3-RHUR/PUS+PP混聯(lián)機器人構(gòu)型與性能分析

田 昕 趙鐵石 王 唱 李二偉 盛 煜

(1.燕山大學(xué)河北省并聯(lián)機器人與機電系統(tǒng)實驗室， 秦皇島 066004；2.燕山大學(xué)先進鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點實驗室， 秦皇島 066004)

0 引言

與串聯(lián)機構(gòu)相比，并聯(lián)機構(gòu)具有結(jié)構(gòu)緊湊、剛度高、承載能力大等優(yōu)點，因此有關(guān)學(xué)者對此進行了廣泛研究[1-5]。但并聯(lián)機構(gòu)工作空間相對較小，串并混聯(lián)機構(gòu)可以結(jié)合串聯(lián)機構(gòu)和并聯(lián)機構(gòu)的優(yōu)點，更易滿足機器人工作空間和高剛度的綜合性能需求。Tricept系列[6-7]和Exechon系列[8]機器人以及TriVariant混聯(lián)機械手[9-10]等，通過采用兩轉(zhuǎn)一移三自由度并聯(lián)機構(gòu)串聯(lián)兩自由度擺頭的混聯(lián)形式，取得了良好效果。但由于工作空間小、雙擺頭結(jié)構(gòu)復(fù)雜和制造精度要求高等原因，影響了其推廣使用。采用并聯(lián)頭串聯(lián)移動導(dǎo)軌形式的混聯(lián)機器人，如搭載3-PRS 機構(gòu)的ECOSPEED系列混聯(lián)機器人[11-12]，其自身剛度更易保障，且易獲得導(dǎo)軌移動方向更大的工作空間。由于3-PRS 機構(gòu)工作空間與RS鉸鏈間連桿長度成正相關(guān)，影響了其大工作空間的剛度性能。TIAN等[13]提出了四自由度并聯(lián)頭串聯(lián)移動導(dǎo)軌的五自由度機器人構(gòu)型，但由于并聯(lián)機構(gòu)的限制，其Y方向移動量很小，只適用于該方向小范圍移動的情況。

在提升機器人綜合性能方面，LIU等[14-15]提出了運動/力傳遞性能指標(biāo)，并對3-PRS并聯(lián)機構(gòu)進行了優(yōu)化和尺寸設(shè)計。ZHANG等[16]采用遺傳算法對球形機構(gòu)的全局條件數(shù)和工作空間進行了優(yōu)化。ZHANG等[17]采用差分進化算法對3-UPU并聯(lián)機構(gòu)的剛度和可達工作空間進行了優(yōu)化。文獻[18]考慮機構(gòu)的動力學(xué)性能、速度性能和剛度性能，采用改進的加權(quán)求和法進行了多目標(biāo)優(yōu)化。文獻[19]根據(jù)工作空間與力傳遞效率性能指標(biāo)對五自由度混聯(lián)機器人R(2RPR)R/SP+RR進行了尺寸優(yōu)化。文獻[20]建立了2-PUR-PSR并聯(lián)機構(gòu)尺度綜合多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，并驗證了MPSO算法的有效性。

為進一步提升串并混聯(lián)機器人大行程剛度等綜合性能，本文提出一種帶隨動滑筒的3-RHUR/PUS并聯(lián)頭串聯(lián)XY雙導(dǎo)軌的混聯(lián)五自由度機器人構(gòu)型，對其位姿及運動學(xué)進行分析，研究混聯(lián)機器人的方向剛度，并采用OptLHS采樣與三次插值結(jié)合的算法對混聯(lián)機器人進行多目標(biāo)優(yōu)化。

1 五自由度混聯(lián)機器人

1.1 機器人構(gòu)型

本文提出的3-RHUR/PUS并聯(lián)頭串聯(lián)XY雙導(dǎo)軌機構(gòu)如圖1所示。

串聯(lián)雙導(dǎo)軌方向與并聯(lián)頭驅(qū)動H副軸線方向兩兩互相垂直。如圖2所示，并聯(lián)頭包含3條RHUR驅(qū)動分支和1條PUS隨動分支，其螺旋副(H副)和移動副(P副)平行固定于并聯(lián)頭基座，H副沿半徑為R的圓周均勻布置，由各分支第一轉(zhuǎn)動副(R副)驅(qū)動，P副過該圓中心。為了保證并聯(lián)頭大行程剛度，避免H副伸出桿大行程時對機器人性能的影響，該中間PUS隨動分支的P副設(shè)計為隨動滑筒結(jié)構(gòu)，為3條RHUR驅(qū)動分支的H副提供大行程移動支撐，從而解決了并聯(lián)頭剛度精度降低問題。H副通過萬向鉸(U副)連接長度為L的連桿，連桿另一端與并聯(lián)頭動平臺通過第二轉(zhuǎn)動副連接。隨動分支連桿通過U副和球副(S副)分別連接隨動分支P副和并聯(lián)頭動平臺。動平臺上3個第二轉(zhuǎn)動副沿圓周均布，半徑為r，S副位于該圓圓心。并聯(lián)頭連接及尺寸關(guān)系如圖3所示。

1.2 機器人自由度

據(jù)修正的G-K公式[21]計算3-RHUR/PUS空間機構(gòu)的自由度為

五自由度混聯(lián)機器人為并聯(lián)頭串聯(lián)雙移動導(dǎo)軌形成的3-RHUR/PUS+PP混聯(lián)機構(gòu)。該3-RHUR/PUS+PP機器人具有沿X、Y、Z軸移動和繞X、Y軸轉(zhuǎn)動自由度。

2 運動學(xué)與剛度

2.1 混聯(lián)機器人位置正反解

建立包含工件坐標(biāo)系{W}、混聯(lián)機器人基坐標(biāo)系{B}、并聯(lián)頭基坐標(biāo)系{F}以及并聯(lián)頭動平臺坐標(biāo)系{M}4個坐標(biāo)系的坐標(biāo)系系統(tǒng)，如圖1所示。其中，工件坐標(biāo)系{W}、基坐標(biāo)系{B}與定系{F}僅存在平移而無方位改變，其相對關(guān)系可表示為

并聯(lián)頭動平臺坐標(biāo)系稱動系{M}。坐標(biāo)系固定于并聯(lián)頭動平臺，原點M位于S副圓心，初始位置時，坐標(biāo)軸方向與工件坐標(biāo)系{W}、基坐標(biāo)系{B}、定系{F}均一致，其X軸始終過第一分支上平臺轉(zhuǎn)動鉸鏈點A1。

采用偏轉(zhuǎn)角θ和方位角φ對末端執(zhí)行器進行描述，可更清晰地表達其方向，令末端點到機器人方向為其正方向，其方向向量為

n=[sinθcosφsinθsinφcosθ]T

且θ∈[0°,90°]，φ∈[0°,360°]。

由于工件坐標(biāo)系{W}、基坐標(biāo)系{B}與定系{F}方位完全一致，3-RHUR/PUS三自由度并聯(lián)機構(gòu)的運動姿態(tài)在3個坐標(biāo)系中的表達相同。且動系{M}的Z軸方向向量與刀具方向向量相同，滿足nz=n。采用ZYZ歐拉角對動系{M}姿態(tài)進行描述，其旋轉(zhuǎn)變換矩陣為

假設(shè)末端點T在工件坐標(biāo)系{W}中的位姿參數(shù)為

T=(WTx，WTy，WTz，φ，θ)

其中，WT=[WTxWTyWTz]T為末端點T在工件坐標(biāo)系{W}中坐標(biāo)位置參數(shù)，由此易知末端點T在基坐標(biāo)系{B}中的坐標(biāo)為BT。令末端點T到動系{M}原點的距離為Lt，可得動系{M}原點在基坐標(biāo)系{B}的坐標(biāo)為BM，在定系{F}中的坐標(biāo)為FM。

第i分支U副繞H副軸線轉(zhuǎn)動角，即絲母被動轉(zhuǎn)動量

若H副節(jié)距為Pd，則并聯(lián)頭轉(zhuǎn)動驅(qū)動Ri為

根據(jù)連桿長度L恒定，并由轉(zhuǎn)動副運動特性知，連桿方向始終與分支第二轉(zhuǎn)動副軸線方向垂直，建立約束方程

FMx=BMx-Px
FMy=BMy-Py

同理，該混聯(lián)機器人由驅(qū)動到末端的正解位姿亦可求得，將5個驅(qū)動參數(shù)q=[R1R2R3PxPy]T作為輸入，由6個非線性約束方程組可解得T的5個末端參數(shù)及轉(zhuǎn)角ψ。

2.2 混聯(lián)機器人速度與加速度

末端點在工件坐標(biāo)系{W}的速度VT和加速度AT為包含角速度ωT=[ωTxωTyωTz]T、線速度vT=[vTxvTyvTz]T和角加速度εT=[εTxεTyεTz]T、線加速度aT=[aTxaTyaTz]T的六維速度矢量，且末端角速度ωT和角加速度εT與ZYZ歐拉角速度的關(guān)系為

式中sφ表示sinφ，cφ表示cosφ，sθ表示sinθ，cθ表示cosθ。

因此，末端在工件坐標(biāo)系{W}的旋量速度WVT和旋量加速度WAT為

其中

WωT=wTWvT=vT-wT×WT

WεT=εT
WaT=aT-ωT×WT-ωT×(ωT×WT)

在整個混聯(lián)機器人系統(tǒng)中，末端在工件坐標(biāo)系{W}和基坐標(biāo)系{B}的旋量速度WVT、BVT和旋量加速度WAT、BAT滿足

(1)

(2)

(3)

(4)

其中

式中BVTF——末端點相對于并聯(lián)頭定系{F}在基坐標(biāo)系{B}的旋量速度

FVTF、FATF——末端點相對于并聯(lián)頭定系{F}在定系{F}的旋量速度和旋量加速度

BVF、BAF——并聯(lián)頭相對機器人基坐標(biāo)系{B}在基坐標(biāo)系{B}的旋量速度和旋量加速度

在定系{F}中并聯(lián)頭各關(guān)節(jié)的運動螺旋表示為

第i(i=1,2,3)驅(qū)動分支各關(guān)節(jié)到末端的速度和加速度映射關(guān)系為

其中

其逆解為

(5)

(6)

其中

定系{F}相對于基坐標(biāo)系{B}的運動只有X和Y導(dǎo)軌的移動，并無轉(zhuǎn)動及沿Z方向的移動，因此并聯(lián)頭相對于基坐標(biāo)系{B}的旋量速度BVF和旋量加速度BAF為

(7)

其中BωF=[0 0 0]T

(8)

其中

求逆得

其中

綜上可得，串并混聯(lián)機器人正逆運動學(xué)映射關(guān)系為

其中

q=[R1R2R3PxPy]T=qH(1:3,5,6)

2.3 混聯(lián)機器人機構(gòu)剛度

對該混聯(lián)機器人而言，如連桿、關(guān)節(jié)連接件等相對于傳動及伺服系統(tǒng)的變形可忽略，因此著重研究混聯(lián)機器人的機構(gòu)剛度，即只考慮驅(qū)動關(guān)節(jié)的變形對機器人的影響。少自由度機構(gòu)在無自由度方向上無變形產(chǎn)生，該混聯(lián)機器人不具有繞Z軸的轉(zhuǎn)動，其繞Z方向的轉(zhuǎn)動剛度為無窮大，本文利用其柔度矩陣分析該機構(gòu)的方向剛度[23-25]。

令Kq=diag(kq1,kq2,kq3,kq4,kq5)，kqi為各驅(qū)動關(guān)節(jié)的剛度系數(shù)，則關(guān)節(jié)處變形與受力的關(guān)系為

τ=Kqdq

混聯(lián)機器人末端位移與受力之間的關(guān)系為

D=CFT

令機器人末端所受外力為δF=δFf，且f為方向向量，則在f方向上，混聯(lián)機器人剛度為

當(dāng)f=[0t]T時，可得混聯(lián)機器人移動的方向剛度，當(dāng)f=[r0]T時，可得混聯(lián)機器人轉(zhuǎn)動的方向剛度。

3 尺寸優(yōu)化

3.1 優(yōu)化指標(biāo)

(1)轉(zhuǎn)動能力指標(biāo)θm

該3-RHUR/PUS+PP混聯(lián)機器人工作空間約束條件主要包含各驅(qū)動器的行程及并聯(lián)頭各關(guān)節(jié)的運動限制。關(guān)節(jié)限制如圖5所示，上平臺與連桿夾角即向量PBiAi與向量PMAi的夾角α滿足α∈[20°,160°]，連桿與并聯(lián)頭Z方向即向量FPBiAi與[0 0 1]T夾角β滿足β>100°，上平臺轉(zhuǎn)動副R2與并聯(lián)頭Z方向夾角，即向量FR2i與[0 0 1]T夾角γ滿足γ∈[40°,140°]。

由于混聯(lián)機器人驅(qū)動均沿坐標(biāo)系方向，易知該機器人工作空間為長寬高為X、Y導(dǎo)軌與H副移動量的長方體空間與3-RHUR/PUS并聯(lián)頭產(chǎn)生伴隨移動的并集。除了H副處于極限位置及其附近時，并聯(lián)頭運動產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動和伴隨運動都一致?？紤]機器人的實際應(yīng)用需求，極限位置處產(chǎn)生的伴隨移動并不能滿足需求，其實際工作空間為長寬高為X、Y導(dǎo)軌與H副驅(qū)動移動量的長方體空間。

由于該構(gòu)型混聯(lián)機器人的轉(zhuǎn)動自由度全部由并聯(lián)頭決定，為實現(xiàn)機器人的五自由度工作，其轉(zhuǎn)動能力是優(yōu)化中需要重點考慮的因素。規(guī)定刀具方向(即動系{M}Z軸)與基坐標(biāo)系{B}Z軸方向的夾角為并聯(lián)頭偏轉(zhuǎn)角，以可以實現(xiàn)的最大偏轉(zhuǎn)角θ來衡量機器人的轉(zhuǎn)動能力。

θm為可實現(xiàn)繞Z軸360°轉(zhuǎn)動的最大偏轉(zhuǎn)角。

(2)力傳遞性能指標(biāo)Γ

為保證機器人在其工作范圍內(nèi)穩(wěn)定的力傳遞，建立并聯(lián)頭的全局力傳遞性能指標(biāo)，采用并聯(lián)機構(gòu)分支傳動角對全局力傳遞性能指標(biāo)進行分析。

并聯(lián)頭驅(qū)動三分支沿圓周均勻布置，其傳動角可表示為∠MAiBi(i=1,2,3)或其補角，如圖6所示。

為保證機器人在其工作范圍內(nèi)穩(wěn)定的力傳遞，建立機構(gòu)的全局力傳遞性能指標(biāo)為

χi=sinμi為局部力傳遞性能指標(biāo)，μi為3-HRUR/PUS并聯(lián)機構(gòu)單分支傳動角。且?！?0，1)，取值越大，機器人的力傳遞性能越好。

(3)速度性能指標(biāo)κ

選取速度雅可比矩陣的條件數(shù)在工作空間的全局值κ作為全局速度性能指標(biāo)計算式為

式中kmax、kmin——混聯(lián)機器人速度雅可比矩陣奇異值的最大值和最小值

κ∈[1，∞)，越接近于1，機器人的速度各向同性越好。

(4)剛度性能指標(biāo)σ

3.2 目標(biāo)函數(shù)

通過上述分析，利用線性加權(quán)組合法，對全局轉(zhuǎn)動能力指標(biāo)θm、全局力傳遞性能指標(biāo)Γ、全局速度性能指標(biāo)κ和全局剛度性能指標(biāo)σ進行綜合考慮，實現(xiàn)混聯(lián)機器人的多目標(biāo)優(yōu)化。

將上述優(yōu)化指標(biāo)的目標(biāo)函數(shù)分別表示為

式中 Min()、Max()——不同指標(biāo)在參數(shù)變化范圍內(nèi)的最小值和最大值

綜合考慮4個指標(biāo)的影響，建立混聯(lián)機器人多目標(biāo)綜合優(yōu)化函數(shù)

式中τj——優(yōu)化指標(biāo)權(quán)重系數(shù)

3.3 優(yōu)化步驟

3-HRUR/PUS+PP混聯(lián)機器人，從自由度考慮，繞X、Y軸的轉(zhuǎn)動自由度由3-HRUR/PUS并聯(lián)頭產(chǎn)生，完全受并聯(lián)頭各關(guān)節(jié)相對位置的影響；X、Y、Z軸3個方向的移動，由于驅(qū)動方向均沿X、Y、Z軸方向，因此可直接根據(jù)需求選擇滿足要求的驅(qū)動。綜上所述，該混聯(lián)機器人尺寸優(yōu)化確定為并聯(lián)頭各關(guān)節(jié)位置的優(yōu)化，即R、r、L的尺寸優(yōu)化問題。由于R、r、L3個尺寸參數(shù)比例關(guān)系一定時，機構(gòu)性質(zhì)相同。利用初始傳動角μ和長徑比δ建立R、r、L尺寸參數(shù)的關(guān)系，初始傳動角μ為并聯(lián)頭在3個H副驅(qū)動值相同時的分支傳動角，長徑比δ為連桿長度與驅(qū)動所在圓半徑的比值，即

由于全局優(yōu)化算法收斂速度較慢，局部優(yōu)化算法對初值選擇的敏感性較高，只能收斂到局部極值。為了提高運算速度并獲得全局最優(yōu)結(jié)果，采用試驗加插值的方法進行混聯(lián)機器人尺寸優(yōu)化。通過試驗對優(yōu)化尺寸參數(shù)進行抽樣，對目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)結(jié)果進行插值，得到全尺寸區(qū)間的多目標(biāo)綜合優(yōu)化函數(shù)值，流程如圖7所示。

(1)給定尺寸優(yōu)化范圍及各優(yōu)化指標(biāo)權(quán)重系數(shù)

根據(jù)實際應(yīng)用中整體尺寸輕巧性的需求，給定優(yōu)化尺寸參數(shù)范圍為μ∈[10°,80°]，δ∈[0.1,0.8]。優(yōu)先考慮機器人并聯(lián)頭擺動范圍和速度性能指標(biāo)，給定τ1=0.5，τ2=0.05，τ3=0.4，τ4=0.05。

(2)確定試驗方法

采用拉丁超立方抽樣(Latin hypercube sampling，LHS)對機器人優(yōu)化尺寸參數(shù)進行試驗設(shè)計：在n維空間中，將每一維坐標(biāo)區(qū)間等分為m個區(qū)間，保證每個因子的每個水平只研究一次，完成n維空間m個樣本數(shù)的拉丁超立方抽樣。此方法可以有效地對空間進行填充，減少研究點數(shù)。為了避免樣本點的隨機和不均衡性，對拉丁超立方抽樣方法進行優(yōu)化(記為OptLHS)，使所有點盡量均勻地分布在設(shè)計空間中，即實現(xiàn)兩點距離最小值的最大化[26]。

本文將分別采用LHS和OptLHS對尺寸參數(shù)進行試驗。此外，建立優(yōu)化尺寸參數(shù)μ和δ的全因子尺寸參數(shù)矩陣，以便對抽樣優(yōu)化方法的準(zhǔn)確性進行驗證。

(3)試驗結(jié)果及比較

設(shè)定m=29，分別采用LHS和OptLHS試驗設(shè)計方法對優(yōu)化尺寸參數(shù)進行抽樣，建立2×29的尺寸參數(shù)。對優(yōu)化尺寸參數(shù)μ和δ按照15×15進行均勻離散，建立全因子的尺寸參數(shù)矩陣，圖8為LHS、OptLHS與全因子尺寸參數(shù)對比。

(4)對多目標(biāo)加權(quán)綜合優(yōu)化函數(shù)進行計算

對包含各評價指標(biāo)的混聯(lián)機器人多目標(biāo)綜合優(yōu)化函數(shù)進行計算，得到各抽樣尺寸的加權(quán)綜合優(yōu)化函數(shù)值。

(5)對優(yōu)化目標(biāo)結(jié)果進行插值

采用三次插值法對LHS和OptLHS加權(quán)綜合優(yōu)化目標(biāo)值F(x)進行插值，得到與全因子尺寸參數(shù)一致的15×15的綜合優(yōu)化指標(biāo)F(x)矩陣。

(6)結(jié)果及準(zhǔn)確性驗證

在同樣配置的環(huán)境中進行計算，全因子、LHS和OptLHS的最優(yōu)參數(shù)值、目標(biāo)函數(shù)值和所有時間結(jié)果對比如表1所示。

由表1可以看出，采用LHS加插值運算的優(yōu)化方法的最優(yōu)參數(shù)值與全因子計算的結(jié)果不一致，其誤差由其采樣隨機性引起。采用均勻布置采樣點的OptLHS加插值運算的優(yōu)化方法保證了整體優(yōu)化數(shù)據(jù)空間的完整性，比LHS加插值運算的優(yōu)化方法更可靠，保證了優(yōu)化準(zhǔn)確率。采用OptLHS采樣與插值運算結(jié)合的優(yōu)化方法，所用時間僅為全因子優(yōu)化的8%，極大地提高了優(yōu)化效率。

表1 全因子、LHS和OptLHS結(jié)果對比

3.4 性能圖譜

通過3.3節(jié)計算，得到全尺寸設(shè)計空間的混聯(lián)機器人轉(zhuǎn)動能力θm、力傳遞性能Γ、速度性能κ和剛度性能σ指標(biāo)的性能圖譜，如圖9所示。

4 優(yōu)選尺寸及性能

根據(jù)具體應(yīng)用條件，混聯(lián)機器人X、Y導(dǎo)軌行程為800 mm，H副行程為600 mm，驅(qū)動分支H副所在圓半徑R=86 mm。根據(jù)表1所示優(yōu)化結(jié)果，設(shè)計參數(shù)取長徑比δ=0.5，初始傳動角μ=50°，圓整尺寸后可得并聯(lián)頭R2副所在圓半徑r=113 mm，分支連桿長度L=43 mm。

對該優(yōu)選尺寸下混聯(lián)機器人的性能進行研究，其轉(zhuǎn)角關(guān)系如圖10所示。

可見，該尺寸下3-RHUR/PUS+PP五自由度混聯(lián)機器人可實現(xiàn)全方位35°的擺動，在φ=60°、180°、300°附近時，可以達到55°擺動。

給定混聯(lián)機器人X、Y導(dǎo)軌和并聯(lián)頭驅(qū)動同步輸入的單位輸入速度球體，得到混聯(lián)機器人末端移動速度球體如圖11所示。由圖11可知，該五自由度混聯(lián)機器人沿X、Y、Z方向移動輸出速度滿足各向同性，各方向速度傳遞性能相同。

給定并聯(lián)頭H副驅(qū)動單位輸入速度球體，得到并聯(lián)頭末端轉(zhuǎn)動和移動速度橢球體如圖12所示。由圖12可以看出，并聯(lián)頭沿X、Y方向轉(zhuǎn)動速度和移動速度輸出相同，且無Z方向轉(zhuǎn)動速度輸出。

混聯(lián)機器人在初始位置和并聯(lián)頭擺角30°時的方向剛度如圖13所示。由圖13可以看出，混聯(lián)機器人方向剛度與并聯(lián)頭末端方位有關(guān)，并沿方位軸線垂面對稱。

5 結(jié)論

(1)提出一種帶隨動滑筒的并聯(lián)頭串聯(lián)雙導(dǎo)軌的混聯(lián)五自由度機器人構(gòu)型3-RHUR/PUS+PP，通過優(yōu)化確定了混聯(lián)機器人尺寸，并對其性能進行了分析。

(2)基于螺旋理論建立了串并混聯(lián)的正逆運動學(xué)映射關(guān)系，為混聯(lián)機器人整體性能研究奠定了基礎(chǔ)。

(3)綜合考慮混聯(lián)機器人的轉(zhuǎn)動能力、力傳遞性能、速度性能和剛度性能，建立了多目標(biāo)加權(quán)綜合優(yōu)化函數(shù)，提出OptLHS采樣與三次插值相結(jié)合的優(yōu)化算法，以此對混聯(lián)機器人進行多目標(biāo)優(yōu)化。該優(yōu)化方法所需優(yōu)化時間僅為同量級全因子優(yōu)化的8%，證明了優(yōu)化方法的有效性。