例談小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)建模的習(xí)慣養(yǎng)成

李萬(wàn)英

教育的核心就是養(yǎng)成良好的習(xí)慣， 教師的任務(wù)就是在日常教學(xué)中幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的習(xí)慣。好的習(xí)慣就是好的人生起點(diǎn)，在人的綜合發(fā)展中，習(xí)慣總是伴隨在各個(gè)節(jié)點(diǎn)發(fā)揮著作用。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》所折射的一個(gè)重要理念就是在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建模型、滲透模型思想的重要性。顯然，這是一個(gè)具有高屋建瓴的設(shè)計(jì)，如何將這一設(shè)計(jì)理念內(nèi)化為數(shù)學(xué)教學(xué)中的“習(xí)慣形成”，尤其是在基礎(chǔ)教育階段，把對(duì)數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)做成“習(xí)慣形成”，這對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的走向定會(huì)有著積極的影響。

教學(xué)習(xí)慣的形成，其主體是教師和學(xué)生。教師是知識(shí)技能傳遞的核心載體，教師的主觀意識(shí)在潛移默化地影響著學(xué)生。顯然，教師的“習(xí)慣形成”必將左右學(xué)生的“習(xí)慣形成”。從這個(gè)角度看，在基礎(chǔ)教育階段，為學(xué)生建立良好的數(shù)學(xué)建模意識(shí)，并把它作為一種習(xí)慣養(yǎng)成，取決于教師的教和學(xué)生學(xué)中共同的“習(xí)慣形成”。

一、形成數(shù)學(xué)模型的思維意識(shí)，并成為習(xí)慣

小學(xué)階段是每個(gè)獨(dú)立的個(gè)體生活習(xí)慣、學(xué)習(xí)習(xí)慣養(yǎng)成的重要時(shí)期，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中也強(qiáng)調(diào)在這個(gè)時(shí)期，教師要關(guān)注小學(xué)生的建模意識(shí)的養(yǎng)成，要重視通過(guò)各種手段幫助學(xué)生養(yǎng)成建模的習(xí)慣，從而形成綜合能力。

1.把“數(shù)學(xué)模型”細(xì)化到具體教學(xué)之中

數(shù)學(xué)模型是為了描述數(shù)學(xué)教學(xué)中的各種概念、公式和定義，也包括用字母表達(dá)的運(yùn)算定律及性質(zhì)，用文字表達(dá)的數(shù)量關(guān)系，用圖形符號(hào)表達(dá)的趣味算式，還有圖表、結(jié)構(gòu)圖、框架圖、式與式的關(guān)聯(lián)圖等描述客觀事物特征及其內(nèi)在關(guān)聯(lián)性的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達(dá)式。這些對(duì)小學(xué)生而言，就是要細(xì)化到“每一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，都要想到去用數(shù)學(xué)表達(dá)”，這種表達(dá)，是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》設(shè)計(jì)了“數(shù)與代數(shù)”“空間與圖形”“統(tǒng)計(jì)與概率”“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”四大模塊的學(xué)習(xí)內(nèi)容，以數(shù)學(xué)活動(dòng)引導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，拓展小學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)感、對(duì)空間的感知能力、應(yīng)用意識(shí)和推理能力。這里提到的數(shù)學(xué)活動(dòng)，就是建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，教師在日常的教學(xué)過(guò)程中所設(shè)計(jì)的每一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，都應(yīng)成為學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程。

2.讓“數(shù)學(xué)模型”成為教和學(xué)的常態(tài)

日常的教學(xué)活動(dòng)中，我們要清晰地認(rèn)識(shí)到：數(shù)學(xué)本身是在不斷地抽象、概括、模式化的過(guò)程中逐步發(fā)展和豐富起來(lái)的。 也就是說(shuō)，只有將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上升到建模分析的階段才能算作是真正意義上的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

只有具備數(shù)學(xué)建模的主觀意識(shí)，才能引導(dǎo)學(xué)生將生活中所遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題，納入到數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解。并且在求解的過(guò)程中形成自主思維能力，從而加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。這種教學(xué)常態(tài)要發(fā)生在教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié)，滲透到學(xué)生日常生活的每一個(gè)細(xì)節(jié)，進(jìn)而促進(jìn)小學(xué)生創(chuàng)造思維和獨(dú)立解決問(wèn)題能力的發(fā)展。

二、細(xì)化數(shù)學(xué)模型的思維渠道，并形成習(xí)慣

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)學(xué)生“數(shù)學(xué)模型”的影響，主要是建立在對(duì)系統(tǒng)的辨識(shí)上。也就是具備敏銳觀察能力，在對(duì)數(shù)據(jù)觀察的基礎(chǔ)上，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行有效的甄別，篩選出最佳的組合，構(gòu)筑最佳的模型，形成解決問(wèn)題的思路。

1.搭建“動(dòng)手畫數(shù)學(xué)”的機(jī)會(huì)

影響學(xué)生學(xué)習(xí)興趣核心主要因素就是動(dòng)手實(shí)踐，學(xué)習(xí)的質(zhì)量總是在伴隨著動(dòng)手實(shí)踐的質(zhì)量而提升的。動(dòng)手也是走進(jìn)數(shù)學(xué)的開始，是必不可少的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)。

如三年級(jí)上冊(cè)“長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)”的教學(xué)，可以創(chuàng)設(shè)一個(gè)學(xué)生動(dòng)手畫的機(jī)會(huì)：“王大伯用籬笆圍一個(gè)長(zhǎng)方形的小菜園，小菜園的長(zhǎng)10米，寬4米?！焙芏嗬蠋熢诮虒W(xué)中會(huì)急于提出：“需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的鋼絲？”這就很容易失去學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的內(nèi)在品質(zhì)，把數(shù)學(xué)當(dāng)成簡(jiǎn)單的解決問(wèn)題了。我們可以這樣引導(dǎo)學(xué)生：“請(qǐng)你根據(jù)王大伯的數(shù)據(jù)，把這個(gè)長(zhǎng)方形畫出來(lái)?！睂W(xué)生在畫的過(guò)程中就是建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，長(zhǎng)方形的位置、長(zhǎng)寬比例，這些模型的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)都是學(xué)生獨(dú)立完成的。在學(xué)生操作的基礎(chǔ)上提出“需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的籬笆”，最后，提出“用這些籬笆還可以圍成多少不同的長(zhǎng)方形”？

這是一個(gè)漸進(jìn)的過(guò)程，學(xué)生有了“畫數(shù)學(xué)”的體驗(yàn)，教師再?gòu)闹屑右愿爬?，很容易就?huì)得出（a+b）×2這樣的計(jì)算模型。

2.創(chuàng)設(shè)“講數(shù)學(xué)”的場(chǎng)景

講數(shù)學(xué)是需要有層次的，學(xué)生能把一個(gè)數(shù)學(xué)現(xiàn)象、數(shù)學(xué)問(wèn)題說(shuō)出來(lái)，并有屬于自己的語(yǔ)言屬性，也就有了初步的模型基礎(chǔ)。

三年級(jí)下冊(cè)“位置與方向”的教學(xué)（教材第3頁(yè)），可以從訓(xùn)練學(xué)生的傾聽能力開始，教師可以組織如下的學(xué)習(xí)活動(dòng)，來(lái)訓(xùn)練學(xué)生的傾聽能力和想象能力，從而在頭腦中形成空間觀念，建立方向感。教師可以通過(guò)口述，異口同聲地說(shuō)出方向。師說(shuō)：請(qǐng)根據(jù)對(duì)“東南西北”四個(gè)方向的認(rèn)識(shí)，回答問(wèn)題。請(qǐng)閉眼——早晨到校，你們面向的教學(xué)樓正好與太陽(yáng)升起的方向相同，那么，教學(xué)樓的方向是？你們是從哪個(gè)方向走向教學(xué)樓的？教學(xué)樓左側(cè)的體育館在什么方向？右側(cè)的圖書館在什么方向？

這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)是從說(shuō)開始的，但僅僅是完成了一部分，要給學(xué)生表述的機(jī)會(huì)。學(xué)生的表述很重要，在傾聽之后由復(fù)述到自我的講述，把數(shù)學(xué)說(shuō)出來(lái)。這個(gè)過(guò)程正是數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的過(guò)程。講出來(lái)的數(shù)學(xué)是真實(shí)的，即便表述的偏差，也是內(nèi)在數(shù)學(xué)模型的呈現(xiàn)。只要教者善于傾聽，總是可以找到學(xué)生所形成的數(shù)學(xué)模型的合理與不合理之處，提出有針對(duì)性的引領(lǐng)。

三、捕捉數(shù)學(xué)模型的具體案例，并拓展習(xí)慣

良好的數(shù)學(xué)習(xí)慣是建立在不間斷地重復(fù)性的認(rèn)知基礎(chǔ)上的，通過(guò)提取現(xiàn)實(shí)生活中的原型，組織學(xué)生通過(guò)觀察思考、操作體驗(yàn)、對(duì)比分析等形式，揭示其中的規(guī)律性，實(shí)現(xiàn)由生活化向數(shù)學(xué)化的提煉過(guò)程，最終將具體問(wèn)題轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)模型的思維方式。

因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于根據(jù)教學(xué)需要，幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。使模型思想滲透到教學(xué)的全過(guò)程，從而達(dá)到學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決具體問(wèn)題的目的。

1.在“動(dòng)”中感悟數(shù)學(xué)模型的存在

教學(xué)中要尊重學(xué)情，了解學(xué)生的年齡特點(diǎn)。教學(xué)成功與否，在很大程度上取決于教師對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)規(guī)律和心理特征的掌握。要把動(dòng)手學(xué)數(shù)學(xué)的過(guò)程中看成定向的思維活動(dòng)，從中感悟到數(shù)學(xué)模型的存在。

以三年級(jí)上冊(cè)第五單元“倍的認(rèn)識(shí)”一課為例，“倍”是小學(xué)階段的一個(gè)數(shù)學(xué)概念，讓學(xué)生建立倍的概念就是數(shù)學(xué)建模的過(guò)程。而這個(gè)過(guò)程一定是要通過(guò)學(xué)生的“動(dòng)”才能實(shí)現(xiàn)。教師可以組織學(xué)生利用不同形狀的學(xué)具開展擺一擺、說(shuō)一說(shuō)、想一想的活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。如，要求在第一行擺兩個(gè)圓片代替胡蘿卜，在第二行擺6個(gè)方形代表白蘿卜。學(xué)生按老師的要求擺一擺，此時(shí)學(xué)生頭腦中還沒有“倍”這個(gè)概念，他們只是一個(gè)接著一個(gè)擺，有疏有密。此時(shí)，教師說(shuō)：如果把2個(gè)胡蘿卜看成一份，6個(gè)白蘿卜有這樣的幾份？怎樣能清楚地看出來(lái)呢？學(xué)生二次操作，會(huì)把上面兩個(gè)圓片擺得緊密些，下面的6個(gè)方形兩個(gè)兩個(gè)擺在一起，中間會(huì)有些間隔，此時(shí)學(xué)生頭腦中建立了“3個(gè)2”這個(gè)表象，教師讓學(xué)生把剛才擺的方法說(shuō)一說(shuō)，重點(diǎn)從“幾個(gè)幾”的角度說(shuō)出胡蘿卜和白蘿卜之間的關(guān)系。這時(shí)，教師再揭示：2個(gè)胡蘿卜看成一份，6個(gè)白蘿卜里面有這樣的3份，那么，白蘿卜的數(shù)量就是胡蘿卜的3倍。引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)一說(shuō)：3倍是什么意思？如果要想使白蘿卜是胡蘿卜的4倍，該怎么擺？5倍呢？在“動(dòng)與說(shuō)”中充分積累感性經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)“擺”的活動(dòng)直觀反映數(shù)量間的關(guān)系，從而建立倍的概念，學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)建模過(guò)程。

2.在“靜”中體驗(yàn)數(shù)學(xué)模型的存在

教學(xué)中的動(dòng)靜結(jié)合是活躍學(xué)生思維方式的重要手段，靜靜地思考，獨(dú)立的操作是學(xué)好數(shù)學(xué)不可缺少的環(huán)節(jié)。學(xué)生個(gè)性化的靜態(tài)學(xué)習(xí)是最有效的提升數(shù)學(xué)能力的過(guò)程。

例如：人教版數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)“圓柱的表面積”教學(xué)（見第19頁(yè)）。學(xué)生只有在安靜的狀態(tài)下，才能夠品味圖形展開的過(guò)程，形成模型的建構(gòu)。

人教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)，數(shù)學(xué)游戲（見教材）。

數(shù)學(xué)游戲是激發(fā)學(xué)習(xí)興趣載體，不能簡(jiǎn)單地替代，需每一個(gè)個(gè)體親自體驗(yàn)，才會(huì)在19組和為340的數(shù)組中找到正確的答案，形成自己的數(shù)學(xué)模型。

人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)“長(zhǎng)方體和正方體”教學(xué)，（見教材44頁(yè)）。

學(xué)生獨(dú)立填表的過(guò)程既是數(shù)據(jù)搜集整理的過(guò)程，也是對(duì)有效數(shù)據(jù)的觀察過(guò)程，這個(gè)過(guò)程不可替代。有了這個(gè)過(guò)程才會(huì)建立三面涂色“8”，二面涂色“12×（n-1）”，一面涂色“6×（n-1）×（n-1）”，沒有涂色“（n-1）×（n-1）×（n-1）”的數(shù)學(xué)模型。

總之，對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)階段，形成數(shù)學(xué)建模習(xí)慣，是學(xué)生將來(lái)成功不可缺的素養(yǎng)。好的習(xí)慣受益終生，教者要有意識(shí)，學(xué)生才有可能具備。

■ 編輯/魏繼軍