數(shù)

    定理4的證明過(guò)程與定理3相近,其結(jié)論成立.

    通過(guò)以下實(shí)例可證明必然存在符合定理4的函數(shù)v(x).

    例2對(duì)于實(shí)數(shù)b∈[ 1/4,1/2],假定存在1個(gè)正弦函數(shù),即

    (5)

    v(x)∈Cb(Rl),但對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)s,函數(shù)v(x)處處都是非Cs的.

    證明對(duì)于任意1個(gè)x值,v(x)的增量為

    按定理3的方式確定hm,那么以下各關(guān)系式成立,即

    |Tm≥bm|,

    因此,對(duì)于任意的b∈[ 1/4,1/2],有

    所以對(duì)于1個(gè)任意的正數(shù)s>0,函數(shù)v(x)處處都是非Cs的.

    3 處處赫爾德連續(xù)而不更高階連續(xù)函數(shù)

    例3假定a為正數(shù),b∈(0,1),對(duì)于1個(gè)任意的正數(shù)s>0,存在函數(shù)U(x),其表達(dá)式為

    (6)

    該函數(shù)處處Ca赫爾德連續(xù)但不更高階Ca+s連續(xù).

    證明正弦函數(shù)sinx的Ca模特征為

    所以有

    由此可說(shuō)明U(x)∈Cb(Rl).

    根據(jù)例2中的證明方法,以下關(guān)系式成立,即

    因此可得

    進(jìn)而能夠證明,對(duì)于1個(gè)任意的正數(shù)s>0,函數(shù)U(x)處處赫爾德連續(xù)但不更高階連續(xù).

    4 自相似性方法的應(yīng)用

    正、余弦函數(shù)共同具備的周期性特征形成了這2種三角函數(shù)的自相似性.即按照以下方式便能對(duì)函數(shù)中的相關(guān)項(xiàng)進(jìn)行預(yù)估或計(jì)算,從而證明相應(yīng)的結(jié)論.

    1) 對(duì)于余弦函數(shù)的傅里葉項(xiàng)級(jí)數(shù),在m≤n的條件下,設(shè)定an/am為正奇數(shù),則

    由上式可見(jiàn),計(jì)算結(jié)果與n無(wú)關(guān),因此在m≤n的條件下,

    |cosπan(x+hm)-cosπanx|=1+

    此外,

    |sinπam(x+hm)-sinπamx|=1+sin|βm|π≥1.

    由此可直接估算|Am|且在m≤n的條件下,通過(guò)下式

    可直接估算出余項(xiàng)|Am+1|.

    3) 對(duì)于任意形式的三角函數(shù),其中的bm↓0且趨近速度極快,同時(shí)由于ambm↑+∞,因而am↑+∞的趨近速度也是極快的.在對(duì)am和bm的具體數(shù)值進(jìn)行選擇時(shí),需要同時(shí)控制余項(xiàng)|Am-1|和|Am+1|,以此來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算或估計(jì)的過(guò)程.

    對(duì)于通過(guò)函數(shù)周期性所形成的自相似性,現(xiàn)有的研究成果中包含了一定數(shù)量的實(shí)例.

    依據(jù)本文所提出的方法可對(duì)例4和例5進(jìn)行證明,只要對(duì)hm進(jìn)行適當(dāng)?shù)娜≈?,使下式成立,?/p>

    5 結(jié)語(yǔ)

    魏爾施特拉斯對(duì)處處不可導(dǎo)函數(shù)的構(gòu)造方法打開(kāi)了特殊高階函數(shù)的構(gòu)造思路,本文依次構(gòu)造了處處連續(xù)而處處不可微函數(shù)、處處連續(xù)而處處非赫爾德連續(xù)函數(shù)、處處赫爾德連續(xù)而不更高階連續(xù)函數(shù),證明了對(duì)于收斂的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),即使所有項(xiàng)均為連續(xù)或可微的,由其構(gòu)成的和函數(shù)也不一定是連續(xù)或可微的.同時(shí)通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了函數(shù)的自相似性.對(duì)于特殊高階函數(shù)的相關(guān)研究,本文所提出的構(gòu)造方法具有很高的參考價(jià)值.在本次研究過(guò)程中,多次運(yùn)用了傅里葉級(jí)數(shù)的局部處理方法,在今后的研究中將更注重探索解決整體問(wèn)題的方法.

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