含不匹配擾動非嚴格反饋系統(tǒng)的輸出反饋補償控制

孫國法,于瀚博,周玉國

(青島理工大學信息與控制工程學院,山東青島 266000)

1 引言

在過去十幾年中,非線性系統(tǒng)一直是控制理論研究的熱點問題,反步法是處理高階非線性系統(tǒng)的一種有效方法.但傳統(tǒng)的反步法并沒有考慮到狀態(tài)未知或參數(shù)不確定等情況,這嚴重限制了反步法控制在實際系統(tǒng)中的應用.

但實際系統(tǒng)中,由于系統(tǒng)測量裝置受限,系統(tǒng)常常存在狀態(tài)未知的情況,在控制策略設計之外,觀測器也是系統(tǒng)中不可或缺的一部分.觀測系統(tǒng)未知狀態(tài)是控制策略有效實施的基礎(chǔ),所以觀測器性能也必然會對系統(tǒng)的穩(wěn)定性能產(chǎn)生影響.為了提高觀測性能,研究人員進行了大量的研究[1–5].文獻[1]通過神經(jīng)網(wǎng)絡對兩個未知函數(shù)進行分別逼近,設計不帶有時間延時的神經(jīng)網(wǎng)絡觀測器,并將其應用于一類非線性系統(tǒng);為進一步提高系統(tǒng)魯棒性,文獻[2]選擇使用模糊邏輯系統(tǒng)固有的逼近能力與觀測器結(jié)合,解決系統(tǒng)含有不確定函數(shù)問題,并提出一類適用于非線性不確定系統(tǒng)的觀測器,使得系統(tǒng)觀測器和控制器滿足分離原理,輸出反饋在完全可用狀態(tài)下保持控制器的主要特性.為提高系統(tǒng)的觀測性能,研究人員們設計了高增益觀測器[3]、滑模觀測器[4]等,但許多觀測器對系統(tǒng)模型要苛刻,嚴重阻礙了高性能觀測器的發(fā)展.

當系統(tǒng)存在不確定擾動時,觀測器性能將極大程度上受到影響.為此,國內(nèi)外研究人員對此作出了不懈的努力.在考慮實際系統(tǒng)中所存在的外界擾動問題,自抗擾系統(tǒng)中的擴張狀態(tài)觀測器往往會得到應用,文獻[5]利用動態(tài)增益自適應擴張觀測器去觀測由磁性無桿氣缸靜摩擦力所帶來的擾動;文獻[4]則提出坐標轉(zhuǎn)換,定義一組新的狀態(tài)變量,將純反饋非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為正則系統(tǒng),從而將高階滑模觀測器應用于系統(tǒng)模型上,解決高階滑模觀測器需要滿足串聯(lián)積分形式所帶來的局限性,并具備優(yōu)良的觀測性能.

上述文獻中的觀測器設計效果已經(jīng)得到很好地驗證.然而,在系統(tǒng)存在不匹配擾動和觀測器的誤差收斂問題上,卻很少被考慮.自抗擾系統(tǒng)的擴張觀測器[5]有效地解決了匹配擾動問題,但是無法對每一階擾動進行精確觀測,難以在反步法控制設計中進行精確的擾動補償;近幾年來有限時間性能也引起了研究人員的廣泛關(guān)注,大量有限時間控制器[6–8]被設計并應用于實際系統(tǒng)當中.文獻[6]將有限時間的預測融入性能函數(shù)之中,提出有限時間性能預測函數(shù)的概念并應用于控制器當中,使系統(tǒng)獲得穩(wěn)定性的同時,具有一定的預定義的暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能.然而觀測器不同于控制器,控制器有限時間設計主要解決跟蹤誤差的收斂問題.根據(jù)觀測器的工作特性,此方案對觀測器并不適用,在觀測器的設計上只有滿足對每一階狀態(tài)誤差進行優(yōu)化才會對系統(tǒng)觀測性能有顯著提高.綜合上述分析,系統(tǒng)中不匹配擾動對觀測器的阻礙以及觀測器的誤差收斂問題仍然是當前需要攻克的難題.

從系統(tǒng)模型考慮,以往大部分控制方法都是針對嚴格反饋系統(tǒng)提出的.如果將傳統(tǒng)反步法用于處理非嚴格反饋非線性系統(tǒng),虛擬控制信號將包含所有的系統(tǒng)狀態(tài),從而產(chǎn)生代數(shù)環(huán)問題,導致系統(tǒng)不穩(wěn)定.非嚴格反饋系統(tǒng)在實際系統(tǒng)中常見,且更難處理.文獻[9–13]為了克服代數(shù)環(huán)問題,提出了一些有效的方法.文獻[10]利用不確定函數(shù)的單調(diào)遞增特性,提出了變量分離技術(shù),從而有效地避免了自適應控制器中的代數(shù)環(huán)問題.而文獻[11–12]則是通過自適應模糊和NNs技術(shù)可以避免控制器中的代數(shù)環(huán)問題.因此,在非嚴格反饋系統(tǒng)的基礎(chǔ)上研究問題更具備研究價值.本文的主要貢獻有以下幾個方面:

1) 針對狀態(tài)未知且含有不匹配擾動的非嚴格反饋非線性系統(tǒng),本文設計帶不匹配擾動補償?shù)妮敵龇答伳：刂破?相比于文獻[6,10],不僅解決非嚴格反饋系統(tǒng)中虛擬控制信號的代數(shù)環(huán)問題,而且討論了不匹配擾動問題的處理,處理上也不再是文獻[9,14]基于干擾有界的假設忽略干擾.本文采用擾動觀測器對不匹配擾動精確估計并補償,消除擾動對狀態(tài)觀測器和控制器的影響,提高系統(tǒng)的抗擾動性和魯棒性.

2) 相比于文獻[15],本文采用非線性函數(shù)fal(·)改進擾動觀測的非線性項,具備有限時間擾動觀測器的誤差收斂速度,并消除由提高觀測誤差收斂速度所帶來的穩(wěn)定抖振問題.

3) 對系統(tǒng)每一階的外部擾動和模糊逼近誤差構(gòu)成的總擾動信號精確觀測,將觀測的擾動量在觀測器設計和反步法控制設計中進行精確補償,提高系統(tǒng)的抗干擾性能.

2 問題描述

考慮如下非嚴格反饋非線性系統(tǒng)模型:

其中:X=[x1x2··· xn]T是系統(tǒng)狀態(tài)向量,u為系統(tǒng)的輸入,y為系統(tǒng)的輸出,fi(X)(i=1,···,n)為未知的光滑函數(shù),|di(xi,t)|D為外部有界擾動.

為了便于控制器和觀測器設計需給出以下假設和引理.

假設1參考信號xd及其各階導數(shù)均是已知且連續(xù)有界.

其中:L>0;λi >0(i=0,1,···,n)選取適當參數(shù),系統(tǒng)將在有限時間內(nèi)達到穩(wěn)定.

引理2[21]模糊邏輯系統(tǒng)是由模糊規(guī)則庫、模糊推理、模糊器、解模糊器組成,其模糊IF–THEN規(guī)則庫為

定義f(x)為緊集?內(nèi)任意連續(xù)函數(shù),則存在?ε>0,存在模糊系統(tǒng)θTξ(x)使得

是一組基函數(shù)向量,其中N >1是模糊規(guī)則的個數(shù).ωi為高斯函數(shù).

引理3對于?(a,b)∈R2,滿足不等式

3 觀測器設計

在本節(jié)中,考慮系統(tǒng)(1)中狀態(tài)未知、存在不確定函數(shù)和未知外界擾動信號的情況,設計模糊狀態(tài)觀測器觀測未知狀態(tài),并對不匹配擾動信號觀測和補償,消除擾動對觀測器的影響.

3.1 模糊狀態(tài)觀測器

針對系統(tǒng)中的未知函數(shù),采用模糊邏輯系統(tǒng)對未知函數(shù)進行逼近,由引理1可以得到及其誤差:

其中式(7)為總擾動項,其包括模糊逼近誤差和外界擾動;且總擾動存在邊界

依據(jù)式(6),本文設計一種模糊狀態(tài)觀測器觀測系統(tǒng)狀態(tài).首先,定義觀測器中一些關(guān)鍵的矩陣及變量.

1) 定義一個對角矩陣?λ:

其中λ>1為設計的參數(shù).

2) 為解決下文中Lyapunov函數(shù)中產(chǎn)生的問題,定義Q滿足等式

3) 存在有K(ζ)=[k1(ζ1) 0···0]T∈Rn,ζ=[ζ1··· ζn]∈Rn滿足

根據(jù)以上定義,將模糊狀態(tài)觀測定義為如下形式:

注1[2]此處λi?λiQiK(e1)中K(e1)滿足式(11),根據(jù)系統(tǒng)模型和設計要求對K(e1)的選擇,式(12)既可以是高增益觀測器,也可以是滑模觀測器.根據(jù)系統(tǒng)模型,本文選取傳統(tǒng)Luenberger觀測器λi?λiQiK(e1)=K0e1.

3.2 改進的有限時間擾動觀測

從式(13)不難發(fā)現(xiàn),不匹配擾動w的存在會對觀測器的狀態(tài)觀測造成影響,使得最終的觀測效果不足以滿足系統(tǒng)要求.本節(jié)在引理2Levant微分器基礎(chǔ)上結(jié)合非線性函數(shù)設計擾動觀測器,對系統(tǒng)中不匹配擾動和匹配擾動精確觀測和補償.

將式(12)中第i階狀態(tài)觀測器改寫為

設計三階改進有限時間擾動觀測器

其中:λi,0,λi,1,λi,2為擾動觀測器的可調(diào)設計參數(shù),ei0=ei,ei1=zi1?vi0,ei2=zi2?vi1為擾動觀測誤差.選取fal(·)為

當|eij|>δ時,擾動觀測器選擇如下設計:

由引理2可知,選取適當參數(shù)擾動觀測器所有內(nèi)部信號都是有界的,在經(jīng)過有限時間后,誤差信號ei0=ei,ei1=zi1?vi0,ei2=zi2?vi1收斂于零,從而獲得擾動wi的估計及其微分信號

注2式(17)設計具備快速收斂性能,并在多個文獻[16–17]得到佐證.但收斂速度速度提高的同時也帶來了抖振,如何消除擾動觀測的抖振也應該被關(guān)注.

當|eij|δ時,為了避免抖振的產(chǎn)生,采用如下擾動觀測器設計,使得誤差可以平緩收斂于零,并將觀測擾動信號進行補償.

注3擾動觀測設計精確觀測到系統(tǒng)中匹配和不匹配擾動,并將觀測的擾動量應用于觀測器設計,消除擾動對觀測器影響.并在反步法設計中對系統(tǒng)每一階擾動精確補償,從而提高系統(tǒng)抗干擾性.

證通過觀測器(14)將擾動補償之后式(13)可以得到

為了簡化分析,對誤差e進行如下縮放變換:

因此,可以得到如下關(guān)于z的性質(zhì):

經(jīng)過式(20)誤差的縮放,式(19)可以轉(zhuǎn)化

設計Lyapunov函數(shù)

對Ve進行求導,并將式(10)(22)代入其中,可得

其中λmin(Q)是矩陣Q的最小特征值.

通過Young’s不等式可得

由于定義式(11)可知zTK(z1)0.5zTCTCz,并將式(25)代入式(24),可得

證畢.

4 控制器設計

本節(jié)詳細地給出自適應模糊控制器的設計過程.控制器的設計包含n個步驟,其中在前n?1個步驟中,每一步都會給出虛擬控制信號αi(i=1,···,n?1),最終的控制律u將會在第n步中給出.

步驟1考慮系統(tǒng)(1)的第1個子系統(tǒng),并用模糊邏輯逼近f1(X)得

及其誤差向量S1=x1?xd.

設計如下虛擬控制律和模糊自適應律:

考慮如下形式的李雅普諾夫泛函:

對V1求時間的導數(shù)得

將式(30)代入可得

由于0<ξT(·)ξ(·)1,γ >0,利用Young’s不等式可以得到

將式(28)–(29)(34)代入式(33)可得

步驟i考慮系統(tǒng)(1)的第i個子系統(tǒng):

設計如下形式的李雅普諾夫泛函:

其中ri為常數(shù).Vi對時間求導得

并將式(30)代入式(38)可得

根據(jù)Young’s不等式可得

將式(28)–(29)(40)代入式(39)可得

步驟n考慮系統(tǒng)(1)的第n個子系統(tǒng):

設計如下形式的李雅普諾夫泛函:

其中rn為常數(shù).Vn對時間求導得

將式(30)代入式(44)可得

通過Young’s不等式可得

將式(28)(46)代入式(45)可得

證根據(jù)Young’s不等式可得

將式(26)(48)代入式(47)可得

其中H=∥?λ∥2∥Q∥2,并滿足以下不等式:

通過式(49)可以得到

這樣就可以證得Si,都是有界的,均是有界的.于是可以證得系統(tǒng)的輸入信號u也是有界的.x(t)和所有其他控制信號在任何時間間隔都是有界的.有不等式成立.當選取合適的控制器參數(shù)時,系統(tǒng)的跟蹤誤差可以減小到零的任意小鄰域內(nèi).但由于a,b中含有控制器增益c,因此控制器參數(shù)和系統(tǒng)初始狀態(tài)的取值在很大程度上決定著跟蹤誤差收斂情況,參數(shù)需要在實際設計中進行適當?shù)恼{(diào)整.例如,控制器增益需要在瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能之間的折中選擇. 證畢.

5 仿真算例

本節(jié)通過數(shù)值仿真驗證所提出控制器和觀測器的有效性.考慮如下非嚴格反饋形式的二階不確定非線性系統(tǒng):

其中fi是光滑的未知函數(shù).系統(tǒng)中的不確定非線性函數(shù)選取為

選取參考輸入信號xd=5 sin(0.5πt)+cos(πt).考慮實際擾動種類不同,仿真中選取擾動信號分別為階躍擾動d1=

仿真系統(tǒng)參數(shù)選取步驟如下所示:

步驟1根據(jù)設計原理,給出了各參數(shù)首次出現(xiàn)時的取值范圍.例如,控制器增益ci >0,Levant 微分器設計要求L>0,λ>1等.

步驟2為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性,在第4章穩(wěn)定性證明過程中進一步限制了某些參數(shù)的取值范圍.

步驟3為了獲得有效的跟蹤性能,所有參數(shù)都在步驟1–2的允許值范圍內(nèi)進行選擇,通過多次仿真試驗獲得最佳參數(shù).觀測器及控制器具體設計參數(shù)如表1所示.

表1 設計參數(shù)表Table 1 Parameters table

仿真結(jié)果如圖1–5.圖1–2是模糊狀態(tài)觀測器的兩個狀態(tài)信號的觀測效果及誤差,通過觀測誤差曲線可以看出系統(tǒng)具有較高觀測精度,且在不匹配擾動影響后依舊可以保持良好的觀測效果.

圖1 x1狀態(tài)觀測器觀測效果Fig.1 The observation effect of x1

圖2 x2狀態(tài)觀測器觀測效果Fig.2 The observation effect of x2

圖3中的曲線表示系統(tǒng)跟蹤效果以及誤差情況,本文考慮在兩種不同的輸入信號

圖3 系統(tǒng)跟蹤效果以及誤差情況Fig.3 Tracking effect and error

下對比控制器的實際跟蹤效果,可以明顯發(fā)現(xiàn),本文控制器可以快速跟蹤上參考信號,且性能在穩(wěn)態(tài)性能和瞬態(tài)性能上都更加優(yōu)異.在t=10 s時刻,對階躍擾動信號d1可以快速補償,減少擾動對系統(tǒng)的影響,具備快速抗擾動性能.

為了凸顯本文擾動觀測性能,針對兩種不同擾動進行擾動的觀測與補償,本文擾動觀測器(disturbance observer with fal function,falDOS)分別與高階次冪擾動觀測器(high power disturbance observer,HPDOS[20])、線性擾動觀測器(linear disturbance observer,LDOS),有限時間觀測器(finite-time disturbance observer,FTDOS[5])進行對比.仿真結(jié)果見圖4,通過對擾動d1,d2的跟蹤效果,明顯發(fā)現(xiàn)本文設計的擾動觀測器相比LDOS和HPDOS收斂速度上更快速,穩(wěn)態(tài)性能也更加優(yōu)異;相比于FTDOS,消除了穩(wěn)態(tài)抖振問題,且仍然具備著相同的收斂速度.圖5為控制器的輸出控制信號.

圖4 有限時間擾動觀測Fig.4 Finite time disturbance observation

圖5 控制信號uFig.5 Control signal u

6 結(jié)論

本文針對狀態(tài)未知且含有不匹配擾動的非嚴格反饋非線性系統(tǒng),提出帶不匹配擾動補償?shù)妮敵龇答伳：刂破?解決非嚴格反饋系統(tǒng)中虛擬控制信號的代數(shù)環(huán)問題,克服了不匹配擾動對觀測器和控制器的影響.采用改進的有限時間擾動觀測器對系統(tǒng)每一階的外部擾動和模糊逼近誤差構(gòu)成的不匹配總擾動信號精確觀測,使得觀測誤差在有限時間內(nèi)收斂,并解決了快速收斂帶來的抖振問題,將觀測的擾動量在觀測器設計和反步法控制設計中進行精確補償,提高系統(tǒng)的抗干擾性能和魯棒性.