漸開線斜齒輪齒面點(diǎn)偏差求解及三維齒面偏差評(píng)定

張登攀，王黎陽(yáng)，張洪良，劉瑞弢，王宇，姚新景

(河南理工大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，河南 焦作 454000)

0 引 言

近年來,隨著坐標(biāo)測(cè)量技術(shù)、傳感器技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，尤其是數(shù)據(jù)處理軟件功能的增強(qiáng)，三維齒面形貌偏差、分解齒輪單項(xiàng)幾何偏差和頻譜分析等誤差項(xiàng)目的測(cè)量得到了推廣[1]。

國(guó)內(nèi)外專家學(xué)者對(duì)齒面三維偏差獲取與分解開展了大量的研究。石照耀等[2]提出了多自由度回歸齒面的齒輪誤差評(píng)定算法；張白等[3]將齒輪三維數(shù)據(jù)降維至二維數(shù)據(jù)，再對(duì)二維測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行各項(xiàng)誤差評(píng)定；大連理工大學(xué)精密齒輪團(tuán)隊(duì)[4-5]對(duì)改進(jìn)后的齒輪測(cè)量中心Mahr891E螺旋線偏差測(cè)量系統(tǒng)測(cè)量不確定度進(jìn)行評(píng)定，借助Mahr891E齒輪測(cè)量中心獲得齒面偏差并對(duì)齒輪三維齒面偏差擬合分離；姬建鋼等[6]對(duì)漸開線圓柱齒輪修型原理及修形技術(shù)進(jìn)行了綜合論述；W.Lotze等[7]通過對(duì)齒面坐標(biāo)擬合，提出齒輪誤差三維測(cè)量技術(shù)；YUE P等[8]利用二維切比雪夫正交多項(xiàng)式對(duì)齒面偏差整體擬合，對(duì)齒面偏差進(jìn)行評(píng)價(jià)；Vit Zeleny等[9]使用齒輪幾何方法推導(dǎo)測(cè)點(diǎn)的齒形和螺旋偏差的計(jì)算公式。以上研究可以較好描述齒面偏差，但仍存在以下問題：齒面點(diǎn)偏差的求解過程不明確；三維齒面偏差曲面擬合評(píng)價(jià)與傳統(tǒng)齒面偏差評(píng)價(jià)的關(guān)系不確定。

針對(duì)以上問題，本文提出一種利用坐標(biāo)法獲取三維齒面偏差的方法。在柱坐標(biāo)系下推導(dǎo)圓柱漸開線斜齒輪測(cè)量點(diǎn)坐標(biāo)與標(biāo)準(zhǔn)齒面的垂直偏差,使用二維勒讓德正交多項(xiàng)式對(duì)齒面偏差整體擬合并評(píng)定齒面偏差。以含有徑向變位的6級(jí)精度圓柱斜齒輪為例，采用三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)對(duì)齒輪進(jìn)行測(cè)量實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)使用MATLAB編程計(jì)算結(jié)果,評(píng)定齒面偏差，將計(jì)算結(jié)果與齒輪測(cè)量中心報(bào)告中部分偏差數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證該方法的可行性。

1 齒面點(diǎn)偏差的求解

本文將齒面各偏差均視為在標(biāo)準(zhǔn)齒形上偏轉(zhuǎn)一定角度所形成。以齒輪上端面為基準(zhǔn)面，把與被測(cè)齒輪齒數(shù)、模數(shù)相同的標(biāo)準(zhǔn)漸開線齒輪第一個(gè)輪齒齒形作為基準(zhǔn)齒形，將測(cè)量點(diǎn)旋轉(zhuǎn)變換至基準(zhǔn)齒形附近。視測(cè)量點(diǎn)為偏離基準(zhǔn)齒形一角度的輔助漸開線上一點(diǎn)，測(cè)量點(diǎn)的漸開線生成線與基準(zhǔn)齒面漸開線的交點(diǎn)即為測(cè)量點(diǎn)端面對(duì)應(yīng)點(diǎn)。由漸開線性質(zhì)求得兩者距離，其在齒面的法向分量即為垂直于齒面的偏差。

齒輪基本參數(shù)如表1示，其中螺旋角β左旋為正，右旋為負(fù)，直齒取0。

表1 斜齒輪基本參數(shù)

1.1 建立坐標(biāo)系

將齒輪水平放置，齒輪中心軸線向上為z軸正向，交齒輪上端面于坐標(biāo)原點(diǎn)O。以z=0作為基準(zhǔn)面，從原點(diǎn)過一齒頂圓弧中點(diǎn)向外引出一條極軸ρ，并以該齒為基準(zhǔn)作為第一齒，從第一齒順時(shí)針順序編號(hào)[10]，逆時(shí)針為極角正向，建立齒輪柱坐標(biāo)系，如圖1所示。此坐標(biāo)系是依據(jù)測(cè)量直角坐標(biāo)系經(jīng)變換得到的計(jì)算柱坐標(biāo)系。

圖1 齒輪柱坐標(biāo)系

選取被測(cè)齒面上取值范圍內(nèi)任一測(cè)量點(diǎn)Kμ(ρμ,θμ,zμ)為例。其中下標(biāo)μ表示該點(diǎn)為測(cè)量點(diǎn)，以與η表示基準(zhǔn)齒形點(diǎn)相區(qū)別。表2列出本文涉及到的斜齒圓柱齒輪參數(shù)及計(jì)算公式，本文取法面齒頂高系數(shù)為1，法面頂隙系數(shù)為0.25。

表2 斜齒圓柱齒輪參數(shù)及計(jì)算公式

首先將測(cè)量點(diǎn)坐標(biāo)值轉(zhuǎn)換為柱坐標(biāo)值，針對(duì)漸開線部分給出取值范圍以篩選數(shù)據(jù)。

由表2得(Te為當(dāng)rb=rf時(shí)齒輪齒數(shù))

(1)

極徑ρμ的取值：當(dāng)齒數(shù)T≤Te時(shí)，齒根圓半徑小于基圓半徑，rb<ρμTe時(shí)，齒根圓半徑大于基圓半徑，rf<ρμ

zμ的取值為：-b

1.2 測(cè)量點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換

斜齒圓柱齒輪可以看作由漸開線標(biāo)準(zhǔn)齒形沿軸向螺旋上升形成，利用該性質(zhì)將測(cè)量點(diǎn)Kμ旋轉(zhuǎn)至z=0基準(zhǔn)面，對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)角度如圖2示。

圖2 螺旋角在基準(zhǔn)面對(duì)應(yīng)角度

由螺旋角與直徑關(guān)系[11]，Kμ旋轉(zhuǎn)到z=0端面后極角θd如式(2)表示,其中βμ為Kμ處螺旋角。

通過式(3)求出該測(cè)量點(diǎn)位于第i齒，其中方括號(hào)表示向下取整：

(3)

將θd去除i-1個(gè)齒距的影響，得到在基準(zhǔn)齒形附近的θt：

θt=θd-(i-1)×π×mt，

(4)

1.3 輔助點(diǎn)極角

以測(cè)量點(diǎn)Kμ極徑ρμ為半徑在基準(zhǔn)面做輔助圓，交第一基準(zhǔn)齒形于輔助點(diǎn)Kξ(ρξ,θξ,0),如圖3所示。

圖3 基準(zhǔn)齒形各角度

Kξ點(diǎn)處的極徑ρξ=ρμ，根據(jù)漸開線極坐標(biāo)方程[12]，其壓力角αξ與漸開線函數(shù)uξ分別為

(5)

uξ=tanαξ-αξ，

(6)

分度圓壓力角對(duì)應(yīng)的漸開線函數(shù)為

uα=tanαt-αt,

(7)

在標(biāo)準(zhǔn)齒形分度圓上齒厚等于齒槽寬，半個(gè)齒厚圓弧對(duì)應(yīng)極角為

λ=2π/4T，

(8)

1.4 徑向變位量

斜齒圓柱齒輪傳動(dòng)多采用標(biāo)準(zhǔn)斜齒輪，也可以采用高度變位或角度變位。采用角度變位對(duì)提高斜齒輪的承載能力效果不大，本文對(duì)高度變位齒輪給出計(jì)算。

高度變位又名等移距變位，可將變位視為基準(zhǔn)齒形沿漸開線方向、齒頂齒根沿徑向偏移2xn×mn，如圖4所示。對(duì)于變位斜齒圓柱齒輪，如果用其端面的值，則仍可用直齒圓柱齒輪的計(jì)算公式。漸開線齒廓端面變位量px為

定向越野運(yùn)動(dòng)并不像傳統(tǒng)體育教學(xué)只依賴固定的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地，而是充分利用天然的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地，例如郊外、田野或校園內(nèi)的小樹林。充分利用天然的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地讓體育教學(xué)內(nèi)涵變得更加豐富多彩。大學(xué)生的課余時(shí)間相對(duì)來說較為充裕，適當(dāng)開展定向越野運(yùn)動(dòng)能讓學(xué)生走出寢室，豐富課余生活。

圖4 端面徑向變位量

px=xn×cosβ×mt×tanαt。

(9)

1.5 齒面點(diǎn)偏差的計(jì)算

圖5 端面點(diǎn)偏差

通過以上計(jì)算，得出測(cè)量點(diǎn)垂直于端面基準(zhǔn)齒形的距離，空間中測(cè)量點(diǎn)垂直于齒面的距離[13]為(βb為基圓螺旋角)

dμ=dt×cosβb。

(11)

2 三維齒面偏差的評(píng)定

對(duì)齒面所有測(cè)量點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，形成齒面偏差點(diǎn)云，建立齒面坐標(biāo)系，對(duì)齒面偏差點(diǎn)云進(jìn)行擬合評(píng)估，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)三維齒面偏差的評(píng)定。

2.1 齒面坐標(biāo)系建立

參照GB/T 10095.1-2008中的齒廓偏差和螺旋線偏差范圍，建立齒面(u,v,d)坐標(biāo)系，如圖6所示。其中，u為齒廓偏差定義中的可用長(zhǎng)度,即2條端面基圓切線長(zhǎng)度之差，方向沿齒廓從rb到齒頂；v為螺旋線偏差定義中的跡線長(zhǎng)度，與齒寬成正比，方向從負(fù)齒寬到z=0；dμ為式(11)求得的齒面偏差值，方向垂直于齒面。通過式(12)計(jì)算測(cè)量點(diǎn)在齒面坐標(biāo)對(duì)應(yīng)值。

圖6 齒面坐標(biāo)系Fig.6 Tooth surface coordinate system

(12)

2.2 二維勒讓德正交多項(xiàng)式

二維勒讓德正交多項(xiàng)式的正交性使各項(xiàng)之間無串?dāng)_，增加或刪除一個(gè)項(xiàng)對(duì)其他項(xiàng)沒有影響，而且由于二維勒讓德正交多項(xiàng)式前6項(xiàng)函數(shù)圖像與齒面常見偏差有相似特征[14]，因此，齒面常見偏差可用二維勒讓德多項(xiàng)式前6項(xiàng)表示。以下通過一維勒讓德正交多項(xiàng)式引入二維勒讓德正交多項(xiàng)式的概念。

區(qū)間為[-1,1],權(quán)函數(shù)為1，一維勒讓德多項(xiàng)式遞推表達(dá)式為

(13)

在區(qū)間x×y=[-1,1]×[-1,1]上，二維勒讓德多項(xiàng)式表達(dá)式為(下標(biāo)m,n分別為x,y的次數(shù))

Lm,n(x,y)=Pm(x)×Pn(y)，

(14)

由一維勒讓德正交多項(xiàng)式的正交性：

二維勒讓德正交多項(xiàng)式前6項(xiàng)表示為

(17)

取二維勒讓德正交多項(xiàng)式前6項(xiàng)為基函數(shù)，對(duì)齒面偏差函數(shù)D(x,y)進(jìn)行最小二乘擬合[15-16]，得到D(x,y),可表示為

D(x,y)=∑Am,n×Lm,n(x,y)=
∑Am,n×Pm(x)×Pn(y)。

(18)

2.3 齒面偏差評(píng)定

在齒面坐標(biāo)系下對(duì)齒面偏差點(diǎn)云進(jìn)行擬合，齒面偏差擬合前使用3δ準(zhǔn)則除去壞點(diǎn)。將u，v歸一化至[-1,1]×[-1,1]區(qū)間，D即為dμ齒面偏差矩陣，代入式(19),求得各項(xiàng)系數(shù)：

(19)

常見齒面偏差類型(齒距偏差、齒廓斜率偏差、螺旋線斜率偏差、扭曲偏差、齒廓凸度、輪齒鼓度)示意圖與二維勒讓德正交多項(xiàng)式前6項(xiàng)(以x,y,z為例)，在[-1,1]×[-1,1]域內(nèi)函數(shù)圖像對(duì)比見圖7。

圖7 齒面偏差與二維勒讓德多項(xiàng)式各項(xiàng)函數(shù)

結(jié)合GB/T 10095.1-2008與GB/Z 18620.1-2008中各偏差量計(jì)算方法與二維勒讓德正交多項(xiàng)式前6項(xiàng)函數(shù)性質(zhì)可推導(dǎo)出：擬合項(xiàng)中一次項(xiàng)L0,1,L1,0斜率為1，可用系數(shù)直接表示對(duì)應(yīng)偏差量；擬合項(xiàng)中二次項(xiàng)L2,0,L0,2在域內(nèi)的z范圍為[-0.5，1]，可用其系數(shù)值的1.5倍表示對(duì)應(yīng)偏差值，其符號(hào)取決于左右齒面及偏差凹凸類型，若左齒面凸偏差、右齒面凹偏差，二次項(xiàng)系數(shù)符號(hào)為負(fù)，否則為正。

3 三坐標(biāo)測(cè)量與齒面偏差估算

本文使用?？怂箍礕LOBAL STATUS 9128三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)，允許誤差2.2+4.0L/1 000 μm(L為測(cè)量值)，在規(guī)定測(cè)量環(huán)境下[18]進(jìn)行齒輪測(cè)量，測(cè)量設(shè)備及環(huán)境如圖8所示。

圖8 齒輪測(cè)量設(shè)備及環(huán)境

被測(cè)齒輪基本參數(shù)見表3。

表3 被測(cè)齒輪基本參數(shù)

建立齒輪測(cè)量坐標(biāo)，使用PC-DMIS測(cè)量軟件對(duì)被測(cè)齒輪第一、五2齒左右齒面進(jìn)行測(cè)量，每一齒面沿齒廓方向等距開線掃描15條線得到齒面坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)據(jù)，如圖9所示。

圖9 掃描測(cè)量獲取齒面數(shù)據(jù)

通過MATLAB編程讀取齒面掃描數(shù)據(jù)，分別存入x,y,z矩陣，將各矩陣轉(zhuǎn)換為柱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)值，通過本文算法得出齒面點(diǎn)云偏差，并使用二維勒讓德正交多項(xiàng)式前6項(xiàng)對(duì)各齒面偏差擬合。

表4為各齒面偏差使用二維勒讓德多項(xiàng)式擬合各項(xiàng)系數(shù)的計(jì)算結(jié)果，其中u′、v′為齒面坐標(biāo)u、v歸一化至[-1,1]表示，表中“1左”表示被測(cè)第一齒左齒面，以此類推。表5為3906型齒輪測(cè)量中心報(bào)告部分偏差數(shù)值。

表4 各齒面偏差擬合項(xiàng)系數(shù)

表5 3906型齒輪測(cè)量中心報(bào)告部分偏差數(shù)值

使用二維勒讓德正交多項(xiàng)式擬合各偏差曲面如圖10示。擬合項(xiàng)中一次項(xiàng)L1,0=u′與L0,1=v′系數(shù)分別對(duì)應(yīng)測(cè)量中心報(bào)告中齒廓斜率偏差、螺旋線斜率偏差，系數(shù)值均在精度等級(jí)范圍內(nèi)。v′均值與報(bào)告中螺旋線斜率偏差均值相差較大，但其均值與三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)PC-DMISGear軟件測(cè)量評(píng)估結(jié)果均值接近，初步判斷是由齒輪上端面與齒輪制造基準(zhǔn)孔存在垂直度偏差、建立測(cè)量坐標(biāo)系坐標(biāo)軸與理想坐標(biāo)軸之間存在偏角而導(dǎo)致測(cè)量誤差引起的。

圖10 齒面偏差擬合圖Fig.10 Tooth surface deviation fitting diagram

其二次項(xiàng)L2,0=(3×u′2-1)/2、L0,2=(3×v′2-1)/2為凹函數(shù)，分別對(duì)應(yīng)測(cè)量中心報(bào)告中齒廓凸度、輪齒鼓度，本文規(guī)定逆時(shí)針方向?yàn)檎?，左齒面正偏差圖像上凸，所以其對(duì)應(yīng)二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)值。各齒面二次項(xiàng)系數(shù)的1.5倍分別為L(zhǎng)2,0：-1.036(左齒面)、-1.079(右齒面)；L0,2：-20.88(左齒面)、14.378(右齒面)，與測(cè)量中心報(bào)告中對(duì)應(yīng)項(xiàng)接近，驗(yàn)證了上文的推斷。

由u′×v′混合項(xiàng)得出各齒面還存在一定的扭曲偏差，傳統(tǒng)測(cè)量中心報(bào)告中無此項(xiàng)。齒距偏差與二維勒讓德正交多項(xiàng)式常數(shù)項(xiàng)的關(guān)系的確定，需要加強(qiáng)實(shí)驗(yàn)條件，在進(jìn)一步工作中完成。

4 結(jié) 論

(1)基于坐標(biāo)法，利用漸開線基本性質(zhì)，將齒面各變化均視為在標(biāo)準(zhǔn)齒形上偏轉(zhuǎn)一定角度形成，推導(dǎo)出含有徑向變位漸開線斜齒圓柱齒輪齒面點(diǎn)偏差的求解方法。

(2)利用二維勒讓德正交多項(xiàng)式的正交性及其前6項(xiàng)與齒面偏差函數(shù)特征的相似性，對(duì)齒面偏差點(diǎn)云進(jìn)行擬合，用擬合項(xiàng)描述齒廓斜率偏差、螺旋線斜率偏差、齒廓凸度和輪齒鼓度，確定勒讓德正交多項(xiàng)式項(xiàng)系數(shù)與對(duì)應(yīng)類型齒面偏差量的比例關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了基于面偏差數(shù)據(jù)的三維齒面偏差評(píng)定。

(3)使用三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)對(duì)6級(jí)精度含有徑向變位的斜齒圓柱齒輪進(jìn)行測(cè)量實(shí)驗(yàn)，將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與齒輪測(cè)量中心報(bào)告數(shù)據(jù)對(duì)比，采用以上方法實(shí)現(xiàn)的三維齒面偏差與測(cè)量中心報(bào)告結(jié)果接近，從而驗(yàn)證了該方法的可行性。

(4)確定齒距偏差項(xiàng)與二維勒讓德常數(shù)項(xiàng)的關(guān)系尚需加強(qiáng)實(shí)驗(yàn)條件，以進(jìn)一步驗(yàn)證本文結(jié)論。