概率布爾控制網(wǎng)絡的集可控

茍志麗,徐 勇,王金環(huán)

(河北工業(yè)大學理學院,天津 300401)

1 引言

布爾網(wǎng)絡(Boolean networks,BNs)是Kauffman于1969年提出的用于復雜非線性生物系統(tǒng)建模的一類邏輯動態(tài)系統(tǒng)[1].BNs由一組離散時間變量組成,每個變量只能取0或1,其表示一個基因的活性.基因間高度結(jié)構(gòu)化的相互作用可以通過布爾函數(shù)來描述,布爾函數(shù)通過特定的邏輯規(guī)則確定每個基因的狀態(tài).BNs已經(jīng)被證實是描述、模擬和分析基因調(diào)控網(wǎng)絡、社會系統(tǒng)和神經(jīng)網(wǎng)絡的重要工具[2–5].

最近,Cheng等人首先提出兩個任意維數(shù)矩陣相乘的運算,即矩陣的半張量積(semi-tensor product of matrices,STP)[6].STP的顯著優(yōu)點是可以將BNs轉(zhuǎn)換成一個代數(shù)系統(tǒng),從而更好地研究BNs的相關(guān)問題.帶有外部輸入的BNs稱為布爾控制網(wǎng)絡(Boolean control networks,BCNs).文獻[6–7]為研究BCNs中許多經(jīng)典控制理論問題提供了有力幫助.利用STP方法可以將BCNs轉(zhuǎn)換為標準的離散時間線性系統(tǒng)進行研究[8].同時在BNs和BCNs中應用STP方法也得到許多重要的結(jié)果,如穩(wěn)定性[9–10]、可觀測性[11–12]、可控性[13–14]、最優(yōu)控制[15–16]以及同步問題[17]等.

概率布爾網(wǎng)絡(probabilistic Boolean networks,PBNs)是Shmulevich等人于2002年提出的模型[3],該模型既具有BNs的特性,又能處理數(shù)據(jù)和模型選擇中的不確定性.PBNs本質(zhì)上是一類BNs的集合,其中在任意一個離散時間點,狀態(tài)以一定的概率按照其中某個BN的規(guī)則轉(zhuǎn)化.BCNs描述遺傳調(diào)控網(wǎng)絡的許多特征,是沒有隨機現(xiàn)象的確定性網(wǎng)絡.概率布爾控制網(wǎng)絡(probabilistic Boolean control networks,PBCNs)考慮了隨機現(xiàn)象,是BCNs的一個非常有意義的擴展.在PBCNs上已經(jīng)得到了許多有趣的結(jié)果,例如弱可達性[18]、可控性[19]、集穩(wěn)定性[20]和輸出跟蹤控制問題[21]等.

可控性作為系統(tǒng)的一種結(jié)構(gòu)性質(zhì),是系統(tǒng)科學和控制理論的基本概念.文獻[22]研究BCNs中除禁止狀態(tài)外的任意兩個狀態(tài)間的可控性以便更好地設計外部控制序列操縱生物系統(tǒng).文獻[23]研究了帶有牽制控制的BCNs的可控性.文獻[24]研究BCNs集成系統(tǒng)下的可控性,并給出判定可控性的充要條件.文獻[19]討論了開環(huán)控制和閉環(huán)控制下PBNs的可控性問題,但文獻中提出的可控性準則只適用于兩個確定的狀態(tài).文獻[25]通過構(gòu)造可達矩陣研究PBCNs的能控性和鎮(zhèn)定性并給出相應的充要條件.文獻[26]研究具有禁止狀態(tài)的PBCNs的可控性.

此外,集可控性也是一個重要概念,其與一般可控性的不同之處在于,可控性表示系統(tǒng)可控至某個狀態(tài),而集可控性表示系統(tǒng)可控至某個狀態(tài)集合.文獻[27]首次提出BCNs的集可控性概念,并通過集可控性驗證可觀性,集可控性結(jié)果為文獻[22]中應用結(jié)果的推廣.文獻[28]研究同時具有自由邏輯輸入控制和網(wǎng)絡輸入控制的BCNs的可控性,并將其轉(zhuǎn)換為一個集可控性問題求解.文獻[29]研究切換布爾控制網(wǎng)絡的集可控性,將集鎮(zhèn)定問題和切換調(diào)節(jié)問題轉(zhuǎn)換為集可控問題求解.文獻[30]研究脈沖概率布爾控制網(wǎng)絡(impulsive probabilistic Boolean control networks,IPBCNs)

的有限時間可控性和集可控性.文獻[31]研究具有脈沖效應的布爾控制網(wǎng)絡(Boolean control networks with impulsive effects,BCN–IE)的集可控性并以此方法解決了具有混合型控制的BCN–IE可控性和BCN–IE的輸出可控性兩個問題.

基于上述討論,本文針對PBCNs集可控性問題提出兩類不同的控制方法.相比于BCNs,由于狀態(tài)變化的不確定性,針對PBCNs集可控性的研究更加復雜.同時與IPBCNs的集可控性研究相比,本文采取的研究方法不同.本文主要貢獻如下:1)借助一個新的算子構(gòu)造概率集可控矩陣,得到PBCNs在自由控制序列下集可控的充要條件;2)由該算子構(gòu)造輸入概率集可控矩陣,給出帶有輸入網(wǎng)絡控制的PBCNs集可控的充要條件.根據(jù)已有文獻,PBCNs在集可控性方面結(jié)果還很少見.

本文的其余部分安排如下:第2部分列出一些基本符號和STP的預備知識.第3部分提出PBCNs在自由控制序列和網(wǎng)絡輸入控制下的集可控問題,并給出本文的主要結(jié)果.第4部分通過數(shù)值例子驗證所得結(jié)果的正確性與有效性.第5部分給出本文的結(jié)論.

2 預備知識

為了敘述方便,本文用到的相關(guān)符號如下列出:

1)Mm×n:m×n維矩陣集合.

2) Col(A):矩陣A的列集合.Coli(A):矩陣A的第i列.

7)Ξm:={1,2,···,2m}.

8)α:從?=[0,1]取值的隨機布爾變量.定義Λ={[α1?α]T|α ∈?},表示α為向量形式.

9) 矩陣A ∈Mm×n的列元素由Λm組成,稱矩陣A為隨機邏輯矩陣.:m×n維隨機邏輯矩陣集合.

11) 矩陣A=(Aij),B=(Bij)∈Mm×n,定義

則A ∨B=(Aij ∨Bij).

12)Bm×n:m×n維布爾矩陣集合.

定義1[6]矩陣有A ∈Mm×n,B ∈Mp×q,t=lcm(n,p)是{n,p}的最小公倍數(shù).矩陣A,B的半張量積記為

其中?表示Kronecker積.

注1STP是普通矩陣乘積的推廣.在下文無混淆情況下,可省略“”.

設x為邏輯變量,即x ∈D.用向量表示邏輯值的結(jié)構(gòu),分別表示為即有D～?2和其中～表示同一事物的兩種不同表示形式.

引理1[6]設f(x1,x2,···,xn)為一個邏輯函數(shù),在向量形式下f:Dn →D,存在唯一的邏輯矩陣Mf∈稱為f的結(jié)構(gòu)矩陣,使得

其中Mr=δ4[1,4]為降階矩陣.

3 主要內(nèi)容

首先給出PBCNs的代數(shù)表示,其次考慮在自由控制序列下PBCNs的集可控性問題,最后考慮輸入網(wǎng)絡控制下PBCNs的集可控性問題.

3.1 PBCNs的代數(shù)表示

其中:xi(t)和uj(t)∈D,i=1,2,···,n,j=1,2,···,m是邏輯狀態(tài)和輸入控制狀態(tài);fi:Dm+n →D是邏輯函數(shù);t=0,1,···,是離散時間.

注2在本文中,考慮的概率布爾控制網(wǎng)絡是獨立的,則意味著f1,f2,···,fn是獨立的,即有

其中i1i2,i1,i2∈{1,2,···,n}.

3.2 PBCNs的集可控

由式(3)可知

定義運算符?·?為

定義

首先給出系統(tǒng)(1)可控的定義.

定義2考慮PBCNs,設初始狀態(tài)x0∈和目的狀態(tài)xd∈

1) 若存在一個自由控制序列{u(0),u(1),···,u(t?1)}使P{xd=x(t)|x0=x(0)}=1成立,則稱xd是從初始狀態(tài)x0在t時刻依概率1可控的.

2)t時刻概率1可達集是指從初始狀態(tài)經(jīng)時間t依概率1可達的狀態(tài)集合,記為Rt(x0).概率為1的整體可達集是指從初始狀態(tài)依概率1可達的狀態(tài)集合,記為R(x0).

根據(jù)上述定義以及概率可控矩陣可得以下定理.

定理1考慮具有自由控制序列的PBCNs系統(tǒng)(1),其對應概率可控矩陣C=(Cij),則

證x(t+1)的期望值Ex(t+1)滿足

直接計算可得

重復上面迭代過程,可得

其控制序列使得系統(tǒng)(1)從初始狀態(tài)x0依概率1可達目的狀態(tài)xd.因此至少存在一種由自由控制序列使系統(tǒng)(1)從初始狀態(tài)x0依概率1可達目的狀態(tài)xd.同時回顧運算符?·?的定義,則可化簡得

在系統(tǒng)(1)中必存在一條由初始狀態(tài)x0在第t步依概率1可達目的狀態(tài)xd的路徑.即有

故系統(tǒng)(1)中必存在一條由初始狀態(tài)x0依概率1可達目的狀態(tài)xd的路徑.

同理可證式(2)和式(3)成立. 證畢.

為了考慮集可控性問題,首先引入指標列向量給定系統(tǒng)(1)的初始指標矩陣和目的指標矩陣.

現(xiàn)給定一個具有n個結(jié)點的PBCNs.狀態(tài)集表示為N={1,2,···,2n},令s∈2N,s是給定的狀態(tài)集合,引入指標列向量V(s)=[(V(s))1(V(s))2···刻畫s的特征,其中

PBCNs的初始集族為P0和目的集族為Pd,可表示為

由指標列向量將初始集族P0和目的集族Pd定義為初始指標矩陣J0和目的指標矩陣Jd,即

由式(5)–(6)定義矩陣,稱為概率集可控矩陣.即

定義3具有初始集族P0和目的集族Pd的系統(tǒng)(1).滿足

根據(jù)上述定義以及概率集可控矩陣得以下定理.

定理2具有初始集族P0和目的集族Pd的系統(tǒng)(1).其相應的概率集可控矩陣為Cs=(Cs)ij,則

3) 系統(tǒng)(1)依概率1集可控當且僅當Cs=1β×α.

證必要性.考慮初始指標矩陣J0和目的指標矩陣Jd.概率可控矩陣C的定義為

由概率集可控矩陣Cs的定義可知

充分性.由概率集可控矩陣Cs知

同理可證(2)和(3)成立. 證畢.

3.3 輸入PBCNs的集可控

在本節(jié)中,將系統(tǒng)(1)中的控制看作是滿足一定邏輯規(guī)則的邏輯變量,稱為輸入網(wǎng)絡.如下所示:

定理3考慮具有輸入網(wǎng)絡的PBCNs系統(tǒng)(1),其對應輸入概率可控矩陣D=(Dij),則

重復上面迭代過程,可得

因此,可以獲得以下方程

在系統(tǒng)(1)中存在由初始狀態(tài)x0在第t步依概率1可達目的狀態(tài)xd的路徑,即

同理可證(2)和(3)成立. 證畢.

根據(jù)式(6)和式(9)定義矩陣,稱為輸入概率集可控矩陣,即有

定理4具有初始集族P0和目的集族Pd的系統(tǒng)(1),其輸入概率集可控矩陣為Ds=(Ds)ij.則

3) 系統(tǒng)(1)依概率1集可控當且僅當Ds=1β×α.

由于定理4與定理2證明是類似的,均通過構(gòu)造相應的可控矩陣,對系統(tǒng)(1)集可控性進行判定,證明思路相似,因此定理4的證明略去.

4 算例分析

在本節(jié)中,使用文獻[19]中的例子來驗證前面提出的定理2和定理4.

例1考慮自由控制序列下PBCNs的集可控性.

模型指標矩陣K和對應模型概率為

設x(t)=x1(t)x2(t),則各網(wǎng)絡的網(wǎng)絡轉(zhuǎn)移矩陣可按標準程序計算.對于第1個模型,有

其中Mc和Me可由文獻[7]得.同樣地,L2,L3,L4可計算得

則可得

由計算可得t=2n,t=1,2,3,4.當t=1時,

當t=2,3,4時,

則可得概率可控矩陣

假設初始集族P0和目的集族Pd為

其相應指標矩陣為

則可得概率集可控矩陣

故在自由控制序列下的系統(tǒng)(11)在初始集族P0和目的集族Pd下集可控.

例2考慮輸入網(wǎng)絡控制下PBCNs的集可控性,

其中

其控制網(wǎng)絡u(t)=u1(t)u2(t)可得結(jié)構(gòu)矩陣為G=δ4[4 3 2 1].

各網(wǎng)絡的網(wǎng)絡轉(zhuǎn)移矩陣按標準程序計算可得

由計算可得t=2n,t=1,2,3,4.當t=1時,

當t=2時,

當t=3,4時,

則可得輸入概率可控矩陣

在例1的初始集族P0和目的集族Pd下可得輸入概率集可控矩陣

故在輸入網(wǎng)絡控制下的系統(tǒng)(12)在初始集族P0和目的集族Pd下集可控.

5 結(jié)論

本文研究了PBCNs的集可控性問題.基于矩陣半張量積方法給出PBCNs的代數(shù)表示.基于該代數(shù)表示,借助新的算子構(gòu)造出概率集可控矩陣和輸入概率集可控矩陣.利用概率集可控矩陣給出了在自由控制序列下PBCNs集可控性的充要條件,并根據(jù)輸入概率集可控矩陣得到了在網(wǎng)絡輸入控制下PBCNs集可控性的充要條件.