基于二部圖的含有免疫的流行病傳播的研究*

趙曉榮， 李淑萍， 劉花芳

(中北大學(xué) 理學(xué)院， 山西 太原 030051)

傳染病對(duì)人類的危害極大， 許多傳染病是通過染病者與易感者之間的直接接觸傳播的， 比如流感、 肺結(jié)核、 非典和新型冠狀病毒肺炎等. 用于研究傳染病傳播的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中， 每個(gè)節(jié)點(diǎn)表示一個(gè)個(gè)體， 個(gè)體與個(gè)體之間的接觸用邊表示， 由此形成一個(gè)接觸網(wǎng)絡(luò). 接觸網(wǎng)絡(luò)最簡(jiǎn)單的形式是無向網(wǎng)絡(luò)， 在這種網(wǎng)絡(luò)中， 種群被假設(shè)為都是同質(zhì)的， 即任一染病者以相同的概率將疾病傳染給與之接觸過的所有易感者[1-2]. 但是， 這種假設(shè)對(duì)于結(jié)構(gòu)種群是不成立的， 如男性傳染給女性HIV的概率大約是女性傳染給男性的概率的兩倍[3]， 母親可以將疾病傳染給胎兒， 但胎兒卻不能傳染給母親[3-4]等等. 對(duì)于這類傳染病， 很明顯利用二部圖網(wǎng)絡(luò)更能準(zhǔn)確地描述疾病的傳播.

二部圖是由兩組不同類型的節(jié)點(diǎn)和連接兩組不同類型節(jié)點(diǎn)的邊構(gòu)成的圖. 在該網(wǎng)絡(luò)中， 相同類型的節(jié)點(diǎn)之間沒有邊， 邊僅存在于不同類型的節(jié)點(diǎn)之間. 近十幾年來， 關(guān)于二部圖的文獻(xiàn)已經(jīng)有很多[5-13]. 一方面， 大多數(shù)文獻(xiàn)基于二部圖網(wǎng)絡(luò)利用動(dòng)力學(xué)模型對(duì)SIS模型進(jìn)行了研究. 比如， 2008年， Wen等人研究了二部圖網(wǎng)絡(luò)中的性傳播疾病， 根據(jù)東西方國(guó)家性觀念的不同， 建立了兩類SIS模型[5]. 結(jié)果表明， 染病女性人群與染病男性人群的比率與網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有關(guān)， 且比率較小的國(guó)家感染密度低于比率較大的國(guó)家. 2014 年， Zhang等人研究了二部圖網(wǎng)絡(luò)中媒介傳染病在人群中的傳播， 證明了無病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性[6]. 結(jié)果表明， 當(dāng)基本再生數(shù)(疾病流行的閾值)小于1時(shí)， 無病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的， 疾病不流行， 當(dāng)基本再生數(shù)大于1時(shí)， 地方病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的， 疾病爆發(fā). 另一方面， 一些學(xué)者也利用SIR模型研究了二部圖網(wǎng)絡(luò)中的流行病傳播. 比如， 2017年， Yan等人考慮了一個(gè)基于邊的SIR模型， 研究了二部圖網(wǎng)絡(luò)中的性傳播疾病， 利用第二代矩陣法得到了疾病的基本再生數(shù)(疾病流行的閾值)[7]. 結(jié)果表明， 當(dāng)基本再生數(shù)小于1時(shí)， 疾病不流行， 當(dāng)基本再生數(shù)大于1時(shí)， 疾病爆發(fā). 由于SIR模型所描述的網(wǎng)絡(luò)傳播過程可以看作是一個(gè)滲流問題， 所以很多學(xué)者利用滲流理論研究了網(wǎng)絡(luò)中疾病的傳播[8，14-15]. 滲流是對(duì)網(wǎng)絡(luò)中的點(diǎn)或邊的隨機(jī)占用,分為點(diǎn)滲流和邊滲流. 點(diǎn)滲流指網(wǎng)絡(luò)中的點(diǎn)被占用， 即個(gè)體被傳染. 邊滲流指網(wǎng)絡(luò)中的邊被占用， 即兩個(gè)個(gè)體之間有疾病傳播. 在點(diǎn)滲流和邊滲流中， 點(diǎn)和邊分別被占用的概率稱為點(diǎn)占用概率和邊占用概率. 2002年， Newman 基于滲流理論研究了二部圖網(wǎng)絡(luò)中的性傳播疾病， 利用概率生成函數(shù)， 得到了SIR 模型的疾病傳播的閾值和平均爆發(fā)規(guī)模[8]. 結(jié)果表明， 當(dāng)閾值小于1時(shí)， 疾病不流行， 平均爆發(fā)規(guī)模隨男性和女性的傳染概率的增大而增大. 考慮到免疫對(duì)疾病傳播的影響， 2011年， Tanimoto研究了二部圖網(wǎng)絡(luò)上具有免疫的SIS模型和沒有免疫的SIR模型的流行病傳播， 利用平均場(chǎng)的方法， 得到了兩個(gè)模型的疾病流行的閾值[9]. 結(jié)果表明， 隨著兩種類型節(jié)點(diǎn)免疫概率的增加， 具有免疫的SIS模型的閾值增大. 基于以上研究背景,考慮到現(xiàn)實(shí)生活中的人群一般會(huì)通過接種免疫來預(yù)防和控制疾病的傳播， 本文將SIR模型與點(diǎn)滲流和邊滲流模型結(jié)合， 研究二部圖網(wǎng)絡(luò)中免疫和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)疾病傳播的影響.

1 概率生成函數(shù)

在圖1 中， 假設(shè)有A和B兩種類型節(jié)點(diǎn)， 每個(gè)節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)體， 同類個(gè)體之間不能相互傳播疾病， 疾病只可能在不同類個(gè)體之間傳播.即A(B)型節(jié)點(diǎn)只能連接B(A)型節(jié)點(diǎn)， 不能連接A(B)型節(jié)點(diǎn).

圖1 兩種類型節(jié)點(diǎn)的二部圖

(1)

顯然，g0(1)=f0(1).

記μ為A型節(jié)點(diǎn)的平均度，ν為B型節(jié)點(diǎn)的平均度， 則

A型和B型節(jié)點(diǎn)的余度分布概率生成函數(shù)為

(2)

g0(1+(x-1)α1TAB).

(3)

同理， 網(wǎng)絡(luò)中任意一個(gè)度為j的B型節(jié)點(diǎn)周圍沒有免疫的A型節(jié)點(diǎn)被感染的概率生成函數(shù)為

f0(x;TBA,α2)=f0(1+(x-1)α2TBA).

(4)

從一個(gè)染病的B(A)型節(jié)點(diǎn)傳染給一個(gè)余度為k-1(j-1)的A(B)型節(jié)點(diǎn)余度分布概率生成函數(shù)為

g1(x;TAB,α1)=g1(1+(x-1)α1TAB,

f1(x;TBA,α2)=f1(1+(x-1)α2TBA).

(5)

根據(jù)概率生成函數(shù)的定義，g0(x;TAB,α1)和f0(x;TBA,α2)有下列關(guān)系：

g0(x;1,1)=g0(x),

f0(x;1,1)=f0(x),

g0(1;TAB,α1)=g0(1)=1,

f0(1;TBA,α2)=f0(1)=1,

同理， 對(duì)于g1(x;TAB,α1)和f1(x;TBA,α2)， 顯然有

g1(x;1,1)=g1(x),f1(x;1,1)=f1(x),

g1(1;TAB,α1)=g1(1)=1,

f1(1;TBA,α2)=f1(1)=1,

2 疾病爆發(fā)規(guī)模分布

現(xiàn)在考慮從一個(gè)A型節(jié)點(diǎn)開始的爆發(fā)， 如圖2 所示.

圖2 從一個(gè)染病的A型節(jié)點(diǎn)開始的流行病傳播示意圖

疾病會(huì)從一個(gè)A型節(jié)點(diǎn)傳染給一些B型節(jié)點(diǎn)， 然后再?gòu)倪@些B型節(jié)點(diǎn)傳染給另一些A型節(jié)點(diǎn).所以， 在這兩個(gè)步驟之后， 網(wǎng)絡(luò)中任意一個(gè)A型節(jié)點(diǎn)將疾病傳染給一些新的A型節(jié)點(diǎn)的度分布概率生成函數(shù)為

G0(x;TAB,TBA,α1,α2)=

g0(f1(1+(x-1)α2TBA);TAB,α1),

(6)

網(wǎng)絡(luò)中任意一個(gè)B型節(jié)點(diǎn)將疾病傳染給一些新的B型節(jié)點(diǎn)的度分布概率生成函數(shù)為

F0(x;TBA,TAB,α2,α1)=

f0(g1(1+(x-1)α1TAB);TBA,α2).

(7)

網(wǎng)絡(luò)中從一個(gè)染病的B(A)型節(jié)點(diǎn)到達(dá)的一個(gè)A(B)型節(jié)點(diǎn)將疾病傳染給一些新的A(B)型節(jié)點(diǎn)的余度分布概率生成函數(shù)為

G1(x;TAB,TBA,α1,α2)=

g1(f1(1+(x-1)α2TBA);TAB,α1),

(8)

F1(x;TBA,TAB,α2,α1)=

f1(g1(1+(x-1)α1TAB);TBA,α2).

(9)

令Tα1α2=TABTBA， 根據(jù)概率生成函數(shù)的定義， 顯然有下列關(guān)系：

G0(x;1,1,1,1)=g0(f1(x)),

F0(x;1,1,1,1)=f0(g1(x)),

G0(1;TAB,TBA,α1,α2)=g0(1)=1,

F0(1;TBA,TAB,α2,α1)=f0(1)=1,

類似地， 對(duì)于G1(x;TAB,TBA,α1,α2)和F1(x;TBA,TAB,α2,α1)， 顯然滿足

G1(x;1,1,1,1)=g1(f1(x)),

F1(x;1,1,1,1)=f1(g1(x)),

G1(1;TAB,TBA,α1,α2)=g1(1)=1,

F1(1;TBA,TAB,α2,α1)=f1(1)=1,

利用上面的概率生成函數(shù)， 得到從一個(gè)A型節(jié)點(diǎn)或者B型節(jié)點(diǎn)開始的疾病爆發(fā)規(guī)模(即感染的B型節(jié)點(diǎn)或A型節(jié)點(diǎn)人數(shù))的概率生成函數(shù)為

(10)

(11)

(12)

(13)

對(duì)式(10)～式(13)在x=1處求導(dǎo)， 得

(14)

(15)

(17)

將式(16)和式(17)代入式(14)和式(15)， 可以得到疾病流行前A型和B型節(jié)點(diǎn)的平均爆發(fā)規(guī)模， 即A型和B型節(jié)點(diǎn)的平均染病人數(shù)為

(18)

(19)

(20)

通過表達(dá)式(18)～(20)可以得到以下結(jié)論：

1) 疾病流行的閾值和疾病流行前的平均爆發(fā)規(guī)模不僅與兩類節(jié)點(diǎn)被免疫的概率有關(guān)， 還與它們各自所屬網(wǎng)絡(luò)的平均度和二階矩有關(guān).

3) 當(dāng)α1α2=1， 即α1=α2=1時(shí)， 簡(jiǎn)化為不含免疫的二部圖網(wǎng)絡(luò)， 與文獻(xiàn)[7]中性傳播疾病的計(jì)算結(jié)果相同.

SA(TAB.TBA,α1,α2)=

1-G0(uA;TAB,TBA,α1,α2)=

1-g0(1+α1TAB(f0(1+(uA-1)α2TBA)-1)),

(21)

SB(TBA.TAB,α2,α1)=

1-F0(uB;TBA,TAB,α2,α1)=

1-f0(1+α2TBA(g0(1+(uB-1)α1TAB)-1)),

(22)

其中，

uA=G1(uA;TAB,TBA,α1,α2)=

g1(1+α1TAB(f1(1+(uA-1)α2TBA)-1)),

(23)

uB=F1(uB;TBA,TAB,α2,α1)=

f1(1+α2TBA(g1(1+(uB-1)α1TAB)-1))，

(24)

式中：uA和uB分別表示在二部圖網(wǎng)絡(luò)中隨機(jī)選擇一條邊到達(dá)的一個(gè)未被免疫的A型和B型節(jié)點(diǎn)在流行病期間沒有被感染的概率.

3 實(shí)例驗(yàn)證

3.1 二部圖網(wǎng)絡(luò)實(shí)例

為了驗(yàn)證上面的理論結(jié)果， 下面分別考慮三種不同的二部圖網(wǎng)絡(luò)： 泊松-泊松網(wǎng)絡(luò)、 泊松-冪律網(wǎng)絡(luò)和冪律-冪律網(wǎng)絡(luò).

1) 泊松-泊松網(wǎng)絡(luò)

(25)

由式(20)可以得到疾病爆發(fā)的閾值為

(26)

2) 泊松-冪律網(wǎng)絡(luò)

(27)

(28)

由式(20)得

(29)

式中：ω=Liτ-1(exp(-1/κ)),θ=Liτ-2(exp(-1/κ)).

3) 冪律-冪律網(wǎng)絡(luò)

〈s〉A(chǔ)=〈s〉B=1+

(30)

根據(jù)式(20)， 有

(31)

式中：ω=Liτ-1(exp(-1/κ)),θ=Liτ-2(exp(-1/κ)).

3.2 數(shù)值模擬及分析

為了討論節(jié)點(diǎn)被免疫的概率和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)流行病閾值、 疾病流行前的平均爆發(fā)規(guī)模和疾病流行后的巨片規(guī)模的影響， 本文在上述三種不同的二部圖網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下進(jìn)行數(shù)值模擬.

首先， 模擬節(jié)點(diǎn)被免疫的概率和三種不同的二部圖網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對(duì)疾病流行的閾值的影響情況， 其中每種網(wǎng)絡(luò)的平均度為3.001.

在圖3(a) 中， 從上到下， 第一層為泊松-泊松網(wǎng)絡(luò)， 第二層為泊松-冪律網(wǎng)絡(luò)， 第三層為冪律-冪律網(wǎng)絡(luò).

(a) 三維圖

從圖3(a)可以看出： ① 在確定的二部圖網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下， 疾病流行的閾值隨A型和B型節(jié)點(diǎn)被免疫的概率的增大而增大， 從而疾病更加不容易爆發(fā)； ② 當(dāng)A型和B型節(jié)點(diǎn)被免疫的概率確定時(shí)， 三個(gè)二部圖網(wǎng)絡(luò)的閾值由大到小分別為泊松-泊松網(wǎng)絡(luò)、 泊松-冪律網(wǎng)絡(luò)和冪律-冪律網(wǎng)絡(luò)， 即網(wǎng)絡(luò)的均勻性越強(qiáng)， 疾病越不容易爆發(fā). 從圖3(b)可以看出： 當(dāng)B型節(jié)點(diǎn)被免疫的概率1-α1固定為0.1時(shí)，A型節(jié)點(diǎn)被免疫的概率1-α2和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對(duì)閾值的影響與圖3(a)一致.

然后， 研究確定的二部圖網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下， 節(jié)點(diǎn)被免疫的概率對(duì)疾病流行后的巨片規(guī)模的影響. 為了方便模擬， 令TAB=TBA=T， 則Tα1α2=T2.其中每種網(wǎng)絡(luò)的平均度都為3.001， 且固定所有A類型節(jié)點(diǎn)被免疫的概率1-α2為0.3.

由圖4 可以看出： 在上面三種網(wǎng)絡(luò)下， 且A型節(jié)點(diǎn)被免疫的概率1-α2固定， 隨著B型節(jié)點(diǎn)被免疫的概率1-α1增加， 兩種類型節(jié)點(diǎn)的巨片規(guī)模均減小.

(a) 泊松-泊松

最后， 確定兩類節(jié)點(diǎn)被免疫的概率， 比較不同的二部圖網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對(duì)巨片規(guī)模的影響.其中， 固定所有B型節(jié)點(diǎn)被免疫的概率1-α1=0.1，A型節(jié)點(diǎn)被免疫的概率1-α2=0.3， 且每種網(wǎng)絡(luò)的平均度為3.001.

圖5 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對(duì)巨片規(guī)模的影響

4 結(jié) 論

本文研究了二部圖網(wǎng)絡(luò)上含有免疫的流行病傳播. 利用滲流理論和生成函數(shù)的方法， 給出了二部圖網(wǎng)絡(luò)中和免疫概率相關(guān)的解. 另外， 給定不同的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)， 通過理論表達(dá)式和數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)， 在特定的網(wǎng)絡(luò)下， 提高免疫概率使閾值增大且巨片規(guī)模減??； 另一方面， 當(dāng)免疫概率確定時(shí)， 越均勻的網(wǎng)絡(luò)， 疾病的流行閾值和巨片規(guī)模越大. 綜上， 現(xiàn)實(shí)中可以通過接種疫苗增加個(gè)體免疫概率， 或隔離和減少社交等措施增加網(wǎng)絡(luò)的均勻性， 從而使得疾病不容易爆發(fā).