算子方程X+A*X-tA=I的正算子解的刻畫

楊凱凡

(陜西理工大學 數(shù)學與計算機科學學院, 陜西 漢中 723000)

算子理論是泛函分析的重要組成部分，算子方程是算子理論中一個非常重要的的分支，其在動態(tài)規(guī)劃[1]、控制論[2]、隨機濾波[3]等方面都有廣泛的應用。近年來,在有限維空間上，X+A*X-2A=Q,X-A*X-tA=I等形式的矩陣方程受到許多學者的關注[4-9]。前人主要是在有限維空間上，利用矩陣論的相關知識，給出這類方程有正定矩陣解的一些條件。 本文利用算子理論知識，在無限維Hlibert空間上， 研究方程X+A*X-tA=I正算子解問題，給出此類方程有正算子解的一些充分條件和必要條件。

設B(H)表示無限維Hilbert空間H上的有界線性算子組成的全體。對于A∈B(H), 如果對任意x∈H,都有〈Ax,x〉≥0,則稱A為正算子,記為A≥0。對于A,B∈B(H),A≥B表示A-B為正算子。P>0 表示P是正可逆算子,對于A∈B(H)，A*、‖A‖、σ(A)、γ(A)、N(A)分別表示算子A的伴隨算子、范數(shù)、譜、譜半徑及核空間。本文研究非線性算子方程

X-A*X-tA=I

(1)

的正算子解問題，其中A∈B(H)是給定算子，t是(0,1)上的實數(shù)。

1 預備知識

引理1.1[10]設A、B是B(H)上的自伴算子且A≤B, 則對任意T∈B(H)有T*AT≤T*BT。

定理1.2[10]設P、Q是正算子,且P≥Q，如果PQ=QP，則對任意實數(shù)t>1，有Pt≥Qt。

對于B(H)上的正算子，以下事實是顯然的：

(1) 對于A∈B(H)有A≤‖A‖I；

(2) 設A,B∈B(H)，若A≥B≥0,則‖A‖≥‖B‖；

(3) 若P、Q是正的可逆算子，且P≥Q，則P1≤Q-1；

(4) 對于0

2 主要結論及其證明

定理2.1 若算子方程(1)有正算子解X,則

(2) 由方程(1)可得

即

定理2.2 若X+A*X-tA=I有正算子解X,則‖X‖=1當且僅當A沒有正的下界。

證明必要性:

〈Xx,x〉=1-〈A*X-tAx,x〉，

所以〈A*X-tAxn,xn〉→0。

另一方面，

所以Axn→0，因此A沒有正的下界。

充分性:

從定理2.1知‖X‖≤1。假設‖X‖<1,則I-X是正可逆的，因此，存在δ>0，對H上的任意單位向量x，有

〈(I-X)x,x〉≥δ‖x‖2，而A*X-tA=I-X，

所以，

即

因此A是下有界的，矛盾，因此‖X‖=1。

定理2.3 設A是可逆算子，方程(1)在(0,I)上有解的充要條件是存在α∈(0,1) 使得對算子序列

(2)

中的所有算子，有Xk≤αI，此時，算子序列(2)收斂于方程(1)的解。

證明充分性:

假設Xk>Xk-1，則

必要性:

因此對算子序列 (2)中的所有算子，有Xk≤αI。

定理2.4 設A是可逆算子，若存在實數(shù)β∈(0,1)使得AA*≤βt(1-β)I，則算子方程(1)有正算子解。

推論1 設X是算子方程X+A*X-tA=I的一個正算子解,則

證明若X是算子方程X+A*X-tA=I的一個正算子解,因為

I>X>0,且0<λmin(X)I≤X≤λmax(X)I，

因此

所以

即

證明若X+A*X-tA=I有正算子解X, 由A*X-tA=I-X可知N(A)?N(I-X)。相反地,對任意x∈N(I-X),有A*X-tAx=0,因此X-(t/2)Ax=0,所以Ax=0由此可得N(I-X)?N(A)。所以在空間分解H=N(A)⊕N(A)⊥下, 算子A和X有如下的算子矩陣形式

由X>0可知Y>0。由方程X+A*X-tA=I有

即

證畢。