一類具有擴(kuò)散和時(shí)滯的HIV模型的動(dòng)力學(xué)分析

蒲武軍

(隴南師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)學(xué)系， 甘肅 隴南 742500)

近年來，病毒已經(jīng)嚴(yán)重威脅到人類社會(huì)的健康，許多不同領(lǐng)域的學(xué)者都在利用各種方式致力于宿主病毒感染過程中的機(jī)制和動(dòng)力學(xué)行為研究，當(dāng)然，對(duì)于艾滋病病毒(HIV)的研究也不例外，許多應(yīng)用數(shù)學(xué)工作者提出了一系列的HIV模型，并進(jìn)行了詳細(xì)的研究，獲得了許多好的結(jié)果[1-4]。最近，文獻(xiàn)[5]提出了一個(gè)具有時(shí)滯的HIV模型：

(1)

討論了系統(tǒng)(1)各類平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性，研究了具有狀態(tài)和控制時(shí)滯的最優(yōu)控制問題，并進(jìn)行了數(shù)值模擬。顯然，對(duì)于HIV模型的研究，時(shí)滯是一個(gè)不可忽視的因素，與此同時(shí)，病毒粒子的擴(kuò)散更應(yīng)該受到重視，因此，探討具有擴(kuò)散的病毒模型便是其中的一個(gè)熱點(diǎn)問題，并取得了一系列好的結(jié)果[6-10]。上述相關(guān)模型的研究，主要集中在感染率函數(shù)的變化以及免疫反應(yīng)的引入，感染率函數(shù)主要集中在雙線性函數(shù)、Holling-II型反應(yīng)函數(shù)、Beddington-DeAngelis反應(yīng)函數(shù)、Crowley-Martin反應(yīng)函數(shù)以及更一般的反應(yīng)函數(shù)方面，而且，許多時(shí)候人們忽視了病毒的流動(dòng)性，實(shí)際上病毒是可以自由移動(dòng)的，它們的運(yùn)動(dòng)遵循Fickian擴(kuò)散。受系統(tǒng)(1)和上述研究的直接啟發(fā)，本文擬討論如下具有時(shí)滯的反應(yīng)擴(kuò)散HIV模型：

(2)

初值條件為

Z(x,θ)=φ1(x,θ),I(x,θ)=φ2(x,θ),V(x,θ)=φ3(x,θ),

(3)

齊次Neumann邊界條件為

(4)

1 解的整體存在性和適定性

F3(φ)(x)=kφ2(x,0)-αφ3(x,0),

F4(φ)(x)=βφ2(x,0)φ4(x,0)-δφ4(x,0),

則F在Γ上是局部Lipschitz的，于是系統(tǒng)(2)—(4)可改寫成如下的抽象泛函微分方程：

(5)

其中φ=(Z，I，V，T)T，φ=(φ1，φ2，φ3，φ4)T，Aφ=(0，0，dVΔV，0)T。顯然，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的存在性理論[11]，系統(tǒng)(5)在[0，Tmax)上存在一個(gè)唯一的局部解，Tmax是系統(tǒng)(5)的最大存在時(shí)間[12]，且0=(0，0，0，0)T顯然是系統(tǒng)(2)—(4)的下解，因此，Z(x，t)≥0，I(x，t)≥0，V(x，t)≥0，T(x，t)≥0。

λ-γ(Z(x,t-τ)+I(x,t)+T(x,t)),

2 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

設(shè)0=η1<η2<…<ηn<…是在Ω上具有齊次Neumann邊界條件的拉普拉斯算子-Δ的特征值，E(ηi)(i=1，2，…)是在C1(Ω)上對(duì)應(yīng)于特征值ηi的特征函數(shù)空間。{φij：j=1，2，…，dimE(ηi)}是E(ηi)的標(biāo)準(zhǔn)正交基，X=[C1(Ω)]4，Xij={hφij：h∈R4}，則

其中⊕代表子空間的直和。

其中Q=diag(0，0，dV，0)，U=(Z，I，V，T)，

(6)

定理2 若R0<1，則系統(tǒng)(2)—(4)的未感染平衡點(diǎn)E0局部漸近穩(wěn)定；若R0>1，則E0不穩(wěn)定。

證明未感染平衡點(diǎn)E0處的特征方程可化為

(7)

顯然，ξ1=-m，ξ2=-δ是方程(7)的兩個(gè)負(fù)實(shí)根，其余的根由方程

(8)

以下只需討論τ>0的情形。令ξ=iω，ω∈R，代入方程(8)，分離實(shí)部和虛部可得

(9)

(10)

將式(9)和式(10)兩端平方相加即得

顯然，當(dāng)R0<1時(shí)，ω2<0，矛盾。因此，特征方程(8)不存在純虛根，即當(dāng)R0<1時(shí)，對(duì)任意的τ>0，未感染平衡點(diǎn)E0局部漸近穩(wěn)定。綜上，當(dāng)R0<1時(shí)，對(duì)任意的τ≥0，未感染平衡點(diǎn)E0局部漸近穩(wěn)定。

定理3 若R0<1，則系統(tǒng)(2)—(4)的未感染平衡點(diǎn)E0全局漸近穩(wěn)定。

則

于是，

定理4 若R1≤1

則

于是

定理5 若R1>1，則系統(tǒng)(2)—(4)的感染免疫平衡點(diǎn)E2全局漸近穩(wěn)定。

則

于是