降階型熱波方程解的存在性和唯一性

金雪蓮，張思佳

（1.遼寧工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 錦州 121001；2.渤海大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 錦州 121013）

在日常的生活生產(chǎn)中，系統(tǒng)的穩(wěn)定性一直是研究的熱點(diǎn)問題，在理論和實(shí)際問題中都扮演著重要的角色。由于在最優(yōu)控制的數(shù)值計(jì)算問題中，經(jīng)常要應(yīng)用系統(tǒng)的一致指數(shù)穩(wěn)定性，因此學(xué)者們對于系統(tǒng)是否穩(wěn)定，以及不穩(wěn)定的系統(tǒng)采用什么方法才能達(dá)到穩(wěn)定等問題進(jìn)行深入研究。在過去的幾十年中，波方程的一致指數(shù)穩(wěn)定性得到了廣泛研究，本文不但解決了波方程的這個(gè)問題，而且將一些相關(guān)的結(jié)果推廣到熱波耦合系統(tǒng)中。

本文討論了具有邊界觀測和同位控制的熱波耦合系統(tǒng)的一致指數(shù)穩(wěn)定性，首先對具有動(dòng)態(tài)邊界阻尼的熱波耦合方程通過引入合適的中間變量，對其時(shí)間變量和空間變量進(jìn)行降階處理，寫成與其等價(jià)的抽象微分方程的形式，接下來，在Hibert 空間上介紹了連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間以及定義在其上的內(nèi)積和與其對應(yīng)的能量空間,然后通過算子半群理論證明降階后的方程的解存在性和唯一性,為后續(xù)引入Lyapunov 函數(shù)證明連續(xù)及離散系統(tǒng)的一致指數(shù)穩(wěn)定性提供必要的前提和理論基礎(chǔ)。

1 將熱波方程降階

本文研究的是如式(1)所示具有動(dòng)態(tài)邊界阻尼的一維熱波方程，(y0,y1)是初始狀態(tài)，w∈Rn是控制器 的狀態(tài)，A∈Rn×n是常數(shù)矩陣，b,c∈Rn是列向量，d是正常數(shù)，y(t,x)表示弦在x∈(0,1)，t≥ 0時(shí)的位置。

設(shè)系統(tǒng)(1)的能量

現(xiàn)將系統(tǒng)(1)進(jìn)行降階處理，引入兩個(gè)中間變量：u(t,x)=yx(t,x)，v(t,x)=yt(t,x)，進(jìn)而得到與系統(tǒng) (1)等價(jià)的降階形式，即

設(shè)系統(tǒng)(3)的狀態(tài)空間為：H=L2(0,1)×L2(0,1)×L2(0,1)×Rn，H具有的內(nèi)積如式(4)所示。

2 降階后方程解的唯一性

本文結(jié)果依賴于如下假設(shè)[1]：

(1)矩陣A的所有特征值有負(fù)實(shí)部；

(2)),(bA是可控的且),(Ac是可觀的；

(3)存在另一常數(shù)γ≥ 0使得d≥γ且d+RecT(isI-A)＞γ。

在這幾個(gè)假設(shè)下，系統(tǒng)(1)的傳遞函數(shù)g(s)=d+cT(sI-A)-1b是正的實(shí)數(shù)。

由Meyer-Kalman-Yakubovich 引理[2]可知，Q∈Rn×n是任意的對稱正定矩陣，一定存在對稱的正定矩 陣P∈Rn×n,向量q∈Rn,Δ 為大于0 的常數(shù)，滿足：

將系統(tǒng)(3)寫成抽象微分方程的形式：

火草布雖然有一定的經(jīng)濟(jì)價(jià)值，但現(xiàn)階段未完全挖掘出來，也并未帶來實(shí)際的經(jīng)濟(jì)效益，導(dǎo)致年輕人不愿意去學(xué)習(xí)這門傳統(tǒng)手工藝，大量年輕人外出務(wù)工，造成傳承人斷層現(xiàn)象。要使火草布獲得一定的經(jīng)濟(jì)效益就必須使其進(jìn)入市場，在如今整個(gè)市場的大環(huán)境下，必須使產(chǎn)品具有獨(dú)特的品牌特色，依靠專業(yè)服務(wù)和質(zhì)量管理，形成系列化和品牌化的經(jīng)營模式。

定義1[3](耗散算子)：若線性算子A:D(A)?X→X對任意的x∈D(A)有：Re＜Ax,x＞≤ 0,則算子A被稱為耗散算子。

定義2空間H=L2(0,1)×L2(0,1)×L2(0,1)×Rn,其內(nèi)積：

定義3[4]設(shè)X、Y是線性賦范空間，X*、Y*分別是X與Y的共軛空間，算子T∈B(X,Y)，算子T*:Y*→X*稱為T的共軛算子，是指對任意的x∈X*、y∈Y*，有(Tx,y*)=(x,T*y*)。

引理1[3]若A是Hilbert 空間上的線性稠定閉算子，則A是X上的收縮半群(T(t))t≥0的無窮小生成元的充要條件為:A和A*是耗散算子。

引理2[5]若A是C0半群(T(t))t≥0的無窮小生成元，那么對任意的x0∈D(A)，映射t|→T(t)x0是抽象微分方程

的唯一解。

定理降階熱波方程

存在唯一解。

證明

其中，由分部積分法：

將式(6)～(8)代入式(9)得：

根據(jù)定義1 得B是耗散算子。

由此可得：

所以算子B在H上生成的半群是收縮的0C半群。進(jìn)而得出由算子B生成的半群)(tT是收縮半群。由 引理2 得系統(tǒng)(3)的唯一解可以由0)(XtT給出。并有系統(tǒng)(3)能量的導(dǎo)數(shù)：

證畢。

3 結(jié)束語

首先對具有動(dòng)態(tài)邊界阻尼的熱波方程采用降階處理，接下來，在Hibert 空間上介紹了連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間以及定義在其上的內(nèi)積,然后通過算子半群理論證明降階后的方程的解存在唯一性,為后續(xù)驗(yàn)證連續(xù)系統(tǒng)的一致指數(shù)穩(wěn)定性和離散系統(tǒng)的一致指數(shù)穩(wěn)定性提供必要的前提和理論基礎(chǔ)。