基于指數(shù)分布論域模糊PID的超精密金剛石車床導軌運動控制*

李兆中 岳曉斌 孫守利 陽 紅

(中國工程物理研究院機械制造工藝研究所，四川 綿陽 621900)

超精密金剛石車床(single point diamond turing, SPDT)是超精密加工的重要設(shè)備之一，主要用于加工具有復雜表面形狀或特殊表面形狀要求的光學部件。許多國防尖端產(chǎn)品零部件，例如陀螺儀、高精度平面鏡/透鏡、精密儀器以及大功率激光系統(tǒng)中的多種零部件，需要用到超精密金剛石車床加工[1-4]。由于零件的表面形貌和刀具與工件之間的相對運動直接相關(guān)，因此零部件的高表面精度要求超精密金剛石車床導軌的伺服控制系統(tǒng)具有極高的定位精度、極高的響應(yīng)速度和極小的穩(wěn)態(tài)誤差[5]。

超精密金剛石車床的伺服控制系統(tǒng)采用從里到外依次為電流環(huán)、速度環(huán)和位置環(huán)的三環(huán)控制方案。目前應(yīng)用于超精密金剛石車床的主流控制算法是基于UMAC等運動控制器的PID控制算法。然而超精密加工存在非線性等時變因素，這使得傳統(tǒng)的PID控制很難適應(yīng)由運動位置變化、負載擾動及外界干擾等非線性因素引起的參數(shù)攝動及蠕變等，進而影響超精密切削加工精度及穩(wěn)定性。針對這一問題，目前廣泛采用的方法是將模糊控制引入到PID參數(shù)調(diào)節(jié)中[6]。模糊PID控制提高了系統(tǒng)的自適應(yīng)性，然而模糊PID的控制效果依賴于初始PID參數(shù)的選取和論域的確定，使得應(yīng)用較為復雜。為了解決上述問題，本文提出了一種論域范圍優(yōu)化方法，并引入到模糊PID控制中，實現(xiàn)自主學習并提高系統(tǒng)靜動態(tài)性能，進而提高超精密切削加工精度。

本文對自研超精密金剛石車床導軌進行數(shù)學建模，通過MATLAB/ Simulink仿真對比了PID參數(shù)對控制對象階躍響應(yīng)的影響規(guī)律，總結(jié)出了論域范圍優(yōu)化方法，據(jù)此提出指數(shù)分布論域模糊PID控制算法，并和傳統(tǒng)的定參數(shù)PID作比較。仿真結(jié)果表明，指數(shù)分布論域模糊PID控制具有更優(yōu)的控制效果，提升了導軌響應(yīng)速度。

1 超精密金剛石車床導軌理論模型及PID控制方法

控制方案和控制對象的建模依賴于所選用的器件及其鏈接方式，本文的控制對象為自主研制的超精密金剛石車床導軌，該導軌為液體靜壓導軌，其具有高承載、高剛度和低摩擦等特性。驅(qū)動單元選用直線電機直接驅(qū)動。控制方案采用從里到外依次為電流環(huán)、速度環(huán)和位置環(huán)的三環(huán)控制，其中電流環(huán)閉環(huán)到直線電機配套驅(qū)動器中，采用PI控制，速度環(huán)和位置環(huán)閉環(huán)到UMAC運動控制器中，采用PID控制，主要包括PID、前饋、積分模式(integral mode, IM)和陷波濾波器(notch filter, NF)4個模塊，如圖1所示。

超精密加工存在的由運動位置變化、負載擾動及外界干擾等非線性因素，使得傳統(tǒng)的PID控制無法滿足高定位精度、高響應(yīng)速度的要求，因而應(yīng)用場景受限。

2 指數(shù)分布論域模糊PID控制方法

為解決傳統(tǒng)PID難以適應(yīng)超精密加工中存在多種非線性擾動的問題，引入模糊控制器，根據(jù)位置反饋信號的偏差E和偏差變化率EC對控制器參數(shù)Kp、Ki和Kd進行在線整定，使控制系統(tǒng)具有良好的動靜態(tài)性能。在下文中未說明單位時，統(tǒng)一采用國際單位制(SI)。模糊控制器首先對誤差信號及其變化率做模糊化處理，即論域上定義若干個模糊集合，并規(guī)定其隸屬函數(shù)，進而將清晰的輸入量轉(zhuǎn)換為模糊量。本文中對模糊控制器的輸入量E、EC都定義了7個模糊集合NB、NM、NS、ZO、PS、PM、PB。輸入量的論域根據(jù)定參數(shù)PID控制方案下的閉環(huán)階躍響應(yīng)確定，其中E的論域定為[-1×10-5, 1×10-5]，EC的論域定為[-3×10-5, 3×10-5]。輸入量的隸屬函數(shù)都采用高斯型函數(shù)，如圖2所示。

模糊控制器的核心是模糊控制規(guī)則表，即根據(jù)誤差信號及其變化率的所屬模糊集合確定控制器輸出信號的所屬模糊集合。本文采用mamdani模糊推理模型，使用的模糊控制表如表1～3所示。

表 1 ΔKp的模糊控制規(guī)則表

表2 ΔKi的模糊控制規(guī)則表

表3 ΔKd的模糊控制規(guī)則表

模糊控制器的輸出是PID控制器參數(shù)的調(diào)整值ΔKp、ΔKi和ΔKd，根據(jù)模糊控制表求得的輸出量仍是模糊量，通過解模糊的過程將其變成清晰量，本文中解模糊方法選用中心法(centroid)。最后通過Kp=Kp0+ΔKp、Ki=Ki0+ΔKi、Kd=Kd0+ΔKd在線整定PID參數(shù)，其中Kp0、Ki0和Kd0為PID控制器參數(shù)的初始值，Kp0= 500，Ki0= 0.1，Kd0= 0.3。

模糊控制器的控制品質(zhì)較大程度上受PID參數(shù)初始值和論域范圍選取的影響[7]。傳統(tǒng)的模糊PID控制一般在確定總體的論域范圍之后，再對單一模糊量下的不同隸屬函數(shù)進行論域范圍均等劃分。針對固定論域的模糊PID控制，有學者提出了變論域模糊控制[8-10]，即根據(jù)被控信號的誤差及其變化率，實時改變模糊控制器的論域范圍。這種方法確實能取得更好的控制效果，然而其缺點在于論域變化規(guī)律復雜，且實時計算增大了計算負擔。因此在不使控制器結(jié)構(gòu)變復雜的前提下優(yōu)化控制效果，需要具體地研究PID參數(shù)對控制效果的影響規(guī)律，再有針對性地優(yōu)化模糊PID控制器的論域分布。

如圖3所示，通過對PID參數(shù)調(diào)試，發(fā)現(xiàn)對于圖1所示的控制系統(tǒng)，PID參數(shù)的影響呈現(xiàn)如下規(guī)律：在Kp> 0,Ki=Kd= 0時，系統(tǒng)階躍響應(yīng)輸出是振蕩的，增大Kp會使振蕩頻率變高并使系統(tǒng)輸出趨向發(fā)散；在Kp> 0,Ki= 0,Kd> 0時，系統(tǒng)階躍響應(yīng)輸出能穩(wěn)定在指令值附近，且隨著Kd變小，調(diào)整時間越短、超調(diào)量越大；在Kp> 0,Ki> 0,Kd= 0時，系統(tǒng)階躍響應(yīng)輸出是振蕩的，增大Ki不會改變振蕩頻率，但會使系統(tǒng)輸出趨向發(fā)散。由此可以看出PID參數(shù)對系統(tǒng)階躍響應(yīng)輸出的影響并不是線性的，要使系統(tǒng)階躍響應(yīng)快速且超調(diào)量小，應(yīng)該增大Kp但不至于引起發(fā)散，并且在Ki、Kd大于0的情況下減小Ki、Kd。顯然，均等分布論域的模糊PID無法滿足上述需求，為此應(yīng)使模糊控制器輸出量ΔKp的論域正半部分增大，ΔKi、ΔKd論域的負半部分增大。

根據(jù)上述推論，構(gòu)造模糊控制器輸出量隸屬函數(shù)，

其具有如下特征：

(1)每個輸出量的隸屬函數(shù)都采用三角隸屬函數(shù)，形式如下：

式中：ξa、ξb、ξc是三角隸屬函數(shù)的從左到右3個控制點的橫坐標，用于控制三角隸屬函數(shù)的形狀，滿足ξa<ξb<ξc。

(2)每個輸出量具有7個模糊子集，模糊子集NB、NM、NS、ZO、PS、PM、PB的隸屬函數(shù)用μi(ξ)表示，其中i=1,2,…,7，且具有ξb,k=ξa,k+1,k=1,…,6的關(guān)系，即對于兩個相鄰的隸屬函數(shù)，右側(cè)隸屬函數(shù)的左控制點的橫坐標與左側(cè)隸屬函數(shù)的中控制點的橫坐標相同。

(3)每個輸出量的隸屬函數(shù)控制點橫坐標具有如下關(guān)系

式中：α=(α1,α2,α3)T為論域分布參數(shù)，且有α1∈[0.01,1]、α2∈[1,2]、α3∈[1,2]，i=1,2,…,7分別對應(yīng)NB到PB 這7個模糊子集。

該模糊控制器的輸出量的隸屬函數(shù)論域長度從左到右呈指數(shù)式變化，因而稱之為指數(shù)分布論域模糊PID控制器，其中參數(shù)α=(α1,α2,α3)T為該控制器的特征參數(shù)，用于模糊控制器輸出量隸屬函數(shù)分布情況。圖4所示為α=(0.4,1.25,1.8)T時的模糊控制器輸出量隸屬函數(shù)分布圖。

圖5對比了定參數(shù)PID和指數(shù)分布論域模糊PID控制器下的系統(tǒng)閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線，其中階躍信號幅值為10 μm，于0.1 s時發(fā)生階躍。指數(shù)分布論域模糊PID控制器的超調(diào)量為1.92%，比定參數(shù)PID減小了26.44%，調(diào)整時間為0.72 s，比定參數(shù)PID減小了11.42%，這證明了論域優(yōu)化方法的有效性。

3 結(jié)語

本文通過Matlab/ Simulink仿真分析了PID參數(shù)對控制效果的影響規(guī)律，給出了一種模糊PID論域范圍優(yōu)化方法，并對比了傳統(tǒng)定參數(shù)PID和指數(shù)分布論域模糊PID的控制效果。仿真結(jié)果表明，指數(shù)分布論域模糊PID控制的階躍響應(yīng)的調(diào)整時間更短，控制效果更優(yōu)。