多邊法坐標(biāo)測量系統(tǒng)中解算方式對測量精度的影響研究

孫 威，繆東晶，李建雙，姚 燕,鐘 文，赫明釗，李連福

(1. 中國計量大學(xué) 計量測試工程學(xué)院，浙江 杭州 310018；2. 中國計量科學(xué)研究院，北京 100029)

1 引 言

隨著現(xiàn)代裝備制造業(yè)的飛速發(fā)展，航空航天、軌道交通、船舶等大尺寸裝備領(lǐng)域都對制造精度、裝配精度提出了更高的要求[1～6]，人們對大尺寸計量學(xué)的興趣也日益濃厚。多邊法作為一種坐標(biāo)測量方法，具有大尺寸、柔性、動態(tài)測量等優(yōu)點，且僅需測量長度量，避免了引入角度量測量帶來的誤差，繼而解算出被測物體的位置坐標(biāo)，具有較高理論精度[7]。

提高多邊法測量精度的主要途徑是尋求系統(tǒng)的最優(yōu)布局以及通過長度標(biāo)準(zhǔn)、平面標(biāo)準(zhǔn)等進行優(yōu)化約束。Takatsuji T等[8]在三維空間坐標(biāo)測量系統(tǒng)自標(biāo)定中提出了一種布局限制條件。林永兵等[9]研究了4路激光跟蹤干涉三維坐標(biāo)測量系統(tǒng)的最優(yōu)布局，并且指出了影響系統(tǒng)自標(biāo)定精度的多種因素。范百興等[10]引入三維位置幾何精度衰減因子(position dilution of precision，PDOP)，可以避開不利位置與方向，提高測量精度。Miao D等[11]提出一種采用標(biāo)準(zhǔn)長度約束的自標(biāo)定算法，增加標(biāo)準(zhǔn)長度約束在優(yōu)化函數(shù)中的權(quán)重值，較好地提高了系統(tǒng)的自標(biāo)定精度與坐標(biāo)測量精度。Zhang F 等[12]提出一種基于標(biāo)準(zhǔn)平面約束的標(biāo)定方法，在不增加未知量的情況下，用標(biāo)準(zhǔn)平面約束來提供更多的方程。從研究現(xiàn)狀看，對于多邊法測量精度的研究較少涉及到多邊法理論自身解算方式的影響，而多邊法坐標(biāo)測量系統(tǒng)彼此間的測量模型存在一定差異，對坐標(biāo)解算方式的研究同樣存在以下區(qū)別：①通過目標(biāo)點冗余將各自的測量模型轉(zhuǎn)化為非線性最優(yōu)化問題進行多邊法坐標(biāo)測量系統(tǒng)參數(shù)的標(biāo)定，標(biāo)定完成后再進行測量；②以文獻[13]為代表的多邊法測量模型解算方式，將測站坐標(biāo)和目標(biāo)點坐標(biāo)均視為未知量，通過同步解算方式由測量模型輸出。二者都能完成目標(biāo)點坐標(biāo)的求解，但對于同一測量模型而言，涉及到的不同解算方式對測量精度的影響研究則較為缺乏。

本文針對上述情況，建立了多邊法坐標(biāo)測量系統(tǒng)測量模型，分析了多邊法坐標(biāo)測量系統(tǒng)目標(biāo)點坐標(biāo)兩種解算方式的差異，通過對典型的4臺測站多邊法坐標(biāo)測量系統(tǒng)的仿真實驗，分析了兩種解算方式對測量精度的影響，并進行了坐標(biāo)測量精度驗證實驗，對進一步優(yōu)化系統(tǒng)測量精度以及指導(dǎo)最優(yōu)測量策略具有積極的參考意義。

2 多邊法坐標(biāo)測量系統(tǒng)測量原理

多邊法坐標(biāo)測量系統(tǒng)是通過空間中目標(biāo)點到3個或3個以上已知點的距離來確定目標(biāo)點的坐標(biāo)，工作原理如圖1所示，圖1中，LT1、LT2,…,LTm為激光跟蹤干涉儀。

圖1 多邊法坐標(biāo)測量系統(tǒng)Fig.1 Multilateral coordinate measurement system

對于空間中任一目標(biāo)點Pi(xi,yi,zi)和m臺測站的測量中心坐標(biāo)Sj(xSj,ySj,zSj)存在如下關(guān)系式：

fi,Sj=(xi-xSj)2+(yi-ySj)2+(zi-zSj)2-

(lSj 0+ΔlSj i)2,j=1,…,m

(1)

式中:fi,Sj為兩點間距離的計算值和測得值之差；i為目標(biāo)點個數(shù)；lSj 0為各測站到初始點的初始長度；ΔlSj i為激光干涉測得的長度變化量；通過增加目標(biāo)點數(shù)，使得方程個數(shù)大于未知量個數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為非線性最小二乘問題來處理，在目標(biāo)點數(shù)i≥9，測站數(shù)m≥4時可以通過信賴域法、Gauss-Newton法、Levenberg-Marquardt等方法進行求解[14]。

需要指出的是，多邊法坐標(biāo)測量系統(tǒng)可以通過以下兩種方式解算目標(biāo)點坐標(biāo)。

(1) 如式(1)所示，多邊法坐標(biāo)測量系統(tǒng)在m個測站測得到i個目標(biāo)點的距離值是測量模型的輸入量，而i個目標(biāo)點的坐標(biāo)以及m個測站的坐標(biāo)為測量模型的輸出量。測站坐標(biāo)Sj(xSj,ySj,zSj)與目標(biāo)點坐標(biāo)Pi(xi,yi,zi)可以作為未知量，所建立的方程數(shù)量大于未知量數(shù)量時，通過非線性最小二乘問題同步解算出所有未知量，即標(biāo)定過程包含在測量過程中，不單獨對系統(tǒng)參數(shù)進行標(biāo)定。

(2) 預(yù)先對多邊法坐標(biāo)測量系統(tǒng)參數(shù)進行準(zhǔn)確標(biāo)定，根據(jù)標(biāo)定后的系統(tǒng)參數(shù)對目標(biāo)點坐標(biāo)進行求解。系統(tǒng)參數(shù)在標(biāo)定過程中主要受測站布局等非線性因素的影響，可以在標(biāo)定過程中加入標(biāo)準(zhǔn)長度約束[11]或者標(biāo)準(zhǔn)平面約束[12]，以提高系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)定精度。

坐標(biāo)求解示意圖如圖2所示，對于任一目標(biāo)點Pi(xi,yi,zi)和3臺測站(A,B,C站)的測量中心坐標(biāo)(xm,ym,zm)，兩者并非完全獨立，可以由兩點間距離公式解得測站坐標(biāo)與目標(biāo)點坐標(biāo)Pi(xi,yi,zi)的關(guān)系。

圖2 坐標(biāo)求解示意圖Fig.2 Schematic of coordinate solution

目標(biāo)點Pi(xi,yi,zi)的各坐標(biāo)值公式為

(2)

將式(2)代入式(1)，這樣就可以消去目標(biāo)點坐標(biāo)的未知量，僅對測站坐標(biāo)及初始長度等系統(tǒng)參數(shù)進行標(biāo)定，根據(jù)標(biāo)定后的系統(tǒng)參數(shù)對目標(biāo)點坐標(biāo)進行求解。

3 兩種解算方式對測量結(jié)果的影響

3.1 兩種解算方式測量仿真實驗

為了研究目標(biāo)點坐標(biāo)的預(yù)先標(biāo)定系統(tǒng)參數(shù)和同步解算方式對測量結(jié)果的影響，對典型的4臺測站多邊法坐標(biāo)測量系統(tǒng)分別進行了兩種解算方式的測量仿真實驗。如圖3所示，S1，S2，S3，S4為4臺激光跟蹤干涉儀測量中心。令S1為系統(tǒng)坐標(biāo)系原點，坐標(biāo)單位為mm，S2點坐標(biāo)為(1 964，0，0)，S3點坐標(biāo)為(1 452，4132，0)，S4點坐標(biāo)為(-777，638，-684)，任意3臺測站構(gòu)成的平面均不穿過被測面。在空間3 m×3 m×4 m的矩形區(qū)域內(nèi)均勻創(chuàng)建3層散點，第1層為P1至P9，依次進行編號，3層共27個點。

圖3 仿真實驗示意圖Fig.3 Schematic diagram of simulation experiment

初始坐標(biāo)點P1到4臺儀器S1，S2，S3，S4的初始長度，以及每個點到4臺儀器S1，S2，S3，S4與初始長度的變化量作為理論測長數(shù)據(jù)。在僅考慮儀器測距誤差影響因素的情況下，根據(jù)激光跟蹤干涉儀的測距不確定度U=0.2 μm+0.3 μm/m，對生成的理論測距值加入[-U,+U]范圍內(nèi)的隨機噪聲，作為仿真測距值。以生成的理論目標(biāo)點間的12段距離值作為參考距離值L0，通過兩種解算方式分別解算出目標(biāo)點的坐標(biāo)，由兩點間距離公式計算目標(biāo)點間距離值L1、L2作為測量值，分別計算L1、L2與L0的偏差作為測量誤差，進行比較。

3.2 仿真實驗結(jié)果分析

兩種解算方式的3組測量仿真實驗結(jié)果如圖4所示。

圖4 測量仿真實驗結(jié)果Fig.4 Measurement simulation results

3組實驗結(jié)果中，單次預(yù)先標(biāo)定系統(tǒng)參數(shù)與單次同步解算方式的測量誤差范圍及趨勢均較為接近。其中，第1組實驗單次預(yù)先標(biāo)定系統(tǒng)參數(shù)測量誤差分布在[5.7 μm，44.1 μm]范圍內(nèi)，誤差平均值為21.0 μm，標(biāo)準(zhǔn)差為12.4 μm；單次同步解算方式測量誤差分布在[6.4 μm，43.2 μm]范圍內(nèi)，誤差平均值為21.0 μm，標(biāo)準(zhǔn)差為11.8 μm。第2組實驗單次預(yù)先標(biāo)定系統(tǒng)參數(shù)測量誤差分布在[16.1 μm，39.2 μm]范圍內(nèi)，誤差平均值為25.2 μm，標(biāo)準(zhǔn)差為8.7 μm；單次同步解算方式測量誤差分布在[10.3 μm，28.0 μm]范圍內(nèi)，誤差平均值為 19.3 μm，標(biāo)準(zhǔn)差為7.2 μm。第3組實驗單次預(yù)先標(biāo)定系統(tǒng)參數(shù)測量誤差分布在[0.3 μm，36.6 μm]范圍內(nèi)，誤差平均值為16.4 μm，標(biāo)準(zhǔn)差為11.2 μm；單次同步解算方式測量誤差分布在[1.7 μm，35.8 μm]范圍內(nèi)，誤差平均值為16.0 μm，標(biāo)準(zhǔn)差為11.2 μm。

實驗表明在單次測量的情況下，兩種解算方式能取得相近的測量結(jié)果。在Intel Core i5 2.6 GHz計算機配合MATLAB R2016a平臺上，預(yù)先標(biāo)定系統(tǒng)參數(shù)方式解算耗時0.189 s，同步解算方式耗時6.525 s，解算時間縮短了97.1%，提升了測量效率。當(dāng)測量點數(shù)較少時(測量目標(biāo)點數(shù)i<9)，同步解算方式不能完成解算過程，此時只能采用預(yù)先標(biāo)定系統(tǒng)參數(shù)方式解算。

由于單次測量過程中不可避免地存在隨機誤差，為了減小隨機誤差對測量結(jié)果的影響，實現(xiàn)系統(tǒng)參數(shù)的準(zhǔn)確標(biāo)定，對3組實驗預(yù)先標(biāo)定的系統(tǒng)參數(shù)取算術(shù)平均值后作為標(biāo)定結(jié)果，此時解算結(jié)果的測量誤差與同步解算方式相比有較明顯的降低。其中，第1組實驗的測量誤差分布在[-11.8 μm，16.3 μm]范圍內(nèi)，取模后的誤差平均值為6.4 μm，標(biāo)準(zhǔn)差為4.9 μm；第2組實驗的測量誤差分布在[-24.6 μm，16.3 μm]范圍內(nèi)，取模后的誤差平均值為7.9 μm，標(biāo)準(zhǔn)差為6.7 μm；第3組實驗的測量誤差分布在[-26.0 μm，16.5 μm]范圍內(nèi)，取模后的誤差平均值為8.7 μm，標(biāo)準(zhǔn)差為7.6 μm；相較于兩種解算方式單次測量誤差均值，測量精度依次改善了69.5%、64.6%、46.3%。表明預(yù)先準(zhǔn)確標(biāo)定系統(tǒng)參數(shù)能有效地抑制單次測量過程中隨機誤差的影響。

4 實驗與結(jié)果分析

4.1 坐標(biāo)測量精度驗證實驗

圖5是坐標(biāo)測量系統(tǒng)儀器布局圖，選用了4臺由德國Etalon AG公司生產(chǎn)的LaserTracer，測距不確定度U=0.2 μm+0.3 μm/m。

圖5 坐標(biāo)測量系統(tǒng)儀器布局圖Fig.5 Instrument layout of coordinate measurement system

坐標(biāo)測量精度驗證實驗利用激光干涉儀和水平導(dǎo)軌進行，如圖6所示，在水平導(dǎo)軌的一端放置一臺激光干涉儀，并在導(dǎo)軌的氣浮運動平臺上放置干涉儀反射鏡和CER75反射鏡靶座，調(diào)整CER75反射鏡和靶座位置至干涉儀測量光線的延長線上，以減少Abbe誤差[11]。

圖6 坐標(biāo)測量精度驗證實驗Fig.6 Verification experiment of the coordinate measurement accuracy

實驗時將反射鏡從起始點P0移動到運動平臺的第一個點， 相鄰測量點間距約500 mm。以激光干涉儀測量的長度值作為距離標(biāo)準(zhǔn)值L0，同時用4臺測站測出每個被測點的空間坐標(biāo)值，計算被測點間距離值L。其中，激光干涉儀測距最大允許誤差為±0.4 μm/m，由于導(dǎo)軌長度較短，且實驗環(huán)境較為穩(wěn)定，因此激光干涉儀的測距誤差予以忽略[12]。

4.2 坐標(biāo)測量精度驗證實驗結(jié)果分析

采用兩種解算方式各進行了3組坐標(biāo)測量精度驗證實驗，其結(jié)果見表1。表1中，δ1、δ2分別為預(yù)先準(zhǔn)確標(biāo)定系統(tǒng)參數(shù)方式以及同步解算方式的測量結(jié)果L與激光干涉儀標(biāo)準(zhǔn)值L0間的誤差。

表1 坐標(biāo)測量精度驗證實驗結(jié)果Tab.1 Results of the verification experiment of coordinate measurement accuracy

3組實驗結(jié)果中，預(yù)先準(zhǔn)確標(biāo)定系統(tǒng)參數(shù)方式測量誤差與同步解算方式相比有較明顯的降低。其中，第1組實驗中預(yù)先準(zhǔn)確標(biāo)定系統(tǒng)參數(shù)方式的測量誤差分布在[-32.2 μm，-5.1 μm]范圍內(nèi)，誤差平均值為-22.5 μm，標(biāo)準(zhǔn)差為10.0 μm；同步解算方式的測量誤差分布在[12.8 μm，101.9 μm]范圍內(nèi)，誤差平均值為56.5 μm，標(biāo)準(zhǔn)差為31.7 μm。第2組實驗中預(yù)先準(zhǔn)確標(biāo)定系統(tǒng)參數(shù)方式的測量誤差分布在[-33.8 μm，-11.3 μm]范圍內(nèi)，誤差平均值為-24.5 μm，標(biāo)準(zhǔn)差為8.7 μm；同步解算方式的測量誤差分布在[66.1 μm，444.2 μm]范圍內(nèi)，誤差平均值為266.1 μm，標(biāo)準(zhǔn)差為139.6 μm。第3組實驗中預(yù)先準(zhǔn)確標(biāo)定系統(tǒng)參數(shù)方式的測量誤差分布在[-32.5 μm，-11.9 μm]范圍內(nèi)，誤差平均值為 -24.4 μm，標(biāo)準(zhǔn)差為8.3 μm；同步解算方式的測量誤差分布在[78.1 μm，463.1 μm]范圍內(nèi)，誤差平均值為286.4 μm，標(biāo)準(zhǔn)差為143.2 μm。

對3組實驗結(jié)果進行分析可以得出：預(yù)先準(zhǔn)確標(biāo)定系統(tǒng)參數(shù)方式與同步解算方式相比，測量誤差取模后的最大值由463.1 μm降低到33.8 μm；測量誤差取模后的平均值由203.0 μm降低至23.8 μm；標(biāo)準(zhǔn)差平均值由104.8 μm降低到9.0 μm。實驗證明，采用同步解算方式測量時，測量精度容易受到單次測量過程中隨機誤差的影響，測量誤差分布在[12.8 μm，463.1 μm]范圍內(nèi)；采用預(yù)先準(zhǔn)確標(biāo)定系統(tǒng)參數(shù)方式后可以抑制隨機誤差的影響，測量誤差分布在[-33.8 μm，-5.1 μm]范圍內(nèi)。

此外，3組實驗結(jié)果中，同步解算方式的測量誤差δ2與距離標(biāo)準(zhǔn)值L0間的相關(guān)系數(shù)分別為99.6%、100%、99.9%，均為強相關(guān)，這表明同步解算方式的測量誤差會隨距離值的增大而增大；預(yù)先準(zhǔn)確標(biāo)定系統(tǒng)參數(shù)方式的測量誤差δ1與距離標(biāo)準(zhǔn)值L0間的相關(guān)系數(shù)分別為35.6%、33.8%、43.9%，相關(guān)性顯著降低，表明預(yù)先準(zhǔn)確標(biāo)定系統(tǒng)參數(shù)方式抑制了測量誤差隨距離值的增大的特性，可以有效地改善測量精度。

5 結(jié) 論

本文對多邊法坐標(biāo)測量系統(tǒng)中解算方式對測量精度的影響進行了研究。在多邊法測量模型基礎(chǔ)上，分析了多邊法坐標(biāo)測量系統(tǒng)解算目標(biāo)點兩種方式的區(qū)別，并通過對典型的4臺測站多邊法坐標(biāo)測量系統(tǒng)的仿真實驗，研究了兩種解算方式對測量精度的影響，仿真實驗結(jié)果表明：預(yù)先準(zhǔn)確標(biāo)定系統(tǒng)參數(shù)對改善系統(tǒng)測量精度具有積極意義，測量精度依次改善了69.5%、64.6%、46.3%。進行了坐標(biāo)測量精度驗證實驗，實驗結(jié)果表明：預(yù)先準(zhǔn)確標(biāo)定系統(tǒng)參數(shù)能有效抑制單次測量的隨機誤差，取模后的3組實驗平均測量誤差相較于同步解算方式，由203.0 μm降至23.8 μm，且測量誤差與測量距離的平均相關(guān)系數(shù)由99.8%降至37.8%，驗證了仿真實驗結(jié)論，對于提升多邊法坐標(biāo)測量系統(tǒng)測量精度具有積極參考意義。