基于二分迭代法的三心圓復(fù)曲線優(yōu)化算法及程序設(shè)計(jì)

熊江陵 曾凡云 唐俊成 韓 揚(yáng)

(中國電建集團(tuán)中南勘測設(shè)計(jì)研究院有限公司 長沙 410014)

在傳統(tǒng)的公路及城市道路設(shè)計(jì)中，通常將平面交叉口右轉(zhuǎn)彎車道邊線簡化為單圓曲線形式，一方面是為了便于施工，另一方面原因是雙心圓及三心圓等復(fù)曲線無法通過固定的公式進(jìn)行直接計(jì)算。但是在高等級公路及渠化城市道路設(shè)計(jì)中，將交叉口右轉(zhuǎn)彎車道邊線設(shè)計(jì)為雙心圓或三心圓復(fù)曲線具有一定的必要性，因?yàn)樗苡行岣哂肄D(zhuǎn)彎通行能力和行車舒適性。蔡偉等[1]研究了不同類型彎道路緣石對車輛在交叉口轉(zhuǎn)彎處行駛速度和軌跡的影響，結(jié)果表明在交叉口彎道處采用三心圓曲線進(jìn)行布設(shè)，不但節(jié)約用地資源，也有利于提高車輛在交叉口轉(zhuǎn)彎處行車的舒適性。JTG D20-2017《公路路線設(shè)計(jì)規(guī)范》[2]在10.4.3條規(guī)定：渠化平面交叉的右轉(zhuǎn)彎車道，在內(nèi)側(cè)路面邊緣應(yīng)采用三心圓復(fù)曲線。文獻(xiàn)[3]指出以鉸接列車控制設(shè)計(jì)時(shí)，相交路面的邊緣應(yīng)采用復(fù)曲線。在三心圓復(fù)曲線的計(jì)算方法方面，相關(guān)研究較少，朱家兵等[4]根據(jù)相交道路線形，分左直右直、左直右曲、左曲右直、左曲右曲等情況，提出一種以切線長度為逼近目標(biāo)的三心圓復(fù)曲線計(jì)算方法，但該方法在曲線相交的交叉口中計(jì)算誤差較大(1 m)，并且文獻(xiàn)中沒有對進(jìn)、出口道均為曲線的形式進(jìn)行詳細(xì)論證。

為研究三心圓復(fù)曲線的通用計(jì)算方法，基于三心圓復(fù)曲線終點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算公式，提出以終點(diǎn)距離為逼近目標(biāo)的二分迭代法，并對該方法收斂性和迭代初始值區(qū)間選取進(jìn)行論證。通過在實(shí)際項(xiàng)目中的應(yīng)用結(jié)果表明：該算法能正確求解任意線形相交的交叉口右轉(zhuǎn)彎車道三心圓復(fù)曲線，具有更好的通用性、穩(wěn)定性和求解精度，同時(shí)也具有較高計(jì)算效率。

1 三心圓復(fù)曲線切線長公式及應(yīng)用

根據(jù)文獻(xiàn)[5]中介紹的方法，進(jìn)、出口道為直線時(shí)，左、右側(cè)切線長Tq、Th分別為

Tq=(R1-R2)sinα+[R3-(R3-R2) cosγ]/

sinδ-[R1-(R1-R2)cosα]/tanδ

(1)

Th=(R3-R2)sinγ+[R1-(R1-R2) cosα]/

sinδ-[R3-(R3-R2)cosγ]/tanδ

(2)

式中：R1、R2、R3分別為3段圓弧的半徑，R2小于R1、R3；α、β、γ分別為3段圓弧對應(yīng)的轉(zhuǎn)角；δ為三段圓弧旋轉(zhuǎn)角度之和，各參數(shù)示意圖見圖1。

圖1 三心圓復(fù)曲線切線長公式參數(shù)示意圖

假定3段圓弧長度分別為L1、L2、L3，則有公式

α=(L1/R1)·(180°/π)

(3)

β=(L2/R2)·(180°/π)

(4)

γ=(L3/R3)·(180°/π)

(5)

δ=α+β+γ

(6)

通過確定R1、R2、R3，并且確定3段圓弧中任意2段的長度，或選擇3段圓弧相等，利用式(1)～(6)可求出Tq和Th，進(jìn)而可以計(jì)算出A、D的位置和確定3段圓弧的準(zhǔn)確位置。

當(dāng)進(jìn)、出口道為曲線時(shí)，文獻(xiàn)[4]以切線長T值為目標(biāo)進(jìn)行迭代逼近，目標(biāo)控制條件為Th-Th′<10-10，其中Th為根據(jù)公式(2)計(jì)算得到的切線長，Th′為迭代點(diǎn)處實(shí)際的切線長。經(jīng)測試，該方法結(jié)果存在較大誤差，原因是路線的圓弧半徑較大，δ的微小變化對Th結(jié)果影響較小，但對Th′影響較明顯。

2 基于終點(diǎn)距離逼近的二分迭代法

為解決上述三心圓復(fù)曲線計(jì)算的誤差問題，并考慮相交道路線形的任意性，提出以終點(diǎn)距離為逼近目標(biāo)的二分迭代法。

由于相交道路幾何條件的不確定性，對于曲線相交的交叉口，三心圓復(fù)曲線僅在某一范圍存在可能解，可以視為局部收斂的非線性問題[6]。局部收斂非線性問題求解，需要解決如下3個(gè)問題。

1) 選擇合適的迭代公式。

2) 選擇合適的迭代初始值。

3) 保證迭代的收斂性。

2.1 選擇迭代公式：基于終點(diǎn)距離逼近的迭代方程

當(dāng)相交道路線形為曲線時(shí)(見圖2)，三心圓復(fù)曲線終點(diǎn)切向量及坐標(biāo)計(jì)算公式如下。

圖2 三心圓復(fù)曲線終點(diǎn)切向量及坐標(biāo)計(jì)算參數(shù)示意圖

Ve=R(Vs,δ)

(7)

Pe=Ps+R1·(υ1+υ1′)+

R2·(υ2+υ2′)+R3·(υ3+υ3′)

(8)

式中：Ve為復(fù)曲線終點(diǎn)向量；Vs為起點(diǎn)向量；R(Vs,δ)為將向量Vs順時(shí)針旋轉(zhuǎn)δ角度；Pe為復(fù)曲線終點(diǎn)坐標(biāo)；Ps為復(fù)曲線起點(diǎn)坐標(biāo)；υ1、υ2、υ3分別為3段圓弧起點(diǎn)處指向圓心的單元向量，υ1′、υ2′、υ3′分別為3段圓弧終點(diǎn)處背向圓心的單位向量。

三心圓復(fù)曲線在終點(diǎn)需與邊線相切，即應(yīng)滿足如下2個(gè)條件。

1) 復(fù)曲線終點(diǎn)切向量與終點(diǎn)在邊線上投影處的切向量相等。

2) 復(fù)曲線終點(diǎn)與終點(diǎn)在邊線上投影點(diǎn)距離為0。

用公式表示為

D(Ve,Ve′)≤ε

(9)

D(Pe,Pe′)≤ε

(10)

以式(10)為逼近目標(biāo)建立二分法迭代方程，其中式(10)應(yīng)以滿足式(9)為前提，他們的因變量分別為起點(diǎn)切向量Vs和Ps起點(diǎn)坐標(biāo)。

2.2 選擇迭代初始值區(qū)間

對于迭代方程為y=f(x)的二分迭代法，需要確定迭代求解的初始值區(qū)間[X1,X2]，保證[X1,X2]對應(yīng)的目標(biāo)值y1，y2滿足y1×y2≤0。對于式(9)，假設(shè)復(fù)曲線終點(diǎn)向量目標(biāo)解為Ve*，則初始值區(qū)間[Vs1,Vs2]應(yīng)滿足復(fù)曲線終點(diǎn)向量Ve1、Ve2分別在Ve*的兩側(cè)。對于式(10)，初始值區(qū)間[Ps1,Ps2]應(yīng)滿足復(fù)曲線終點(diǎn)坐標(biāo)Pe1、Pe2分別在出口車道邊線的兩側(cè)。

由于路線幾何的不確定性，可能收斂區(qū)間[Ps1,Ps2]僅存在于路線中很短的一段距離，為了快速、準(zhǔn)確地找出初始值區(qū)間[Ps1,Ps2]，參考文獻(xiàn)[4]，可以先利用式(1)、(2)以切線長為逼近目標(biāo)迭代求解到復(fù)曲線起點(diǎn)Ps，然后再在Ps附近找出符合上述條件的[Ps1,Ps2]，此處不再贅述。

2.3 迭代收斂性論證

迭代方程為y=f(x)在區(qū)間[X1,X2]能否收斂，除需要滿足對應(yīng)的目標(biāo)值y1×y2≤0外，還應(yīng)滿足y=f(x)在區(qū)間[X1,X2]連續(xù)。

根據(jù)式(3)～(8)，可以得到

Pe=Ps+f(Vs,δ)

(11)

當(dāng)三心圓復(fù)曲線起點(diǎn)Ps確定時(shí)，Vs能唯一確定，而δ的大小也與起點(diǎn)位置有關(guān)，也就是說Pe可以表示為

Pe=F(Ps)

(12)

為保證行車的順暢性，路線在幾何上也必然是連續(xù)且光滑的，也就是說Ps是連續(xù)變化的，所以基于終點(diǎn)距離逼近的迭代方程D(Pe,Pe′)≤i也具備連續(xù)性。

分別對相交道路為直-圓、圓-直、圓-圓等情況進(jìn)行測試，終點(diǎn)距離D(Pe,Pe′)值迭代收斂過程圖見圖3。

圖3 二分法迭代計(jì)算收斂過程圖

3 以終點(diǎn)距離逼近為目標(biāo)的二分法迭代計(jì)算流程圖

根據(jù)上述分析，以終點(diǎn)距離逼近為目標(biāo)的二分迭代法需要如下過程。

1) 根據(jù)切線長預(yù)估復(fù)曲線起點(diǎn)位置。

2) 在預(yù)估的起點(diǎn)附近確定迭代區(qū)間初始值。

3) 以終點(diǎn)距離逼近為目標(biāo)進(jìn)行二分迭代計(jì)算。

算法流程圖設(shè)計(jì)見圖4。

圖4 三心圓復(fù)曲線終點(diǎn)逼近二分迭代法計(jì)算流程圖

其中三心圓復(fù)曲線終點(diǎn)切向量迭代逼近的算法包含在“根據(jù)Ps計(jì)算三心圓終點(diǎn)Pe”這一步驟中，迭代步驟與計(jì)算Pe相同，不再贅述。

4 項(xiàng)目應(yīng)用

金山大道位于廣西省河池市，設(shè)計(jì)長度2 350 m，雙向八車道，設(shè)計(jì)速度60 km/h，為城市主干路。其中金山大道與開元大道相交的交叉口位于K1+062.705處，相交處道路主線段為半徑625m的圓弧，支線段為直線，最小交角約為78°，該右轉(zhuǎn)區(qū)間行車道邊線選擇三心圓復(fù)曲線，R1、R2、R3分別為25,15,25 m，3段圓弧長度相等。

基于上述三心圓復(fù)曲線算法，利用三維道路軟件OpenRoads Designer進(jìn)行二次開發(fā)，完成“交叉口右轉(zhuǎn)邊線”設(shè)計(jì)功能。經(jīng)測試，該功能可以正確生成該交叉口右轉(zhuǎn)彎車道三心圓復(fù)曲線，邊線圖見圖5，三維實(shí)體模型圖見圖6。

圖5 交叉口右轉(zhuǎn)彎車道邊線圖

圖6 交叉口三維實(shí)體模型圖

5 結(jié)語

1) 利用以終點(diǎn)距離逼近為目標(biāo)的二分迭代法，計(jì)算三心圓復(fù)曲線，計(jì)算結(jié)果精度高，能夠?qū)?fù)曲線起、終點(diǎn)誤差控制在10-8m以內(nèi)。

2) 該算法具有通用性，能夠應(yīng)用于進(jìn)、出口車道為直-直、直-曲、曲-直、曲-曲等不同情形。

3) 該算法在進(jìn)、出口車道足夠長的前提下，能保證收斂性，并且迭代計(jì)算效率較高。

3) 僅通過修改迭代目標(biāo)公式，該算法框架可擴(kuò)展應(yīng)用于雙心圓復(fù)曲線的計(jì)算。

4) 該算法在逼近方法、初始值選取、收斂性論證等方面，對道路路線中復(fù)雜復(fù)曲線計(jì)算有一定參考價(jià)值。