貨架管理模型的選品與布局啟示＊
——以自動售貨機為例

■ 毛宇晨 黎俊

中國科學院大學經濟與管理學院 北京 100190

0 引言

隨著中國在線支付技術的發(fā)展，貨架管理問題已成為零售企業(yè)面臨的熱點問題。具體而言，出于日益增加的商品種類數(shù)量與有限貨架空間之間的矛盾：一方面，可供銷售的商品種類日益增多，不同商品其規(guī)格與需求不同；另一方面，盡管零售企業(yè)已改良自動售貨機內部結構以擴大商品擺放數(shù)量，但是仍存在自動售貨機空間大小的限制。因此，如何科學地決策自動售貨機的商品種類以及設計貨架商品布局以提高零售企業(yè)收益尤為關鍵。

作為供應鏈管理領域的一個重要問題，本研究首先回顧與本研究關系最為密切的貨架管理相關研究。Baron 等[1]分析了多商品的聯(lián)合貨架布局與庫存決策問題，其中商品需求受貨架布局以及庫存水平影響；Urban等[2]分別研究了選品與貨架布局模型，并將其拓展到多產品、多約束的情形；Hübner等[3]首次提出同時決策選品與貨架布局的貨架管理模型，其考慮了需求的隨機性與空間彈性、以及替代商品的影響；Geismar 等[4]考慮了二維矩形空間分配問題，其中產品需求由其排列位置決定；Hübner等[5]進一步總結了二維貨架管理模型的建模與求解方法；更多相關研究見Xue 等[6]以及Irion 等[7]。除此，大多數(shù)選品相關文章都與顧客選擇模型(choice model)有關[8-9]。一方面，大多數(shù)關于貨架管理的研究僅考慮選品問題[8,10-11]或貨架布局問題[2,6-7]，而實際中貨架管理包含選品與貨架布局兩個方面，因此同時決策選品與貨架布局尤為關鍵；另一方面，貨架管理的許多研究都基于一組給定的商品，通過將高維貨架縮減為一維空間來設計具有空間彈性需求的貨架布局，然而其并沒有全面考慮零售商要求的商業(yè)規(guī)則[12-14]與貨架復雜結構。

基于目前文獻中缺乏同時決策選品與貨架布局以及考慮商業(yè)規(guī)則的相關研究，本研究考慮了某些商業(yè)規(guī)則，包括商品與貨架之間的規(guī)格適配性，每一層貨架的商品容納能力以及商品放置的連續(xù)性，提出了同時決策選品與貨架布局的貨架管理模型，目標是最大化期望總收益，約束是滿足上述真實商業(yè)規(guī)則。然而該模型的約束中存在二次項難以直接求解，本研究進一步通過線性化技術將原始貨架管理模型轉化為整數(shù)線性規(guī)劃模型，并提出與零售價、邊際利潤以及需求相關的管理啟示，以指導零售商進行選品以及設計貨架布局：為了獲得更高的期望收益，一方面，當需求與邊際利潤滿足某些關系時，隨著N增大，決策將由需求導向轉變?yōu)檫呺H利潤導向；另一方面，當需求與零售價滿足某些關系時，決策始終是零售價導向的。其優(yōu)勢在于零售商可以直接根據商品歷史零售價、邊際利潤以及需求信息，決策選品以及設計貨架布局，而無需求解一個整數(shù)規(guī)劃模型。最后，本研究提出原始貨架管理模型的抽樣平均近似模型，并給出數(shù)值例子驗證管理啟示。本研究最主要的創(chuàng)新點在于提出了一類多產品多周期的基于報童模型的貨架管理模型，其同時考慮了選品與貨架布局以及某些真實商業(yè)規(guī)則。

1 自動售貨機的貨架管理模型

1.1 問題描述

考慮一個包含J個貨架的自動售貨機，并且每個貨架j都有Kj列空間用于放置商品，其中j∈[J]={1,2,…,J}。總商品類別數(shù)量表示為I，貨架j上的每一列最多可以放置bij個商品Ci，其中i∈[I]={1,2,…,I}。每個商品Ci的零售價與訂購成本分別用pi與ci表示。本研究僅考慮一個銷售周期，商品種類以及貨架布局決策在一個銷售周期內是固定的，且該周期包含T個補貨周期，每個補貨周期包含N個單位時間（如天，周），因此，N決定了單個補貨周期的時間。此外，自動售貨機的商品會在每個補貨周期t開始時定期補貨，補貨遵循選品以及貨架布局決策，每次補貨的固定成本為C0。我們將周期t中單位時間需求表示為，這是一個隨機變量。期初，零售企業(yè)決策自動售貨機售賣商品種類以及貨架布局，用y=(yij)i∈[I],j∈[J]表示，其中yij∈Z+是一個整數(shù)變量，表示自動售貨機貨架j上放置商品Ci的列數(shù)。

在一個補貨周期t中，商品Ci的總需求為，并且根據貨架空間分配決策y，每種商品Ci的總庫存量為，我們用Z1(d,y)表示在第一個補貨期內自動售貨機的收益：

此外，補貨周期t∈[2;T]內自動售貨機的收益Zt(d,y)表示為：

整體上，我們用Z(d,y)表示一個銷售周期內的總收益，它是所有補貨周期收益的總和：

其中[a]+:=max{a,0}。

1.2 商業(yè)規(guī)則

商業(yè)規(guī)則1（商品與貨架之間的規(guī)格適配性）每層貨架可以放置不同規(guī)格的商品，而某些規(guī)格的商品只允許放置在某些貨架上，如Bai 等[13]與Düsterh?ft 等[15]提出只允許高度比貨架高度低的商品放置在該貨架上，本研究將其建模為以下約束條件：

其中aij是一個預先給定的0-1 常數(shù)，如果允許商品Ci放置在貨架j上，則aij= 1，否則為0；

商業(yè)規(guī)則2（每層貨架的容量）由于每一層貨架的空間有限，則需要限制每一層貨架放置商品的列數(shù)。數(shù)學上，將其表示為

商業(yè)規(guī)則3（商品放置的連續(xù)性）考慮到零售商通常希望將同一商品放置在相同的高度上，以呈現(xiàn)較大的吸引力（如Bai 等[13]，Düsterh?ft 等[15]），本研究將其建模為以下約束條件：

基于上述商業(yè)規(guī)則1-3，目標為最大化一個銷售周期內的總收益函數(shù)(1)，本研究提出如下原始貨架管理模型：

其中目標函數(shù)為最大化一個銷售周期內總期望收益；前三個約束分別表示上述3 個商業(yè)規(guī)則，最后一個約束表明決策變量是一個非負整數(shù)，表示自動售貨機貨架j上放置商品Ci的列數(shù)。然而，由于第三組約束中存在決策變量的二次項，該模型難以直接求解，下一節(jié)將提出原始貨架管理模型的等價整數(shù)線性規(guī)劃模型。

1.3 線性貨架管理模型

考慮到原始貨架管理模型難以求解，本節(jié)將利用線性化技術，引入輔助0-1 決策變量x=(xij)i∈[I],j∈[J]，其中xij= 1 表示自動售貨機貨架j上放置商品Ci，否則xij= 0，則原始貨架管理模型(5)可以等價轉化為如下線性貨架管理模型

上述等價性由如下命題給出。

命題1.原始貨架管理模型(5)等價于線性貨架管理模型(6)。

證明：首先，兩個模型的目標函數(shù)相同且僅與y有關，則證明該命題只需要分別證明其中一個模型的最優(yōu)解y?為另一個模型可行解即可。

一方面，假設y?為原始貨架管理模型的最優(yōu)解，令

另一方面，假設(y?,x?)為線性貨架管理模型的最優(yōu)解，根據約束∑j∈[]J xij≤1,?i∈[I]，對于?i∈[I]，如果存在j∈[J]使得= 1，則有= 0,?l∈[J],j≠l，此時，根 據 約 束yij≤Kjxij,?i∈[I],j∈[J]，則 有y?il=0,?l∈[J],j≠l，此時y?滿足原始貨架管理模型約束條件；否則對于?j∈[J]，都有= 0，則有= 0，y?同樣滿足原始貨架管理模型約束條件，因此y?為原始貨架管理模型的可行解，命題得證。

2 商品邊際利潤、零售價與需求對貨架管理模型的影響分析

為了獲得有關選品以及貨架布局的管理啟示，本節(jié)將分析商品邊際利潤、零售價與需求對貨架管理模型的影響。

實際上，為了獲得更高的利潤，管理者會從兩方面進行決策：一是當補貨周期較短時，大部分商品存在剩余，管理者會根據商品歷史需求信息，決策選擇期望利潤較高的商品；而當補貨周期較長時，大部分商品售罄，管理者會決策選擇邊際利潤更高的商品。接下來從理論上驗證上述觀點。

為了簡單起見，本節(jié)僅考慮單層貨架且只能容納一列商品的特殊情況，且假設各補貨周期商品需求相等，令

此時，原始貨架管理模型(5)簡化為

基于上述簡化模型，接下來各小節(jié)分別討論當具有相同訂購成本與不同訂購成本時，商品邊際利潤、零售價與需求對單個貨架商品選擇的影響。

2.1 相同訂購成本下商品邊際利潤、零售價與需求對貨架管理模型的影響分析

假設存在A,B,C,D共4 類商品，其訂購成本均為c，而相應的零售價、邊際利潤與需求如下

其中p1≥p2,r1≥r2,d1≤d2。如果該貨架對四類商品的容納數(shù)量相同，即b ∶= bA= bB= bC= bD，則有或者，其來自于

顯然應該首先選擇商品A，最后選擇商品D，然而商品B與C的選擇順序仍無法確定。接下來，本研究給出以下引理以及定理來說明這兩類商品的選擇方法，同時揭示了商品選擇順序與商品邊際利潤、零售價與需求之間的關系。

引理1假設只能容納一列商品的單層貨架上需放置數(shù)量b、且滿足此列規(guī)格的商品B或C，兩者的訂購成本均為c，且商品B與C的需求與邊際利潤滿足關系

則有

證明：只需要在商品B與C之間選擇平均利潤更高的商品，其可以表示為

A.如果N≥NB，則有

此時，-=(r1- r2)b ≥0，則首先選擇邊際利潤更大的商品B；

B.如果N≤NC，則有

此時，可以得到

因此，在前一種情況下，首先選擇邊際利潤更大的商品B；而在后一種情況下，首先選擇需求更高的商品C；

C.如果NB≥N≥NC，則有

此時，可以得到

考慮以上所有情況，可以得出引理中的結論，引理得證。

管理啟示1：為了獲得更高的期望收益，當r1d1-時，對于任意N，首先選擇邊際利潤更大的商品B；否則，當N較小時，決策是需求導向的，即首先選擇需求更高的商品C，并且隨著N增大，決策由需求導向轉變?yōu)檫呺H利潤導向，即首先選擇邊際利潤更大的商品B。

引理2假設只能容納一列商品的單層貨架上需放置數(shù)量b、且滿足此列規(guī)格的商品B或C，兩者的訂購成本均為c，且商品B與C的需求與零售價滿足關系

對于任意N，首先選擇零售價更高的商品B。

證明：根據引理假設，可以得到

可以根據引理1直接得到該引理結論，得證。

管理啟示2：當需求與零售價滿足上述關系時，決策始終是零售價導向的，也就是說，對于任意N，都應該首先選擇零售價更高的商品B。

引理1 與引理2 僅給出了基于兩類商品的管理啟示，下面定理1與定理2拓展到多商品的管理啟示。

定理1假設只能容納一列商品的單層貨架上需放置數(shù)量b、且滿足此列規(guī)格的商品Ci,i∈[I]，其訂購成本均為c，且這些商品的需求d1,…,dI與邊際利潤r1,…,rI滿足關系

證明：根據定理假設，可以將不等式兩邊同時疊加得到

因此，任意一組商品Ci與Cj可以依據引理1 進行選擇，此時，可以將N分為三部分來證明定理結論。

根據引理1，首先選擇邊際利潤更大的商品C1；

根據引理1，首先選擇需求更高的商品CI；

C.如果存在I- 1 ≥i≥2 使得，首先考慮右端不等式，則有

其中第二個不等式成立來自于不等式(8)，根據引理1，對于商品Cj,j∈[i]，首先選擇邊際利潤更大的商品Ci；另一方面，考慮左端不等式，則有

其中第二個不等式成立來自于不等式(8)，根據引理1，對于商品Cj,j∈[i:I]，首先選擇邊際利潤更大的商品Ci，定理得證。

管理啟示3：定理1 將引理1 拓展到了多商品的情況，其同樣表明為了獲得更高的期望收益，隨著N增大，決策將由需求導向轉變?yōu)檫呺H利潤導向。

定理2假設只能容納一列商品的單層貨架上需放置數(shù)量b、且滿足此列規(guī)格的商品Ci,i∈[I]，其訂購成本均為c，且這些商品的需求d1,…,dI與零售價p1,…,pI滿足關系

則對于任意N，首先選擇零售價更高的商品C1；此外，如果該貨架能容納K列商品，則選擇零售價較高的商品C1,…,CK。

證明：對于任意商品Cj,j∈[2:I]，根據定理條件，則有

因此任意一組商品C1與Cj可以依據引理2 進行選擇，則有對于任意N，首先選擇零售價更高的商品C1；如果該貨架能容納K列商品，每次選擇一個商品，然后在剩余產品中繼續(xù)按照上述方法進行選擇，最終選擇出零售價較高的商品C1,…,CK，定理得證。

管理啟示4：定理2 同樣將引理2 拓展到了多商品的情況，當需求與零售價滿足上述關系時，決策始終是零售價導向的。

2.2 不同訂購成本下商品邊際利潤、零售價與需求對貨架管理模型的影響分析

上一節(jié)考慮各商品訂購成本是相同的，本節(jié)將拓展到不同訂購成本的情況，并基于上節(jié)提出的引理與定理，提出以下推論分析商品邊際利潤、零售價與需求對貨架管理模型的影響。

推論1假設只能容納一列商品的單層貨架上需放置數(shù)量b、且滿足此列規(guī)格的商品B或C，兩者的需求、邊際利潤以及訂購成本滿足關系

則有

（1）當

對于任意N，將首先選擇邊際利潤更大的商品B。

（2）當

證明：該推論證明方法與引理1證明方法完全類似，因此本研究省略了該部分證明。

推論2假設只能容納一列商品的單層貨架上需放置數(shù)量b、且滿足此列規(guī)格的商品Ci,i∈[I]，這些商品的需求、邊際利潤以及訂購成本滿足關系

證明：該推論證明方法與定理1證明方法完全類似，因此本研究省略了該部分證明。

推論3假設只能容納一列商品的單層貨架上需放置數(shù)量b、且滿足此列規(guī)格的商品B或C，兩者的需求、零售價以及訂購成本滿足關系

對于任意N，首先選擇零售價更高的商品B。

證明：該推論證明方法與引理2證明方法完全類似，因此本研究省略了該部分證明。

推論4假設只能容納一列商品的單層貨架上需放置數(shù)量b、且滿足此列規(guī)格的商品Ci,i∈[I]，這些商品的需求、零售價以及訂購成本滿足關系

則對于任意N，首先選擇零售價更高的商品C1；此外，如果該貨架能容納K列商品，則選擇零售價較高的商品C1,…,CK。

證明：該推論證明方法與定理2證明方法完全類似，因此本研究省略了該部分證明。

上述推論將上一節(jié)引理與定理拓展到訂購成本不同的情形。

管理啟示5：為了獲得更高的期望收益，一方面，當需求與邊際利潤滿足某些關系時，隨著N增大，決策將由需求導向轉變?yōu)檫呺H利潤導向；另一方面，當需求與零售價滿足某些關系時，決策始終是零售價導向的。

3 實驗研究

本節(jié)將提出原始貨架管理模型的抽樣平均近似模型，并設計數(shù)值實驗驗證管理啟示。

3.1 抽樣平均近似模型

首先，根據命題1，原始貨架管理模型(5)等價轉化為

其中

3.2 數(shù)值例子

本節(jié)將利用零售企業(yè)便利蜂某門店的真實銷售數(shù)據設計數(shù)值實驗，其包含了2019年下半年該門店自動售貨機銷售的部分商品品類、零售價、邊際利潤以及需求量等數(shù)據，進一步基于這些樣本求解抽樣平均近似模型(9)并驗證管理啟示。

首先表1給出了自動售貨機的基本設置：自動售貨機有5層貨架，且每層貨架的商品容納列數(shù)不同；每一列可以容納不同數(shù)量的商品。假設固定補貨成本C0= 10。

表1 自動售貨機的規(guī)格

令總補貨周期T= 7，接下來調整N∈{1,5,9}，圖1與圖2分別給出樣本平均近似模型最優(yōu)決策所選商品的邊際利潤與平均需求、零售價與平均需求之間的關系，其中橫坐標表示商品平均需求，縱坐標分別表示商品的邊際利潤與零售價。

圖1與圖2均驗證了管理啟示5：隨著N增大，所選商品由右下向左上移動，其反映了N較小時，模型首先選擇需求較高的商品，隨著N增大，決策由需求導向轉變?yōu)檫呺H利潤或零售價導向，此時選擇邊際利潤或零售價較高的商品，同時表明單貨架的管理啟示可以拓展到多貨架的情形。該結果在實際中也是合理的：當N較小時，單個補貨周期的周期短，大多數(shù)商品售罄前就開始補貨，此時模型傾向于選擇高需求商品，以達到薄利多銷獲取更高利潤；而隨著N增大，單個補貨周期的周期短，大多數(shù)商品售罄，此時模型傾向于選擇高邊際利潤或零售價的商品，以獲取更高利潤。

圖1 抽樣平均近似模型最優(yōu)決策所選商品的邊際利潤與平均需求之間的關系圖

圖2 抽樣平均近似模型最優(yōu)決策所選商品的零售價與平均需求之間的關系圖

為了進一步展示抽樣平均近似模型最優(yōu)決策所選商品的特征，圖3給出了不同N下所選商品的平均零售價、平均邊際利潤以及平均需求變化情況：隨著N增大，所選商品平均零售價以及平均邊際利潤增大，同時所選商品平均需求降低，進一步驗證了隨著N增大，決策將由需求導向轉變?yōu)榱闶蹆r導向以及邊際利潤導向。

圖3 不同N下抽樣平均近似模型最優(yōu)決策所選商品的平均零售價、平均邊際利潤以及平均需求的變化圖

4 結語

本研究基于一些真實商業(yè)規(guī)則，包括商品與貨架之間的規(guī)格適配性、每一層貨架的商品容納能力以及商品放置的連續(xù)性，提出了同時決策選品與貨架布局的貨架管理模型，目標是最大化期望總收益。然而該模型的約束中存在二次項難以直接求解，本研究進一步通過線性化技術將原始貨架管理模型轉化為整數(shù)線性規(guī)劃模型，并提出與零售價、邊際利潤以及需求相關的管理啟示，以指導零售商進行選品以及設計貨架布局：一方面，當需求與邊際利潤滿足某些關系時，隨著N增大，決策將由需求導向轉變?yōu)檫呺H利潤導向；另一方面，當需求與零售價滿足某些關系時，決策始終是零售價導向的。其優(yōu)勢在于零售商可以直接根據商品歷史零售價、邊際利潤以及需求信息，決策選品以及設計貨架布局，而無需求解一個整數(shù)規(guī)劃模型。最后，本研究提出原始貨架管理模型的抽樣平均近似模型，并給出數(shù)值例子驗證管理啟示。實際中，商品需求存在不確定性，并且其直接影響管理決策，而本研究缺乏對需求不確定性的建模與處理，因此如何引入需求不確定性值得進一步研究。針對該問題，未來可以從兩個方向進行深入研究，一方面是利用魯棒優(yōu)化技術建立魯棒優(yōu)化模型，另一方面是引入顧客選擇模型，并將其嵌入貨架管理模型。