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    一類具有擴(kuò)散和時(shí)滯的HIV模型的動(dòng)力學(xué)分析

    2021-06-23 06:19:58蒲武軍
    關(guān)鍵詞:平衡點(diǎn)時(shí)滯定理

    蒲武軍

    (隴南師范高等??茖W(xué)校 數(shù)學(xué)系, 甘肅 隴南 742500)

    近年來,病毒已經(jīng)嚴(yán)重威脅到人類社會(huì)的健康,許多不同領(lǐng)域的學(xué)者都在利用各種方式致力于宿主病毒感染過程中的機(jī)制和動(dòng)力學(xué)行為研究,當(dāng)然,對(duì)于艾滋病病毒(HIV)的研究也不例外,許多應(yīng)用數(shù)學(xué)工作者提出了一系列的HIV模型,并進(jìn)行了詳細(xì)的研究,獲得了許多好的結(jié)果[1-4]。最近,文獻(xiàn)[5]提出了一個(gè)具有時(shí)滯的HIV模型:

    (1)

    討論了系統(tǒng)(1)各類平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性,研究了具有狀態(tài)和控制時(shí)滯的最優(yōu)控制問題,并進(jìn)行了數(shù)值模擬。顯然,對(duì)于HIV模型的研究,時(shí)滯是一個(gè)不可忽視的因素,與此同時(shí),病毒粒子的擴(kuò)散更應(yīng)該受到重視,因此,探討具有擴(kuò)散的病毒模型便是其中的一個(gè)熱點(diǎn)問題,并取得了一系列好的結(jié)果[6-10]。上述相關(guān)模型的研究,主要集中在感染率函數(shù)的變化以及免疫反應(yīng)的引入,感染率函數(shù)主要集中在雙線性函數(shù)、Holling-II型反應(yīng)函數(shù)、Beddington-DeAngelis反應(yīng)函數(shù)、Crowley-Martin反應(yīng)函數(shù)以及更一般的反應(yīng)函數(shù)方面,而且,許多時(shí)候人們忽視了病毒的流動(dòng)性,實(shí)際上病毒是可以自由移動(dòng)的,它們的運(yùn)動(dòng)遵循Fickian擴(kuò)散。受系統(tǒng)(1)和上述研究的直接啟發(fā),本文擬討論如下具有時(shí)滯的反應(yīng)擴(kuò)散HIV模型:

    (2)

    初值條件為

    Z(x,θ)=φ1(x,θ),I(x,θ)=φ2(x,θ),V(x,θ)=φ3(x,θ),

    (3)

    齊次Neumann邊界條件為

    (4)

    1 解的整體存在性和適定性

    F3(φ)(x)=kφ2(x,0)-αφ3(x,0),

    F4(φ)(x)=βφ2(x,0)φ4(x,0)-δφ4(x,0),

    則F在Γ上是局部Lipschitz的,于是系統(tǒng)(2)—(4)可改寫成如下的抽象泛函微分方程:

    (5)

    其中φ=(Z,I,V,T)T,φ=(φ1,φ2,φ3,φ4)T,Aφ=(0,0,dVΔV,0)T。顯然,根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的存在性理論[11],系統(tǒng)(5)在[0,Tmax)上存在一個(gè)唯一的局部解,Tmax是系統(tǒng)(5)的最大存在時(shí)間[12],且0=(0,0,0,0)T顯然是系統(tǒng)(2)—(4)的下解,因此,Z(x,t)≥0,I(x,t)≥0,V(x,t)≥0,T(x,t)≥0。

    λ-γ(Z(x,t-τ)+I(x,t)+T(x,t)),

    2 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

    設(shè)0=η1<η2<…<ηn<…是在Ω上具有齊次Neumann邊界條件的拉普拉斯算子-Δ的特征值,E(ηi)(i=1,2,…)是在C1(Ω)上對(duì)應(yīng)于特征值ηi的特征函數(shù)空間。{φij:j=1,2,…,dimE(ηi)}是E(ηi)的標(biāo)準(zhǔn)正交基,X=[C1(Ω)]4,Xij={hφij:h∈R4},則

    其中⊕代表子空間的直和。

    其中Q=diag(0,0,dV,0),U=(Z,I,V,T),

    (6)

    定理2 若R0<1,則系統(tǒng)(2)—(4)的未感染平衡點(diǎn)E0局部漸近穩(wěn)定;若R0>1,則E0不穩(wěn)定。

    證明未感染平衡點(diǎn)E0處的特征方程可化為

    (7)

    顯然,ξ1=-m,ξ2=-δ是方程(7)的兩個(gè)負(fù)實(shí)根,其余的根由方程

    (8)

    以下只需討論τ>0的情形。令ξ=iω,ω∈R,代入方程(8),分離實(shí)部和虛部可得

    (9)

    (10)

    將式(9)和式(10)兩端平方相加即得

    顯然,當(dāng)R0<1時(shí),ω2<0,矛盾。因此,特征方程(8)不存在純虛根,即當(dāng)R0<1時(shí),對(duì)任意的τ>0,未感染平衡點(diǎn)E0局部漸近穩(wěn)定。綜上,當(dāng)R0<1時(shí),對(duì)任意的τ≥0,未感染平衡點(diǎn)E0局部漸近穩(wěn)定。

    定理3 若R0<1,則系統(tǒng)(2)—(4)的未感染平衡點(diǎn)E0全局漸近穩(wěn)定。

    于是,

    定理4 若R1≤1

    于是

    定理5 若R1>1,則系統(tǒng)(2)—(4)的感染免疫平衡點(diǎn)E2全局漸近穩(wěn)定。

    于是

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