研究狀態(tài)機制轉換下帶有食餌避難響應的隨機Leslie-Gower捕食模型

焦 媛，靳海娟，張秀鋒

（長治學院數學系，山西長治 046011）

生態(tài)學和生物數學在人口預測、保護珍稀物種、生物資源的開發(fā)與利用方面有很重要的研究價值，而生物種群中最常見的捕食系統(tǒng)因此也具有普遍的存在性和重要性。最常用的兩個物種的Leslie-Gower捕食模型：

再通過加入環(huán)境或人為對被捕食者的保護mx來拓展模型(2),改進的模型為：

考慮到環(huán)境中的隨機波動的影響，在系統(tǒng)(3)的每一個方程中都引入高斯白噪聲來模擬環(huán)境影響[1-3],再假設環(huán)境的波動主要體現在捕食者和被捕食者的物種數量增長率的波動,，這里的均表示相互獨立的布朗噪聲,α 和β代表的是各物種增長率受到的白噪聲的強度,接著對應于確定性模型系統(tǒng)(3),則隨機系統(tǒng)有以下形式：

由于系統(tǒng)受到環(huán)境或自然界中會出現狀態(tài)機制發(fā)生巨大變化的情形。例如：地震、環(huán)境驟變、極端天氣等造成的影響，所以仍需進一步的研究。要考慮狀態(tài)機制的轉變導致物種結構的改變,引入馬爾可夫鏈,設γ(t)，t ≥0 是在概率空間中的一個右連續(xù)的馬爾可夫鏈,在一個有限的狀態(tài)空間S={1,2,…,N} 中取值的以及它的發(fā)生器Γ=(ξij)N×N則有以下

假設馬爾可夫鏈γ(·)是獨立于布朗運動B(·)。也可以任意修改初始值γ(0)=i0∈S，所以可以得到對于任意的馬爾可夫鏈是固定的。眾所周知,幾乎所有γ(·)的樣本路徑都是一個右連續(xù)的階梯函數,在區(qū)間R:=[0,∞)的任何有限的子區(qū)間內都是有有限個樣本跳躍。

由系統(tǒng)(5) 描述的捕食模型的活動機制可以解釋為如下方程。假設最初的值為γ(0)=i ∈M，那么模型(5)滿足

一直到γ(t)跳轉到另一個狀態(tài)才會改變。當跳轉到新的狀態(tài)稱之為j ∈M之后,模型將變?yōu)?/p>

運用伊藤公式和解隨機微分方程的方法,來證明隨機系統(tǒng)的全局正解的存在性和唯一性以及物種數量的有界性；再利用馬爾可夫鏈的遍歷理論和鞅的強大數定律研究以及證明其物種的滅絕性和持久性。

1 全局正解的存在性和唯一性

定理1給定初值(X(0),Y(0))∈,系統(tǒng)(4) 在t ≥0上有唯一解(X(t),Y(t)),在上的概率為1。

證明在系統(tǒng)(4)中,引入新的變量U(t)=ln X(t)和W(t)=ln Y(t)并且應用伊藤公式,得到如下轉換系統(tǒng)：

系統(tǒng)具有初始值為U(0)=ln X(0)，W(0)=ln Y(0)。顯然地，式(6)的系數滿足局部的利普希茲條件；因此，方程存在一個唯一的局部解(U(t),W(t))t ∈[0,τe)，這里的τe代表的是數量激增時間[4]，最后得到X(t)=eU(t)，Y(t)=eW(t)是系統(tǒng)(4)基于正初始條件下的唯一的局部解。只需要證明得τe=∞即可。

通過隨機方程的比較定理[3],可以得到當時t ∈[0,τe)時X(t)≤φ(t)，Y(t)≤ψ(t)。

假設有τe＜∞,那么則就有存在一個T ＞0 有不等式P(τe＜T)＞0 成立而且令ω ∈(τe＜T)。從文獻[3]中的定理A2,有

因此

這個與已知的條件是矛盾的,所以有τe=∞。

2 有界性

定理2給任意初值(X(0),Y(0))∈，系統(tǒng)(4)的解X(t),Y(t)，均有以下性質：

(i)對于任意給定的正常數p,有

(ii)如果對于任意的ε ＞0,對于任何的初始數據(X(0),Y(0))∈均存在一個常數,且有

系統(tǒng)(4)的解則稱為隨機有界的。

證明(i)由于伊藤公式,可以得到

接著對方程的兩邊做積分有

再利用隨機積分[5-6]的性質,可得

考慮不等式(9),可以得到

關于t的導數為

由伊藤公式,可以得到

重新排列方程(10),可以得到

這里的Cp在式(8)中被定義以及

因為有

3 滅絕性和持久性

關于加入馬爾可夫鏈系統(tǒng)(5)的性質,當狀態(tài)機制發(fā)生轉變系統(tǒng)是否具有穩(wěn)定性。

定理3(i)若＜0,在捕食者滅絕的情況下,被捕食者的數量短期內呈指數級增長依概率收斂于1,即為

證明(i)由于伊藤公式,我們化簡系統(tǒng)(5)的第一個方程得

對上式兩邊做積分,可以得到

再通過馬爾可夫鏈的遍歷理論以及鞅的強大數定律,可以分別得到以下等式

(ii)類似于(i)的證明，運用伊藤公式化簡系統(tǒng)(5)的第二個方程，得到關于ln Y(t)的等式。

證明得余下部分與(i)的證明相似故省略。

4 結語

主要研究了在隨機擾動和狀態(tài)轉變下,帶有食餌避難響應的Leslie-Gower 捕食系統(tǒng).分別研究并證明系統(tǒng)的全局正解的存在唯一性以及物種數量的有界性,表明此系統(tǒng)是符合生物生態(tài)學的,具有可研究性.證明物種的滅絕性和持久性,表明在環(huán)境擾動和狀態(tài)突變的情況下,只要物種保持在一定數量狀態(tài),那么最終一定會趨于穩(wěn)定。