服務(wù)企業(yè)排隊(duì)系統(tǒng)的顧客等候補(bǔ)償及等候時(shí)間保證策略研究

■ 龔其國(guó) 易春曉

中國(guó)科學(xué)院大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院 北京 100190

0 引言

2013年以來(lái)，中國(guó)服務(wù)業(yè)實(shí)現(xiàn)了平穩(wěn)快速的發(fā)展，服務(wù)業(yè)超過(guò)工業(yè)成為中國(guó)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的第一動(dòng)力。在市場(chǎng)規(guī)模不斷擴(kuò)大的情況下，服務(wù)行業(yè)的不可儲(chǔ)存性、生產(chǎn)消費(fèi)的同步性導(dǎo)致了供給與需求的不匹配，進(jìn)而導(dǎo)致了排隊(duì)現(xiàn)象的產(chǎn)生。

因此，越來(lái)越多的文獻(xiàn)開(kāi)始研究服務(wù)行業(yè)的排隊(duì)問(wèn)題。最初，研究者將顧客視為完全理性，研究了顧客加入隊(duì)列的問(wèn)題。部分學(xué)者認(rèn)為顧客是否加入隊(duì)列取決于隊(duì)列長(zhǎng)度，高于某個(gè)閾值顧客就不會(huì)加入，反之，低于這個(gè)值顧客才會(huì)加入隊(duì)列[1]。還有一部分研究者研究了不知情消費(fèi)者(Uninformed Consumer)對(duì)知情消費(fèi)者(Informed Consumer)的排隊(duì)跟隨的問(wèn)題[2-6]。后來(lái)有許多研究者站在企業(yè)的角度研究問(wèn)題，研究了企業(yè)在面對(duì)顧客排隊(duì)行為時(shí)的價(jià)格決策和服務(wù)策略[7-9]。同時(shí)也有排隊(duì)論學(xué)者主要聚焦與如何最優(yōu)化服務(wù)布局[10]以及動(dòng)態(tài)調(diào)整服務(wù)率的雙閾值策略[11]。

長(zhǎng)時(shí)間而枯燥的排隊(duì)可能會(huì)讓顧客在到達(dá)隊(duì)列時(shí)選擇不加入。對(duì)于顧客來(lái)說(shuō)，在期待更好的服務(wù)的同時(shí)往往會(huì)期待更短的排隊(duì)等候時(shí)間。如何降低顧客在排隊(duì)過(guò)程中的等待時(shí)間，是整個(gè)服務(wù)企業(yè)亟需解決的問(wèn)題。因此劉健等[12]研究分析了服務(wù)機(jī)制和定價(jià)策略對(duì)客觀等待時(shí)間的影響，而李武強(qiáng)等[13]研究分析了服務(wù)速率對(duì)客觀等待時(shí)間的影響。然而由于服務(wù)企業(yè)的空間限制或者成本問(wèn)題，這些方案只能在一定程度上減少客觀等待時(shí)間。

而顧客在等待過(guò)程中的體驗(yàn)也直接影響其對(duì)等待時(shí)間的感知和判斷，因此企業(yè)在制定減少顧客排隊(duì)時(shí)間的策略時(shí)，還必須考慮顧客的排隊(duì)體驗(yàn)。為了緩解排隊(duì)顧客的焦慮情緒，企業(yè)常常為排隊(duì)中的顧客提供一些補(bǔ)償服務(wù)，以減少顧客等待帶來(lái)的負(fù)效用，例如海底撈往往會(huì)在大廳里專(zhuān)門(mén)留出一個(gè)區(qū)域來(lái)當(dāng)作顧客候餐區(qū)，同時(shí)在候餐區(qū)提供美甲、撲克牌等活動(dòng)。還有一些企業(yè)會(huì)在等待環(huán)境中設(shè)置專(zhuān)門(mén)的燈光環(huán)境、裝修風(fēng)格和電視機(jī)、游戲機(jī)等娛樂(lè)設(shè)施來(lái)減少顧客的感知等待時(shí)間[14-15]。目前，越來(lái)越多的研究者開(kāi)始將目光轉(zhuǎn)向減少消費(fèi)者感知等待時(shí)間的變化。劉健等[16-17]研究了企業(yè)如何通過(guò)定價(jià)、折扣等調(diào)整顧客的期望等待時(shí)間。Liang[18]直接提出改善排隊(duì)環(huán)境可以減少顧客感知等待時(shí)間。Yuan[19]等研究了具備合作競(jìng)爭(zhēng)能力的服務(wù)企業(yè)為等候的顧客提供的最優(yōu)娛樂(lè)設(shè)施(Entertainment Options)和服務(wù)價(jià)格決策。孔瑞曉等[20]研究了考慮等待補(bǔ)償成本下的雙寡頭競(jìng)爭(zhēng)策略。還有研究者考慮了智能點(diǎn)餐系統(tǒng)及智能機(jī)器人的應(yīng)用對(duì)消費(fèi)者感知等待時(shí)間的影響[21-24]。

另一方面，基于等待時(shí)間的競(jìng)爭(zhēng)已經(jīng)被越來(lái)越多的企業(yè)所接受，對(duì)于企業(yè)來(lái)說(shuō)，面對(duì)排隊(duì)等候的顧客，除了選擇提供等候補(bǔ)償之外，還可以選擇給顧客一定的預(yù)期等候時(shí)間保證，以減少顧客的等候焦慮。例如在游樂(lè)園，工作人員會(huì)標(biāo)注在某位置排隊(duì)時(shí)預(yù)計(jì)要等待多久，有些需要排隊(duì)等待的餐廳也會(huì)告知顧客的預(yù)期等待時(shí)間。許多服務(wù)公司將向等待中的消費(fèi)者承諾預(yù)期等待時(shí)間作為一種營(yíng)銷(xiāo)手段，在時(shí)間敏感的市場(chǎng)中吸引客戶(hù)。最近有幾篇論文研究了類(lèi)似的問(wèn)題。So[25]研究了服務(wù)企業(yè)服務(wù)交付時(shí)間(Delivery Time Guarantees)和價(jià)格決策對(duì)利潤(rùn)最大化的影響。Yu 等[26]研究了企業(yè)如何通過(guò)等待時(shí)間保證來(lái)控制顧客的選擇。

通過(guò)分析前人的研究發(fā)現(xiàn)，目前大多數(shù)文獻(xiàn)都集中在等候補(bǔ)償對(duì)感知等待時(shí)間的影響機(jī)制的研究上，幾乎沒(méi)有文獻(xiàn)聚焦于計(jì)算出企業(yè)的最優(yōu)等候補(bǔ)償水平，更沒(méi)有文章同時(shí)關(guān)注最優(yōu)的等待補(bǔ)償水平和等待時(shí)間保證，而等待補(bǔ)償水平和等待時(shí)間保證決策是每個(gè)服務(wù)企業(yè)在面對(duì)排隊(duì)問(wèn)題時(shí)都要解決的問(wèn)題。因此，不同于此前的研究，首先，本文旨在通過(guò)定量分析，探究服務(wù)企業(yè)在壟斷情形和雙寡頭壟斷情形下補(bǔ)償水平的最優(yōu)決策。另一方面，探究了企業(yè)同時(shí)考慮等待補(bǔ)償水平和等待時(shí)間保證的最優(yōu)決策。

本文借鑒了前人的研究成果，建立了以M/M/1 排隊(duì)系統(tǒng)為基礎(chǔ)的企業(yè)等候補(bǔ)償和預(yù)期等待時(shí)間決策模型。首先分析了企業(yè)在不承諾等候顧客預(yù)期等待時(shí)間的情形下顧客加入隊(duì)列的概率，然后以此計(jì)算企業(yè)最優(yōu)的顧客等候補(bǔ)償水平?jīng)Q策，并考慮了雙寡頭競(jìng)爭(zhēng)情形下企業(yè)的最優(yōu)補(bǔ)償水平?jīng)Q策。然后分析了企業(yè)在向顧客承諾預(yù)期等待時(shí)間的情形下，企業(yè)最佳的最優(yōu)的等待時(shí)間保證與補(bǔ)償水平。該模型下顧客為完全信息，因此在系統(tǒng)到達(dá)率不變的情況下，當(dāng)價(jià)格、等候補(bǔ)償水平一定時(shí)，實(shí)際顧客加入率為確定值。

本研究模型得到了壟斷情形和雙寡頭情形下企業(yè)最優(yōu)的等待補(bǔ)償水平的解析解以及企業(yè)同時(shí)考慮補(bǔ)償水平和等待時(shí)間保證時(shí)的最優(yōu)解，并做了相應(yīng)的敏感性分析。

1 不承諾預(yù)期等待時(shí)間：壟斷企業(yè)最優(yōu)補(bǔ)償策略研究

1.1 研究問(wèn)題

在排隊(duì)過(guò)程中，顧客在到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)后會(huì)綜合考慮接受服務(wù)的收益、價(jià)格、等候時(shí)間等因素，只有當(dāng)期望效益大于零時(shí)才會(huì)加隊(duì)隊(duì)列。因而對(duì)于企業(yè)來(lái)說(shuō)，制定合適的顧客等候補(bǔ)償策略，可以有效減少顧客的等待焦慮，提高顧客的期望效益，同時(shí)提高顧客的加入率。本節(jié)研究了關(guān)于壟斷企業(yè)最優(yōu)補(bǔ)償水平的決策，并考慮了價(jià)格等因素對(duì)其決策的影響。

1.2 基本假設(shè)

假設(shè)1：企業(yè)的排隊(duì)系統(tǒng)為先到先得（FCFS），顧客具有理性決策能力，且是同質(zhì)和風(fēng)險(xiǎn)中性的。顧客相繼到達(dá)系統(tǒng)的時(shí)間間隔從負(fù)指數(shù)分布，最大的系統(tǒng)到達(dá)率為λ，這一數(shù)值受市場(chǎng)影響，假設(shè)為外生。企業(yè)對(duì)每個(gè)顧客的服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)為μ的負(fù)指數(shù)分布（λ＜μ）。

假設(shè)2：假設(shè)顧客接受服務(wù)后所得收益為R,顧客單位時(shí)間的等待成本為h，服務(wù)價(jià)格為P，其中(P＜R)。

假設(shè)3：企業(yè)為降低顧客在到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)后選擇離開(kāi)（renege）的概率，會(huì)給參與排隊(duì)（join）的顧客一定的排隊(duì)補(bǔ)償，以縮短其感知等待時(shí)間。參考yuan等[19]的文章,假設(shè)α表示企業(yè)對(duì)正在等候的所有顧客的補(bǔ)償水平，企業(yè)達(dá)到該供給該補(bǔ)償水平所需要的成本表示為C(α),由于規(guī)模不經(jīng)濟(jì)，補(bǔ)償成本函數(shù)為凸增的，成本函數(shù)為

假設(shè)4：顧客進(jìn)入隊(duì)列后具有不完全信息，排隊(duì)系統(tǒng)中的價(jià)格、等候補(bǔ)償水平等可以通過(guò)已有的經(jīng)驗(yàn)來(lái)獲得，而在到達(dá)隊(duì)列時(shí)卻難以知悉隊(duì)列的具體長(zhǎng)度，只能根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)來(lái)估計(jì)期望等待時(shí)間。根據(jù)Ward Whitt等的假設(shè)[23]，可以假設(shè)當(dāng)消費(fèi)者對(duì)隊(duì)列長(zhǎng)度不知情時(shí)，到達(dá)系統(tǒng)的顧客有q的概率進(jìn)入隊(duì)列，因此隊(duì)列的實(shí)際加入率=qλ。排隊(duì)隊(duì)列中顧客的期望逗留時(shí)間為

1.3 壟斷情形下顧客排隊(duì)補(bǔ)償策略與定價(jià)模型

顧客的期望收益為[27]：

分情況討論顧客的均衡策略：

當(dāng)(R-P)(μ-λ) ＜he-δα＜(R-P)μ時(shí)，一部分顧客選擇離開(kāi)隊(duì)列，一部分顧客選擇加入隊(duì)列，顧客加入隊(duì)列的概率為：

當(dāng)he-δα≥(R-P)μ時(shí)，所有的顧客都離開(kāi)隊(duì)列，此時(shí)q= 0。而當(dāng)(R-P)(μ-λ) ≥he-δα?xí)r，所有的顧客都加入隊(duì)列，此時(shí)q= 1。

對(duì)于企業(yè)來(lái)說(shuō)，利潤(rùn)函數(shù)為：

命題1：對(duì)于企業(yè)來(lái)說(shuō)，當(dāng)補(bǔ)償成本一定時(shí)，存在一個(gè)唯一的補(bǔ)償水平α*，使得在顧客知曉隊(duì)列長(zhǎng)度的情況下達(dá)到利潤(rùn)最大化。

證明：對(duì)利潤(rùn)函數(shù)求導(dǎo)可知

當(dāng)he-δα=(R-P)μ時(shí)，π′α|he-δα=(R-P)μ=δμP-cα。

當(dāng)he-δα=(R-P)(μ-λ) 時(shí)，π′α|he-δα=(R-P)(μ-λ)=δ(μ-λ)P-cα。

因此，存在最優(yōu)的α*滿(mǎn)足：

推論1：當(dāng)補(bǔ)償成本c和顧客等待成本h一定時(shí)，隨著產(chǎn)品價(jià)格P的增加，所需最優(yōu)的補(bǔ)償水平α*增加。

對(duì)（6）求偏導(dǎo)得：

可以得到，α*隨著P單調(diào)遞增。

這是因?yàn)閮r(jià)格提高會(huì)降低顧客加入隊(duì)列的凈效用，因此需要給等候的顧客提供更多的補(bǔ)償以提高顧客加入隊(duì)列的概率。

那么令F′δ= 0,可得：將其代入F(α) = 0中可得也即是存在一個(gè)當(dāng)δ＜δ* 時(shí)，F(xiàn)′δ＞0，當(dāng)δ＞δ* 時(shí)，F(xiàn)′δ＜0。由于因此，當(dāng)δ＜δ*時(shí)，最優(yōu)的補(bǔ)償水平α*隨著補(bǔ)償有效性δ的增加而增加，當(dāng)δ＞δ*時(shí)，最優(yōu)的補(bǔ)償水平α*隨著補(bǔ)償有效性δ的增加而減少。

這是因?yàn)?，?dāng)δ較小時(shí)，企業(yè)為了提高顧客加入隊(duì)列的概率而給顧客提供較高的補(bǔ)償水平是不劃算的，此時(shí)，企業(yè)將選擇較低的等候補(bǔ)償水平。隨著δ的增加，企業(yè)會(huì)提高其給顧客的補(bǔ)償水平。然而當(dāng)δ足夠大時(shí)，給顧客提供的等候補(bǔ)償將會(huì)非常有效，因此不需要太高的補(bǔ)償水平。而當(dāng)補(bǔ)償成本較大時(shí)，提供過(guò)高的補(bǔ)償水平顯然得不償失。

企業(yè)的利潤(rùn)函數(shù)（3）對(duì)P求導(dǎo)，得：

由于而因此，當(dāng)給定的補(bǔ)償水平α滿(mǎn)足時(shí)，

此時(shí)存在最優(yōu)的P*，滿(mǎn)足0 使得企業(yè)的利潤(rùn)最大化。 此時(shí)，P*∈[R-

當(dāng)給定的補(bǔ)償水平α滿(mǎn)足時(shí)，，此時(shí)企業(yè)的利潤(rùn)隨著價(jià)格的增加而減少，因此最優(yōu)的價(jià)格為最低價(jià)格，即此時(shí)所有的顧客都會(huì)進(jìn)入隊(duì)列。

推論3：當(dāng)補(bǔ)償成本c和顧客等待成本h一定時(shí)，隨著企業(yè)提供給顧客的補(bǔ)償水平α的增加，最優(yōu)的產(chǎn)品定價(jià)P*也在增加。

綜上可知，隨著企業(yè)提供給顧客的補(bǔ)償水平α的增加，最優(yōu)的產(chǎn)品定價(jià)P*也在增加。這是因?yàn)椋?dāng)企業(yè)提供更高的補(bǔ)償水平的時(shí)候，一方面增加了成本，企業(yè)需要提高價(jià)格以維持利潤(rùn)，一方面增加了顧客的到達(dá)率，企業(yè)有動(dòng)力提高價(jià)格以獲得更高的利潤(rùn)。

推論4：對(duì)于企業(yè)來(lái)說(shuō)，如果補(bǔ)償水平對(duì)企業(yè)變得更有效（δ增大），那么最優(yōu)的產(chǎn)品定價(jià)P*也會(huì)增加。

所以如果補(bǔ)償水平對(duì)企業(yè)變得更有效（δ增大），那么最優(yōu)的產(chǎn)品定價(jià)P*也會(huì)增加。這說(shuō)明，隨著δ的增加，等候補(bǔ)償在減少顧客等待的負(fù)效用方面變得更加有效，反過(guò)來(lái)可以以更高的價(jià)格銷(xiāo)售服務(wù)。

2 不承諾等待時(shí)間：雙寡頭競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)的排隊(duì)系統(tǒng)顧客補(bǔ)償策略研究

2.1 問(wèn)題提出

上一節(jié)假設(shè)了市場(chǎng)中只有一個(gè)企業(yè)的情況下企業(yè)對(duì)排隊(duì)顧客的補(bǔ)償和定價(jià)策略，在本節(jié)中，加入市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)因素，模擬了提供相同服務(wù)類(lèi)型的公司之間的雙寡頭壟斷競(jìng)爭(zhēng)，在本節(jié)的假設(shè)中，每個(gè)公司都提供自己的等候補(bǔ)償，專(zhuān)門(mén)針對(duì)自己的客戶(hù)。

2.2 假設(shè)

不失一般性的，假設(shè)兩個(gè)服務(wù)提供者是對(duì)稱(chēng)的，兩個(gè)公司（企業(yè)i，企業(yè)j）提供的服務(wù)完全同質(zhì)，面對(duì)相同的市場(chǎng)，即最大的系統(tǒng)到達(dá)率都為λ。因此可以假設(shè)企業(yè)的加入率都為=qi,jλ，由于存在市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)，因此市場(chǎng)價(jià)格為統(tǒng)一市場(chǎng)價(jià)格，并由企業(yè)i和企業(yè)j的需求量決定，即：P=P0-m(qiλ+qjλ)，m表示需求的價(jià)格彈性，P0表示最高價(jià)格。由于市場(chǎng)上具有統(tǒng)一的價(jià)格，因此在考慮顧客選擇的期望效用模型時(shí)，可以不必考慮產(chǎn)品價(jià)格，假設(shè)顧客接受服務(wù)所得到的收益為R1（R1＜R，表示扣除了價(jià)格之后的純收益），則顧客加入隊(duì)列i的期望效用為：

2.3 模型分析

根據(jù)顧客的期望效用模型，當(dāng)R1(μ-λ) ＜he-δαi,j＜R1μ時(shí)，到達(dá)企業(yè)i（企業(yè)j）的一部分顧客選擇離開(kāi)隊(duì)列，一部分顧客選擇加入隊(duì)列，顧客加入隊(duì)列i（隊(duì)列j）的概率為(其中)，當(dāng)he-δαi,j≥(R1-P)μ時(shí)，所有的顧客都離開(kāi)隊(duì)列i（隊(duì)列j），此時(shí)qi,j= 0。而當(dāng)(R1-P)(μ-λ) ≥he-δαi,j時(shí)，所有的顧客都加入隊(duì)列，此時(shí)qi,j= 1。為了簡(jiǎn)化研究，本節(jié)只研究第一種情況下兩企業(yè)的博弈問(wèn)題。

對(duì)于企業(yè)i來(lái)說(shuō)，收益函數(shù)為：

命題3：在雙寡頭競(jìng)爭(zhēng)的情況下，當(dāng)其他條件一定時(shí)，企業(yè)i，企業(yè)j存在一個(gè)最優(yōu)的補(bǔ)償水平均衡αc，該補(bǔ)償均衡滿(mǎn)足：

證明：給定企業(yè)j對(duì)等候顧客的補(bǔ)償水平αj，企業(yè)i通過(guò)最優(yōu)的補(bǔ)償水平αi來(lái)最大化其利潤(rùn)，類(lèi)似于市場(chǎng)上只存在一個(gè)企業(yè)的情況，最佳的補(bǔ)償水平αi滿(mǎn)足以下一階條件：

令：

此時(shí)，給定一個(gè)αj的值且因此，對(duì)于以一個(gè)固定值αj，存在一個(gè)唯一的αie(αj)使得Z(αi*(αj),αj)= 0。因?yàn)閮蓚€(gè)企業(yè)是完全同質(zhì)的，在均衡的情況下，兩個(gè)企業(yè)必須選擇相同的補(bǔ)償水平。定義最優(yōu)的補(bǔ)償水平為αc，則，Z(αc,αc)= 0。

由此可得，兩個(gè)企業(yè)最優(yōu)的補(bǔ)償水平αc滿(mǎn)足：

此時(shí)顧客加入隊(duì)列的概率為：

3 承諾預(yù)期等待時(shí)間，企業(yè)排隊(duì)系統(tǒng)等候補(bǔ)償及等待時(shí)間保證策略

3.1 問(wèn)題提出

在當(dāng)今競(jìng)爭(zhēng)激烈的市場(chǎng)中，正如上文所述，價(jià)格往往是市場(chǎng)和消費(fèi)者博弈的結(jié)果，單個(gè)商家不具備改變價(jià)格的能力，因此服務(wù)水平和等候時(shí)間的保證是服務(wù)企業(yè)成功的兩個(gè)重要因素。雖然等候時(shí)間保證是一個(gè)很有力的營(yíng)銷(xiāo)武器，但是如果企業(yè)無(wú)法在保證的時(shí)間之內(nèi)服務(wù)顧客，將會(huì)使企業(yè)的商譽(yù)和信譽(yù)受到很大打擊，反而適得其反。因此，建立一個(gè)分析模型來(lái)研究企業(yè)如何在市場(chǎng)中制定等候補(bǔ)償和等候時(shí)間保證是很有用的。本章試圖解決的基本研究問(wèn)題是，在顧客對(duì)等候時(shí)間非常敏感的競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)中，企業(yè)如何選擇其等候補(bǔ)償水平和時(shí)間保證。

3.2 基本假設(shè)

假設(shè)1：由于本模型研究的是M/M/1 類(lèi)型的隊(duì)列，為了方便研究，可以使用顧客在排隊(duì)系統(tǒng)中的逗留時(shí)間（等待時(shí)間加服務(wù)時(shí)間）來(lái)近似企業(yè)提出的等待時(shí)間保證。由于到達(dá)率和服務(wù)率都服從負(fù)指數(shù)分布，因此如果企業(yè)提供的時(shí)間保證必須滿(mǎn)足ε(95%)的顧客，則等待時(shí)間約束為[25]：

也即是(μ-)t=ln(1-ε)表示顧客的實(shí)際到達(dá)率。

假設(shè)2：假設(shè)顧客的相繼到達(dá)系統(tǒng)最大到達(dá)率都為λ，由于顧客在到達(dá)企業(yè)時(shí)被承諾了預(yù)期等待時(shí)間，因此顧客獲得了隊(duì)列的完全信息。那么，實(shí)際的顧客加入率(join)受到服務(wù)價(jià)格P、預(yù)期等待時(shí)間t和企業(yè)為等候顧客提供的補(bǔ)償量α的影響，當(dāng)這些系數(shù)確定時(shí)，顧客的實(shí)際加入率也確定，本文根據(jù)Yuan等[19]的文獻(xiàn)對(duì)消費(fèi)者的加入率的假設(shè)，將加入率設(shè)為：

其中β表示消費(fèi)者對(duì)價(jià)格的敏感性，h表示每單位時(shí)間的等待成本，即顧客對(duì)等待的厭惡程度，δ表示給顧客提供的補(bǔ)償水平α的有效程度。正如假設(shè)所表示的那樣，補(bǔ)償水平α減少了顧客等待的厭惡程度。

假設(shè)3：提供等候補(bǔ)償是有成本的，為了提供α的補(bǔ)償水平，成本為C(α)。跟上文一致，根據(jù)yuan 等的文章，補(bǔ)償成本可以假設(shè)為[19]：

同時(shí)c為正常數(shù)，表示補(bǔ)償水平對(duì)成本的敏感系數(shù)。

假設(shè)4：企業(yè)的目標(biāo)是考慮選擇最優(yōu)的預(yù)期等待時(shí)間保證和最優(yōu)的補(bǔ)償水平，由于企業(yè)的預(yù)期時(shí)間保證與其服務(wù)率有關(guān)，因此本節(jié)加入對(duì)企業(yè)服務(wù)成本的考慮。假設(shè)企業(yè)服務(wù)一個(gè)顧客的邊際成本為γ，目標(biāo)函數(shù)為[19]：

3.3 模型分析

由公式（17）可知最優(yōu)的預(yù)期等待時(shí)間和等候區(qū)補(bǔ)償水平的目標(biāo)函數(shù)為：

其中，P為外生。也可以化簡(jiǎn)為：

命題4：給定企業(yè)的定價(jià)，最優(yōu)的補(bǔ)償水平αo滿(mǎn)足：(P-γ)htδe-δαo-cαo= 0

同時(shí)最優(yōu)的預(yù)期等待時(shí)間保證to滿(mǎn)足：γ)*he-δα= 0

證明：

對(duì)公式（18）求導(dǎo)得：

令二者為零可以的最優(yōu)的補(bǔ)償水平αo和標(biāo)準(zhǔn)等待時(shí)間to，因?yàn)椋?/p>

令，π″αα= -(P-γ)hδ2te-δα-c=A

將π′t= 0代入可得：

因此αo與to是最優(yōu)解。

推論5：最優(yōu)預(yù)期等待時(shí)間to隨著補(bǔ)償有效性δ的增大而增大；存在一個(gè)δo，當(dāng)δ＜δo時(shí)，最優(yōu)的補(bǔ)償量αo隨著δ的增加而增加，反之，最優(yōu)的補(bǔ)償量αo隨著δ的增加而減少。

證明：將π′t= 0帶入π′α= 0中得：

令：

對(duì)其求偏導(dǎo)得：

令Q′δ= 0 得：，將代入Q(α) = 0中得，顯然存在一個(gè)δo=當(dāng)δ＜δo時(shí)，Q′δ＞0，當(dāng)δ＞δo時(shí)，Q′δ＜0。

由π′t= 0得：

對(duì)其求導(dǎo)得：

因此，預(yù)期等待時(shí)間to隨著補(bǔ)償有效性δ的增大而增大。這是因?yàn)楫?dāng)補(bǔ)償?shù)挠行栽龃髸r(shí)，相同的補(bǔ)償水平下顧客的感知等待時(shí)間較低，企業(yè)可以適當(dāng)?shù)奶岣咂涞却龝r(shí)間保證。

推論6：隨著價(jià)格的升高，最優(yōu)的補(bǔ)償提供量αo應(yīng)當(dāng)增加。但是最優(yōu)的預(yù)期等待時(shí)間to應(yīng)當(dāng)減少。

證明：對(duì)公式（21）求偏導(dǎo)得：

這是因?yàn)椋?dāng)價(jià)格升高時(shí)，企業(yè)要維持其利潤(rùn)，必須增加其等待補(bǔ)償水平，并降低顧客的等待時(shí)間保證，以吸引更多的顧客。

4 研究結(jié)論

本文旨在研究企業(yè)面對(duì)排隊(duì)顧客時(shí)的最優(yōu)等待補(bǔ)償水平和最優(yōu)等待時(shí)間保證。因此，在理性顧客假設(shè)的基礎(chǔ)上，本文首先提出了壟斷企業(yè)面對(duì)M/M/1 排隊(duì)系統(tǒng)的顧客補(bǔ)償策略和定價(jià)策略，然后本文考慮了在雙寡頭競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)下企業(yè)面對(duì)排隊(duì)系統(tǒng)的補(bǔ)償策略模型。和以往的模型不同，在該模型中，顧客以一定的概率加入隊(duì)列，概率由顧客和企業(yè)雙方博弈決定，同時(shí)在雙寡頭壟斷的企業(yè)模型中考慮了企業(yè)的古諾博弈。在雙寡頭壟斷模型中，假設(shè)市場(chǎng)價(jià)格由市場(chǎng)對(duì)雙方的需求決定，每個(gè)企業(yè)都沒(méi)有單獨(dú)改變價(jià)格的動(dòng)力。

在當(dāng)今競(jìng)爭(zhēng)激烈的市場(chǎng)中，許多服務(wù)公司都在向顧客提供等待的時(shí)間保證。本文在進(jìn)一步的研究中考慮到了這一點(diǎn)，設(shè)計(jì)了一個(gè)分析等候補(bǔ)償和等候時(shí)間策略的模型。該模型考慮了市場(chǎng)和企業(yè)的幾個(gè)主要特征的本質(zhì)，例如當(dāng)顧客知曉了等待時(shí)間、價(jià)格以及等候補(bǔ)償水平時(shí)，實(shí)際到達(dá)率是定值。

本文的工作可以總結(jié)為以下4點(diǎn)：

（1）基于顧客存在感知等待時(shí)間的情形，構(gòu)建了顧客的期望效用模型和企業(yè)的收益函數(shù)。

（2）基于顧客的期望效用模型和企業(yè)收益函數(shù)，提出了壟斷情形下企業(yè)存在最優(yōu)的等待補(bǔ)償水平?jīng)Q策與價(jià)格決策。同時(shí)，分析了價(jià)格和等待補(bǔ)償水平的相互影響作用。

（3）考慮雙寡頭企業(yè)的古諾均衡博弈，雙寡頭壟斷下企業(yè)具有同質(zhì)的產(chǎn)品和服務(wù)，得到了雙寡頭企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)時(shí)顧客加入隊(duì)列的概率和兩個(gè)企業(yè)最優(yōu)的補(bǔ)償水平。

（4）當(dāng)將企業(yè)的等待時(shí)間保證加入模型時(shí)，本研究得到了企業(yè)同時(shí)決策補(bǔ)償水平和等待時(shí)間保證下的最優(yōu)解析解。并進(jìn)行了相應(yīng)的敏感性分析。

通過(guò)模型分析，本文的研究得到了如下成果：第一，企業(yè)在寡頭壟斷和雙寡頭競(jìng)爭(zhēng)下的最優(yōu)等候補(bǔ)償水平?jīng)Q策的解析解。第二，得到了企業(yè)同時(shí)考慮預(yù)期等待時(shí)間和等待補(bǔ)償水平時(shí)的解析解。第三，當(dāng)企業(yè)的等候補(bǔ)償水平變得更有效時(shí)（即顧客對(duì)等候補(bǔ)償?shù)拿舾行裕?，存在一個(gè)敏感性的閾值，高于這個(gè)閾值時(shí)，補(bǔ)償水平越有效，所需的補(bǔ)償水平越低，反之，補(bǔ)償水平越高。

本模型的研究結(jié)果有助于識(shí)別時(shí)間保證和等候補(bǔ)償競(jìng)爭(zhēng)中的關(guān)鍵市場(chǎng)因素和重要的企業(yè)特征，并對(duì)企業(yè)在不通過(guò)市場(chǎng)環(huán)境下如何選擇競(jìng)爭(zhēng)具有重要的啟示意義。

基于本研究，服務(wù)企業(yè)在面對(duì)排隊(duì)顧客時(shí)，可以考慮為顧客提供等候補(bǔ)償和等待時(shí)間保證服務(wù)，并針對(duì)不同的市場(chǎng)情形考慮不同的等候補(bǔ)償策略和等待時(shí)間保證策略。但是在考慮提供等候補(bǔ)償和等待時(shí)間保證時(shí)，應(yīng)當(dāng)充分考慮價(jià)格和顧客對(duì)等候補(bǔ)償?shù)拿舾行缘挠绊?。例如，?dāng)定價(jià)較高時(shí)，應(yīng)當(dāng)有較高的補(bǔ)償水平來(lái)“對(duì)沖”高價(jià)格帶來(lái)的負(fù)效用。當(dāng)?shù)群蜓a(bǔ)償?shù)挠行蕴岣邥r(shí)，應(yīng)當(dāng)具體分析是否超過(guò)顧客敏感性的閾值之后在決策補(bǔ)償水平。

本文的研究還具有一定的局限性，例如本文討論了最基本的M/M/1 排隊(duì)模型，而真實(shí)的系統(tǒng)往往不止一個(gè)服務(wù)臺(tái)，也不具備無(wú)限的等候空間，甚至顧客也未必是完全理性和完全信息的。同時(shí)，在現(xiàn)實(shí)生活中，市場(chǎng)上可能具有兩個(gè)以上的服務(wù)供應(yīng)商，同時(shí)服務(wù)供應(yīng)商也未必是對(duì)稱(chēng)的。另外，在實(shí)際生活中，企業(yè)可以調(diào)整其服務(wù)速率，顧客的到達(dá)率也會(huì)受到更多條件的影響，顧客在加入隊(duì)列后也會(huì)有中途離開(kāi)（balk）的可能性，這些都需要進(jìn)一步的研究。