可對角型的R－矩陣

胡紅梅

（蘇州科技大學 數(shù)學科學學院，江蘇 蘇州 215009）

Yang-Baxter 方程1964 年首次出現(xiàn)在Mecluire J.B[1]的文章中，是由1967 年楊振寧[2]研究δ 函數(shù)作用勢的一維多體系統(tǒng)引入的Y-算符，以及20 世紀70 年代初Baxter R.J[3]研究二維統(tǒng)計模型的時候提出的自洽關系而形成的。Yang-Baxter 方程是指滿足形如R12R13R23＝R23R13R12等式的方程，其中記號Rij表示在張量積的第i 個和第j 個分量上放置相應的方程的解，其余分量是單位元素。Yang-Baxter 方程一經(jīng)提出后，其理論就迅速得到了充分的發(fā)展，且引發(fā)了理論物理與數(shù)學許多重要的分支，例如扭結(jié)理論、可積系統(tǒng)理論、霍普夫代數(shù)的表示理論等。它一直是當前理論物理與數(shù)學研究的一個熱點，被眾多的數(shù)學家和物理學家所關注[4-6]。如何給出一個方程的解集本身是一個很有意義的數(shù)學問題[7]，因此，對于Yang-Baxter 方程如何尋求它所有的可逆解一直都在被研究，其可逆解又被稱為R-矩陣。同樣與代數(shù)表示理論的很多分支、理論物理等有著密切聯(lián)系的量子包絡代數(shù)Uq（g）的表示恰恰給出了Yang-Baxter 方程的很多可逆解[8]。這使得Yang-Baxter 方程的解集問題得到了很大的發(fā)展。量子包絡代數(shù)Uq（g）是復數(shù)域上有限維單李代數(shù)g的普遍包絡代數(shù)U（g）的量子化。它的擬三角結(jié)構(gòu)決定了其表示范疇不再是普通的張量范疇，而是結(jié)構(gòu)更豐富的辮子張量范疇。因此，作為Yang-Baxter 方程的解集的很大一部分，R-矩陣已經(jīng)作為一個很重要的分支在很多文章中進行了研究。這類R-矩陣分為兩大類：（1）可對角型，即對應的辮子矩陣是可對稱矩陣；（2）不可對角型，對應的辮子矩陣是不可對稱化矩陣。但是大部分R-矩陣是很難被判別屬于哪一種類型。文中探究了從形變量子包絡代數(shù)表示出發(fā)來研究R-矩陣類型的方法。特別地，通過形變A 型量子包絡代數(shù)Uq（sI2）的4 維的spin 表示，證明一個42×42的R-矩陣是對角型的。同時在文末，簡述了可對角型R-矩陣在表示的譜分解中的應用。

1 預備知識

定義1[9]A 型李代數(shù)sI2的單根為α1，且（α1，α1）=2，對應的量子包絡代數(shù)Uq（sI2）是由E1，F(xiàn)1，K1生成的，且滿足關系式

其中參數(shù)q 是一個復數(shù)，且滿足ql≠1，對于任意的正整數(shù)l。文獻[9]中給出了量子包絡代數(shù)Uq（sI2）的擬三角結(jié)構(gòu)，即廣義的R－矩陣是

下文中，記號TV表示是量子包絡代數(shù)Uq（sI2）的4 維spin 表示。在文獻[10]中通過權的大小給出了表示空間V 的一組有序基xi，i=1，2，3，4，再根據(jù)

可得出4 維spin 表示對應的42×42階R-矩陣，其中與表示TV相關的算子BVV的定義是BVV（xi?xj）=q（μi，μj）（xi?xj），μi是基xi的權值。在文獻[10]中這個R-矩陣對應的辮子矩陣PR 不是對稱矩陣，從這個角度容易誤導去認為這個R-矩陣是不可對角型。因此引發(fā)出一個問題：這個R-矩陣對應的辮子矩陣能否相似到一個對稱矩陣？如果單純從矩陣的角度出發(fā)，去找一個過渡矩陣證明這個R-矩陣的辮子矩陣PR 能相似到一個對稱矩陣，從而來證明此R-矩陣是可對角型是不容易的。文中從量子包絡代數(shù)的表示出發(fā)，具體通過對Uq（sI2）的4 維spin 表示進行形變的方法，證明上面的R-矩陣是屬于對角型的。為了方便起見，下文中用記號R*來表示這個R-矩陣。

2 重要定理

定理1矩陣R*是可對角型的R-矩陣。

證明首先對A 型量子包絡代數(shù)Uq（sI2）的4 維的spin 表示進行如下的形變，將這個表示仍記為TV，其中V 是以v1，v2，v3，v4為一組基的4 維的表示空間。用矩陣的語言具體表達出這個表示的作用如下

由此可見雖然廣義的R－矩陣（1）是有無限項和，但是當對應到具體的spin 表示的作用時，只有有限項的和是有效的。下文中，根據(jù)廣義的R－矩陣（1）和表達式（2）來具體計算它所對應的表示矩陣，將其記為RV。

因此，可得矩陣RV第（11）列只存在一個非零元，其位于第（11）行，其余元素均為0。

因此，可得矩陣RV第（12）列存在兩個非零元，分別位于第（12）行和第（21）行，其余元素均為0。

由此，可得矩陣RV第（13）列存在三個非零元，分別位于第（13）行、第（22）行和第（31）行，其余元素均為0。

由此，可得矩陣RV第（14）列存在四個非零元，分別位于第（14）行、第（23）行、第（32）行和第（41）行，其余元素均為0。同理，根據(jù)表示的作用可得矩陣RV中其余列的非零元素的表達式。從而可得矩陣RV具體為

可見形變后的新表示下對應的R-矩陣是下三角的矩陣，且和形變前的R-矩陣R*是相似關系。再根據(jù)，，可得R-矩陣RV對應的辮子矩陣PRV為

可見PRV是一個對稱矩陣，因此，在表示的形變下得證了Uq（sI2）的4 維spin 表示對應的R-矩陣R*是可對角型的。

作為一個很重要的應用，根據(jù)此定理可得出其辮子矩陣PRV極小多項式是不存在重根的，這等價證明了量子包絡代數(shù)Uq（sI2）的spin 表示是可以進行譜分解。有了譜分解以后，表示空間就可以進行直和分解，從而得到互不同構(gòu)的子表示，以及原來表示到其子表示的投射覆蓋等一系列的結(jié)論。同時在量子包絡代數(shù)表示論中，具體譜分解的知識可以進一步去考慮量子包絡代數(shù)的遞歸構(gòu)造，以及一些物理上的應用，具體可參見文獻[11－12]等。