幾何的多面性

《數(shù)學(xué)藝術(shù)》作者：[美] 斯蒂芬·奧內(nèi)斯譯者：楊大地出版社：重慶大學(xué)出版社出版時(shí)間：2021年3月頁(yè)數(shù)：240定價(jià)：88元

縱觀歷史，來(lái)自各個(gè)學(xué)科的思想家都給柏拉圖多面體（正多面體） 賦予了近乎神秘的性質(zhì)。認(rèn)為它們隱藏著宇宙深處的奧秘。它們看來(lái)很簡(jiǎn)單，但總給人看不透的感覺(jué);人類花了幾千年的時(shí)間去探索多面體。它們，特別是三維的柏拉圖多面體，使我們感到愉悅，同時(shí)給我們帶來(lái)無(wú)窮的困惑。它們對(duì)藝術(shù)家們也具有天然的吸引力，藝術(shù)家們常坐在這些幾何學(xué)的基石上面沉思，尋找靈感和神秘。

大眾的數(shù)學(xué)藝術(shù)

數(shù)學(xué)雕塑家喬治·哈特說(shuō)，數(shù)學(xué)是一門觀察模式的科學(xué)。模式隨處可見(jiàn)：在音樂(lè)中，在照片中，在建筑中都有，水晶的形狀或地球的軌道傾斜也是一種模式。成年人常常要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)來(lái)理性地看待世界，但是哈特說(shuō)，孩子們有一個(gè)優(yōu)勢(shì)，那就是他們自然而誠(chéng)實(shí)地看待世界。但隨著年齡的增長(zhǎng)，他們就會(huì)失去這個(gè)優(yōu)勢(shì)。

哈特經(jīng)常進(jìn)行雕塑建筑探索活動(dòng)，帶領(lǐng)他的觀眾，甚至是幼兒園的兒童，進(jìn)入數(shù)學(xué)景觀的各個(gè)角落，如拓?fù)鋵W(xué)和立體幾何學(xué)。哈特用他的雕塑作品和手工作坊來(lái)挑戰(zhàn)數(shù)學(xué)的教學(xué)方式。許多人把數(shù)學(xué)與痛苦的乘法訓(xùn)練和死記硬背的幾何證明聯(lián)系起來(lái)。學(xué)生通常不會(huì)感覺(jué)到這門學(xué)科的美妙、優(yōu)雅和神奇的一面。直到進(jìn)入大學(xué)里的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。到那時(shí)，往往為時(shí)已晚。許多可能成為數(shù)學(xué)家的人已經(jīng)選擇了其他的領(lǐng)域。

哈特定期訪問(wèn)世界各地的中學(xué)和大學(xué)。當(dāng)我們?cè)L談的時(shí)候，他剛從越南的五所學(xué)?；貋?lái)，他在那里作講座，并幫助那里的團(tuán)隊(duì)建造了定制的大型幾何雕塑。在他離開(kāi)后很長(zhǎng)的一段時(shí)間里，這些雕塑都將屹立在那里。這些項(xiàng)目把團(tuán)隊(duì)建設(shè)和自學(xué)數(shù)學(xué)課結(jié)合起來(lái)。

在哈特的一生中，他一直在用他在周邊尋找到的材料建造幾何雕塑。他記得他還是個(gè)孩子時(shí)，第一個(gè)作品是一個(gè)對(duì)稱的奇怪玩意，由許多牙齒制成。他用過(guò)刀、叉子、勺子、光盤、軟盤、鉛筆、回形針、畫筆和牙刷等來(lái)制作三維藝術(shù)品。他的大部分作品來(lái)源于柏拉圖多面體，這是由一些二維平面上的多邊形通過(guò)邊和頂點(diǎn)連接組成的形體。

柏拉圖多面體

他說(shuō)：“從某種意義上說(shuō)，我總是從讓我感興趣的數(shù)學(xué)開(kāi)始，并試圖把它變成物理的東西。” 20 世紀(jì) 90 年代初，他開(kāi)始創(chuàng)作雕塑，當(dāng)時(shí)他還是長(zhǎng)島石溪大學(xué)通信理論與工程專業(yè)的一名教授。一開(kāi)始雕塑只是一種愛(ài)好，他說(shuō)：“后來(lái)，它漸漸變成了一種癡迷?！?999 年，紐約市的沃帕爾畫廊正在展出 M.C. 埃舍爾的作品，布展方同意同時(shí)展出哈特的一些作品。他說(shuō)：“這讓我意識(shí)到我是個(gè)雕塑家?！?p>

喬治·哈特的雕塑《尚普》，直徑4英尺（約1.2米），安放在佛蒙特州曼徹斯特的博安博頓學(xué)院。它的30個(gè)相同的組件模仿了一群海怪――尚普蘭湖的傳奇生物。

現(xiàn)在，他有一間家庭工作室，里面裝滿了砂輪和鋸子等工具，還有激光切割機(jī)和 3D 打印機(jī)。他的工具庫(kù)里還包括一些他自己制作的工具，這些工具可以按他的要求固定、彎曲和改變材料，沒(méi)有任何現(xiàn)成的設(shè)備可以做到。

哈特不僅熱衷于培養(yǎng)下一代對(duì)數(shù)學(xué)的熱情，他還希望他們自己去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)。由于材料成本等因素，他的雕塑制作成本可能高達(dá)數(shù)萬(wàn)美元，而公立學(xué)校往往沒(méi)有預(yù)算。在過(guò)去的幾年里，他和數(shù)學(xué)教育家伊麗莎白·希斯菲爾德（Elisabeth Heathfield）一直致力于使雕塑更便宜的項(xiàng)目計(jì)劃，讓任課教師可以在課堂預(yù)算之內(nèi)承受，甚至利用可以下載的視頻。該項(xiàng)目被取名為“使數(shù)學(xué)可視化”。

他還是另一個(gè)努力擴(kuò)大數(shù)學(xué)吸引力的項(xiàng)目的先驅(qū)者。哈特幫助創(chuàng)建了“數(shù)學(xué)博物館”，這是美國(guó)唯一的數(shù)學(xué)博物館，于 2012 年在紐約市開(kāi)館。哈特在它的設(shè)計(jì)和內(nèi)容上花了五年的時(shí)間。自開(kāi)放以來(lái)，超過(guò) 50 萬(wàn)人參觀了這家博物館。

哈特希望“數(shù)學(xué)博物館”只是數(shù)學(xué)“正?；壁厔?shì)的開(kāi)端，他希望數(shù)學(xué)像我們的語(yǔ)言一樣普及。他和希斯菲爾德設(shè)想了一個(gè)世界性的數(shù)學(xué)中心網(wǎng)絡(luò)，功能類似于圖書館，作為公共空間，人們可以聚集在網(wǎng)上一起學(xué)習(xí)和分享有關(guān)數(shù)學(xué)的想法

藝術(shù)背后的數(shù)學(xué)：多面體家族

柏拉圖多面體很特殊，在三維空間只有五種正多面體可以存在。它們包括立方體，它有 6 個(gè)正方形面;正四面體，它有 4 個(gè)正三角形面;也包括正八面體，它有 8 個(gè)正三角形面;正二十面體，它有 20 個(gè)正三角形面;最后是正十二面體，有 12 個(gè)面，都是正五邊形。

幾千年來(lái)，人們一直在贊美、分析、改造這些形體，甚至將它們神圣化。它們確實(shí)很特別，因?yàn)樗鼈兪莾H有的五種的正凸多面體。首先，它們的面必須是正多邊形，而且必須是相互全等的。（這意味著它們的大小和形狀是一樣的。）其次，每個(gè)頂點(diǎn)有相同數(shù)目的面在此相交。

我們稱它們?yōu)榘乩瓐D多面體，是因?yàn)橄ＥD天文學(xué)家柏拉圖在公元前 360 年左右在其著

作《蒂邁歐篇》（Timaeus）中描述了它們，但希臘人并不是唯一知道它們的人。一些學(xué)者認(rèn)為，在蘇格蘭發(fā)現(xiàn)過(guò)一些雕刻過(guò)的石頭呈現(xiàn)出柏拉圖多面體的形狀，每一塊都有棒球那么大，這表明一些古老的文化可能至少在柏拉圖之前一千年就已經(jīng)知道柏拉圖多面體了。

柏拉圖不僅描述了這些多面體，他還非常崇敬它們。他把其中的四個(gè)同當(dāng)時(shí)認(rèn)為構(gòu)成世界的四大基本元素“火、土、水、氣”聯(lián)系起來(lái)。正四面體代表“火”;立方體代表“土”;而“水”由正二十面體代表;“氣”則對(duì)應(yīng)于正八面體。對(duì)于剩下的正十二面體，柏拉圖在《蒂邁歐篇》上寫道：“神使用正十二面體來(lái)安排整個(gè)天空星座的秩序。”

在《幾何原本》中，歐幾里得證明了只能有五種柏拉圖多面體，不可能再有多的了。柏拉圖把正多面體和神圣的幾何學(xué)聯(lián)系起來(lái)，但他并不是唯一這樣做的人。 1596年，德國(guó)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家約翰尼斯·開(kāi)普勒發(fā)表了《宇宙奧秘》一書，當(dāng)年他只有 24 歲。他篤信上帝是按照柏拉圖多面體來(lái)建造太陽(yáng)系的。

當(dāng)時(shí)天文學(xué)家只知道六顆行星。開(kāi)普勒想知道為什么會(huì)有六顆行星，為什么它們會(huì)以交錯(cuò)的方式，沿著遞增的軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行。柏拉圖多面體給了他一個(gè)答案。開(kāi)普勒純粹是憑借著想象力，在沒(méi)有任何證據(jù)的情況下，將行星軌道和正多面體聯(lián)系在一起。

想象一下，你在每個(gè)柏拉圖多面體周圍畫上一個(gè)外接球面。開(kāi)普勒指出，通過(guò)使用特定（但看起來(lái)是隨意的）順序?qū)⑦@些球體和正多面體彼此嵌套在一起，你就可以得出一個(gè)幾何構(gòu)型，在這個(gè)幾何構(gòu)型中，柏拉圖多面體之間的距離和行星軌道之間距離的比例剛好是一樣的。開(kāi)普勒認(rèn)為它是一只迷人的碗。“地球的軌道是衡量所有事物的尺度;它的軌道在一個(gè)球面上?？蜃∷能壍狼蛎娴氖且粋€(gè)正十二面體，而包圍這個(gè)正十二面體的圓球面則是火星

的軌道;再往外面，框住火星軌道球面的是正四面體?！遍_(kāi)普勒寫道?！澳悻F(xiàn)在知道行星數(shù)

目是六個(gè)的原因了?！遍_(kāi)普勒相信柏拉圖多面體和行星的軌道，以及自然界的所有比例，都是由上帝決定的。

開(kāi)普勒的研究在許多方面都是出于宗教的追求。但在 2011 年，波士頓大學(xué)的天文學(xué)家肯尼思·布雷徹指出，將《宇宙奧秘》看成科學(xué)研究的一個(gè)重要轉(zhuǎn)折點(diǎn)是出于其他原因。開(kāi)普勒想知道行星軌道這樣安排的意義，他超越了觀察手段，而大膽使用數(shù)學(xué)上的因果關(guān)系。雖然他調(diào)整了他的柏拉圖多面體模型，直到它與行星的軌道大體一致，但這充其量只是一個(gè)巧合。

13種阿基米德多面體

幾個(gè)世紀(jì)以來(lái)，數(shù)學(xué)家們用其他方法來(lái)擴(kuò)充和探索柏拉圖多面體。例如，你可以作星形擴(kuò)展。你可以選擇正多面體的一個(gè)面，然后把它相鄰的面所在平面延展，直到它們相交。對(duì)所有的面也都這樣做。

還有其他的多面體家族。有 13 種阿基米德多面體，它們的邊都具有相同的長(zhǎng)度，但是由兩種或更多種的正多邊形組成。就像柏拉圖多面體一樣，它們具有高度的對(duì)稱性，這使得它們作為研究群論和晶體形狀的人來(lái)說(shuō)很有吸引力。

長(zhǎng)期以來(lái)，藝術(shù)家們一直對(duì)這些形體非常入迷，這些形體既是數(shù)學(xué)的主題，也是藝術(shù)的主題。甚至連達(dá)·芬奇也愛(ài)在筆記本上涂鴉多面體。（達(dá)·芬奇對(duì)幾何非常感興趣，他推薦了一種描繪多面體的風(fēng)格，就是只畫它們的邊，這樣才能讓觀察者看透多面體，看到它們頂點(diǎn)是如何連接的。）柏拉圖多面體的魅力持續(xù)了幾個(gè)世紀(jì)，對(duì)哈特這樣的藝術(shù)家來(lái)說(shuō)，他們從中找到了詮釋經(jīng)典的新方法，展示了柏拉圖多面體的永恒。