對(duì)稱及反對(duì)稱矩陣空間的保持逆矩陣的函數(shù)

樊玉環(huán)，袁海燕，魏 喆

(黑龍江工程學(xué)院 理學(xué)院，哈爾濱 150010)

定義在域到域自身的函數(shù)，若矩陣經(jīng)函數(shù)后所得新矩陣的秩等于原矩陣的秩，則稱函數(shù)是保秩的.例如文獻(xiàn)[1]給出了連續(xù)函數(shù)保秩的充要條件是函數(shù)是線性函數(shù)，文獻(xiàn)[2]給出了完整的保所有矩陣秩的函數(shù)形式，文獻(xiàn)[3]給出了大于等于2階矩陣保秩的函數(shù)的形式；函數(shù)保持的基本思想之一是改變已有函數(shù)所作用的集合，例如文獻(xiàn)[4]研究保秩的函數(shù)從文獻(xiàn)[1-3]中的全矩陣空間改變成對(duì)稱矩陣、反對(duì)稱矩陣及上三角矩陣空間上的保秩的函數(shù)的形式；函數(shù)保持的基本思想還有尋求新的不變量.例如文獻(xiàn)[4]中引入了新的不變量保行列式、保伴隨、保冪等，若矩陣經(jīng)函數(shù)后所得新矩陣的行列式等于原矩陣的行列式，則稱函數(shù)是保行列式的；若有兩個(gè)矩陣，其中一個(gè)是另外一個(gè)的伴隨矩陣，經(jīng)函數(shù)后所得兩個(gè)矩陣仍是一個(gè)矩陣是另一個(gè)矩陣的伴隨矩陣，則稱函數(shù)是保伴隨的；若滿足一個(gè)冪等(冪零)矩陣經(jīng)過函數(shù)后所得的新矩陣仍是冪等(冪零)矩陣，則稱此函數(shù)是域上保冪等(冪零)的函數(shù)；文獻(xiàn)[4]給出了全矩陣空間上保行列式、保伴隨及保冪等的函數(shù)形式；根據(jù)函數(shù)保持的基本思想，文獻(xiàn)[5]給出了上三角矩陣空間上的保持冪等矩陣的函數(shù)的形式，但其他特殊的矩陣空間，例如對(duì)稱矩陣空間、反對(duì)稱矩陣空間等上的保冪等的函數(shù)還有待于進(jìn)一步研究；文獻(xiàn)[6]給出了特殊矩陣空間上的保行列式的函數(shù)形式；文獻(xiàn)[7-9]則是尋求了新的不變量.在文獻(xiàn)[10-12]中研究了可逆矩陣的性質(zhì)及其求法.本文是在文獻(xiàn)[9]的基礎(chǔ)上研究了對(duì)稱矩陣空間及反對(duì)稱矩陣空間上的保持逆矩陣的函數(shù)的形式.

1 符號(hào)及基本概念

設(shè)F是特征不為2的域,F*表示F/{0},Sn(F)為F上所有n階對(duì)稱矩陣的全體,SKn(F)為F上所有n階上反對(duì)稱矩陣的全體,E為單位矩陣，A=(aij)，Af=(f(aij))，AT為A的轉(zhuǎn)置矩陣.

定義1.1[13]設(shè)n階矩陣A=(aij)n×n，若存在n階矩陣B，滿足AB=BA=E，稱B為A的逆矩陣.

定義1.2[13]若矩陣A=(aij)n×n滿足A=AT，則稱A為對(duì)稱矩陣.

定義1.3 若矩陣A=(aij)n×n滿足AT=-A，則稱A為反對(duì)稱矩陣.

定義1.5[14-15]若f:F→F滿足f(a+b)=f(a)+f(b),f(ab)=f(a)f(b).則稱f:F→F是同態(tài).

2 對(duì)稱矩陣空間上保逆矩陣的函數(shù)

定理2.1f是n(n≥3)階對(duì)稱矩陣空間上的保持逆矩陣的函數(shù)充要條件是f=cδ，其中c是1或者-1，δ是域F上的滿足δ(1)=1單自同態(tài).

證明先證明充分性

由f的定義，可知AfBf的(i,j)元為

f(ai1)f(b1j)+f(ai2)f(b2j)+…+f(ain)f(bnj)

若f=δ，由δ的定義知

f(ai1)f(b1j)+f(ai2)f(b2j)+…+f(ain)f(bnj)=

δ(ai1)δ(b1j)+δ(ai2)δ(b2j)+…+δ(ain)δ(bnj)=

若f=-δ，由δ的定義知

f(ai1)f(b1j)+f(ai2)f(b2j)+…+f(ain)f(bnj)=

(-δ(ai1))(-δ(b1j))+(-δ(ai2))(-δ(b2j))+

…+(-δ(ain))(-δ(bnj))=

δ(ai1)δ(b1j)+δ(ai2)δ(b2j)+…+δ(ain)δ(bnj)=

下面證明必要性

由Af,f的定義，可知

f2(1)+2f(1)f(0)+(n-3)f2(0)=1

(1)

f2(1)+f(1)f(-1)+f(0)f(-1)+(n-3)f2(0)=0

(2)

f2(1)+f(1)f(-1)+(n-2)f2(0)=0

(3)

f2(1)+f(1)f(0)+f(1)f(-1)+(n-3)f2(0)=0

(4)

f2(1)+f2(-1)+f(1)f(-1)+(n-3)f2(0)=0

(5)

f2(-1)+2f(1)f(0)+(n-3)f2(0)=1

(6)

由式(1)、(6)可知

f2(1)=f2(-1)

(7)

由式(2)、(4)可知

f(1)f(0)=f(-1)f(0)

(8)

由式(4)、(5)可知

f2(-1)-f(1)f(0)=1

(9)

由式(2)、(3)可知

f2(0)=f(-1)f(0)

(10)

由式(5)、(6)可知

f2(1)+f(1)f(-1)=2f(1)f(0)

(11)

由式(7)可知f(1)=±f(-1)，若f(1)=f(-1)，則由式(9)可知f(1)(f(1)-f(0))=1可得f(1)≠0,且f(1)≠f(0).再由式(11)可知f2(1)=f(0)f(1)，由f(1)≠0可得f(1)=f(0).產(chǎn)生矛盾，所以f(1)=f(-1)這種情況不成立，故

f(1)=-f(-1)

(12)

由式(8)、(12)可得

f(0)=0

(13)

由式(9)、(13)可得

f2(-1)=1

(14)

(15)

由Af,f的定義及式(13)可得

(16)

f(a)=-f(-a)

(17)

由Af,f的定義及式(13)可得

f(1)f(1)+f(1+a)f(-1)+f(a)f(1)=0

(18)

再利用式(15)、(17)可得

f(1)+f(a)=f(1+a)

(19)

由Af,f的定義式(13)、(17)可得

(20)

利用式(15)可得

f(1)f(ab)=f(a)f(b)

(21)

下面證明δ是域F上的滿足δ(1)=1單自同態(tài).

由式(14)、(17)可知f2(1)=1

當(dāng)f(1)=1時(shí)，令δ=f

應(yīng)用式(21)得

δ(ab)=f(ab)=f(1)f(ab)=

f(a)f(b)=δ(a)δ(b)

即

δ(ab)=δ(a)δ(b)

(22)

應(yīng)用式(19)、(22)得

f(a)+f(b)=δ(a)+δ(b)

即

δ(a+b)=δ(a)+δ(b)

(23)

當(dāng)f(1)=-1時(shí)，令δ=-f

應(yīng)用式(21)得

δ(ab)=-f(ab)=f(1)f(ab)=

f(a)f(b)=δ(a)δ(b)

即

δ(ab)=δ(a)δ(b)

(25)

應(yīng)用式(19)、(25)得

-f(a)-f(b)=δ(a)+δ(b)

即

δ(a+b)=δ(a)+δ(b)

(26)

由以上證明可知無論哪種情況，δ都是域F上的自同態(tài).

由式(15)可得

(27)

若δ(a)=δ(b)，則f(a)=f(b)，f(a)-f(b)=0，應(yīng)用式(17)f(a)+f(-b)=0，即δ(a)+δ(-b)=0，應(yīng)用式(23)或式(26)δ(a-b)=0，即f(a-b)=0，應(yīng)用式(27)得a=b.從而δ是域F上的單自同態(tài).

在情況1中，δ(1)=f(1)=1，在情況2中，δ(1)=-f(1)=1，總之無論哪種情況，δ(1)=1從而f是n階對(duì)稱矩陣空間的保持逆矩陣的函數(shù)一定能得到f=cδ，δ是域F上的滿足δ(1)=1單自同態(tài).

定理2.2f是二階對(duì)稱矩陣空間上的保持逆矩陣的函數(shù)充要條件是f=f(1)δ，其中δ是域F上的單自同態(tài).

證明充分性顯然，下面證明必要性.

f(1)f(0)=0

(28)

f2(1)+f2(0)=1

(29)

這與f是二階對(duì)稱矩陣空間上的保持逆矩陣的定義矛盾，所以f(1)=0不成立，即有

f(0)=0

(30)

f2(1)=1

(31)

(32)

f(-a)=-f(a)

(33)

f(1)f(ab)=f(a)f(b)

(34)

f(b+1)=f(b)+f(1)

(35)

令δ=f-1(1)f，類似于定理2.1中的證明可得δ是域F上的單自同態(tài).

3 反對(duì)稱矩陣空間上保逆矩陣的函數(shù)

定理3.1f是四階反對(duì)稱矩陣空間上的保持逆矩陣的函數(shù)充要條件是f=f-1(1)δ，其中δ是域F上的滿足δ(1)=1單自同態(tài).

證明先證明充分性

記aij=-aij,bij=-bji(i≠j),aii=bii=0

f(ai1)f(b1j)+f(ai2)f(b2j)+f(ai3)f(b3j)+f(ai4)f(b4j)，且1=δ(1)=f(1)/f-1(1)=f2(1)，故

f(ai1)f(b1j)+f(ai2)f(b2j)+f(ai3)f(b3j)+f(ai4)f(b4j)=

f2(1)f(ai1)f(b1j)+f2(1)f(ai2)f(b2j)+f2(1)f(ai3)f(b3j)+f2(1)f(ai4)f(b4j)=

δ(ai1)δ(b1j)+δ(ai2)δ(b2j)+δ(ai3)δ(b3j)+δ(ai4)δ(b4j)

說明若f=f-1(1)δ，其中δ是域F上的滿足δ(1)=1單自同態(tài)，則f是四階反對(duì)稱矩陣空間的保持逆矩陣的函數(shù).

下面證明必要性

由Af的定義及Af∈SK4(F)可知

f(0)=0

(36)

f(-a)=-f(a)

(37)

(38)

根據(jù)Af、f的定義及式(36)、(37)可知

f(1)f(2)+f(x)f(1)-f(1+x)f(1)=1

(39)

(40)

在式(38)中令a=1，可得

f2(1)=1且f(1)≠0

(41)

則式(39)可化成

f(1)f(2)+f(x)f(1)-f(1+x)f(1)=f2(1)

兩邊同時(shí)除以f(1)，可得

f(2)+f(x)-f(1+x)=f(1)

(42)

在式(42)中令x=0，利用式(1)，得到f(2)=2f(1)，將其帶入式(42)

f(1)+f(x)=f(1+x)

(43)

f(1)f(ty)=f(y)f(t)

(44)

下面令f(x)=f-1(1)δ(x)，利用定理2.1中的證明方法可知δ是域F上的滿足且δ(1)=1單自同態(tài).

對(duì)于任意的大于四階的反對(duì)稱矩陣，在選取過程中，從第五行開始可取緊貼主對(duì)角線兩邊的元素為1和-1，其他為0，例如六階時(shí)可取

因?yàn)闀鴮憰r(shí)比較復(fù)雜，所以以四階反對(duì)稱空間證明，當(dāng)然任意大于四階的偶數(shù)階反對(duì)稱矩陣空間仍有同樣結(jié)論.

定理3.2f是大于等于四階的偶數(shù)階反對(duì)稱矩陣空間的保持逆矩陣的函數(shù)充要條件是f=f-1(1)δ，其中δ是域F上的滿足δ(1)=1單自同態(tài).

定理3.3f是二階反對(duì)稱矩陣空間的保持逆矩陣的函數(shù)充要條件是f是滿足f(x)f(y)=1(若xy=1)的域F上的單自同態(tài).

4 結(jié) 語(yǔ)

本文刻畫出了對(duì)稱矩陣上保持逆矩陣的函數(shù)的形式；給出了偶數(shù)階反對(duì)稱矩陣上的保持逆矩陣的函數(shù)的形式.本文的結(jié)果是在特征不為2的域上研究的，特征為2的域上的情況還需進(jìn)一步研究；反對(duì)稱矩陣空間上保逆矩陣的函數(shù)只給出偶數(shù)階的情況，奇數(shù)階的情況還需研究.本研究豐富了函數(shù)保持問題的成果.