淺談湊微分法的教學(xué)

黃海濤

（湖南幼兒師范高等?？茖W(xué)校，湖南 常德 415000）

不定積分作為微積分學(xué)最基礎(chǔ)的內(nèi)容之一，是學(xué)生今后學(xué)習(xí)其他知識的基礎(chǔ)，是后續(xù)知識的過渡橋梁，在知識體系中有承上啟下的作用。當(dāng)前，高等數(shù)學(xué)的課時普遍較少，學(xué)生學(xué)習(xí)的任務(wù)繁重，部分學(xué)生沒有養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣等因素，導(dǎo)致部分學(xué)生在學(xué)習(xí)不定積分這部分知識時，感覺非常難懂、很抽象，對各種不同的計算技巧和方法感到難以掌握和靈活地運用，這在一定程度上加重了他們的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，也對學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性產(chǎn)生了不好的影響。針對這種現(xiàn)象，本文結(jié)合筆者的教學(xué)經(jīng)驗，對湊微分法（第一類換元積分法）的教學(xué)和使用，介紹了自己獨到的理解，并結(jié)合具體實例展開分析，以期幫助學(xué)生快速地掌握湊微分法的基本思想和方法。

1 湊微分法教學(xué)中必須講清的幾個關(guān)系

1.1 原函數(shù)的概念與微分計算公式

原函數(shù)的概念是不定積分中出現(xiàn)的一個最基本的概念，引入這個概念并不難[2]。

定義1 設(shè)函數(shù)F(x)和f(x)在區(qū)間I上有定義，若對于I上的每一點，都有

F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx

則稱F(x)是f(x)在區(qū)間I上的原函數(shù)。

從微分計算公式dF(x)=f(x)dx來看，從左向右是求導(dǎo)的過程，從右向左是湊微分的過程，也是一個積分的過程。因為這一過程并沒有出現(xiàn)積分號，常會使學(xué)生感到困惑，所以運用湊微分法求不定積分，需要學(xué)生熟悉常用的微分式，要讓學(xué)生明白，湊微分的過程就是在找原函數(shù)，此過程中已經(jīng)在進行積分了。例如常見的微分式：可改寫為積分式，可改寫為等等。正確理解上述概念是學(xué)好湊微分法的第一步。

1.2 導(dǎo)數(shù)與不定積分的互逆關(guān)系

根據(jù)不定積分的定義，若F'(x)=f(x)，則有，由此可見導(dǎo)數(shù)與不定積分是互逆關(guān)系。要想把握不定積分的本質(zhì)，必須弄清兩者之間的關(guān)系。例如：

1.3 不定積分的形式不變性

對于積分基本公式，許多學(xué)生可以理解和熟記，但往往不能熟練使用，特別是對公式的變形，更是一竅不通[3]。在教學(xué)中，我們要幫助學(xué)生深刻理解積分變量的“符號”作用，中的積分變量x可以換成可導(dǎo)函數(shù)φ(x)，公式依然成立，變形為，更一般的，可用符號“□”去替換積分變量x，只要積分的形式一致，就可以利用基本公式進行積分。

對于公式中的變量x，不妨用符號“□”去替換，得到的形式。（其中□可以是x，可以是x2，可以是關(guān)于x的函數(shù)φ(x)，等等）

具體解題時，學(xué)生易受到思維定勢的影響，總以為積分變量只能是x，其實，可以將某一個式子作為積分變量，將某一個整體看作積分變量，深刻體會不定積分的形式不變形是掌握湊微分法的關(guān)鍵。

2 湊微分法的解題步驟

學(xué)生在進行解題時，有時不知如何下手，教學(xué)中有必要將使用湊微分法的步驟向?qū)W生交代一下，幫助他們快速的理清思路，掌握方法。

運用湊微分法的主要步驟：

1）觀察積分式，聯(lián)想最接近的積分公式。

2）將被積函數(shù)中的某一部分看作積分變量，在d中湊出這個整體。

3）根據(jù)積分基本公式得到最終結(jié)果。

解 分析：（1）被積表達式中有，聯(lián)想最接近的積分基本公式；（2）把x這個整體看作積分變量，在d中湊出這一整體，即；（3）積分式變?yōu)?，根?jù)不定積分形式的不變性，將x這個整體看作積分變量，即的形式，對照形式得到最終結(jié)果。

3 總結(jié)

在用湊微分法解決不定積分問題時，找到正確的“整體”作為積分變量，從而在d中湊出這個“整體”，是學(xué)生最容易出錯的地方[4]。不定積分形式不變性表明，基本積分公式中的積分變量x可以換成某個函數(shù)、某個“整體”（比如x2，lnx，□，等等），公式依然成立，所以湊微分法的目的就是將所要求的積分轉(zhuǎn)化為能使用基本積分公式的廣義形式。學(xué)生在平時的練習(xí)中要隨時注意被積函數(shù)的類型和特點，并體會積分變量的“符號”作用，從而提高用湊微分法準(zhǔn)確、迅速求解不定積分的能力。