灰色關(guān)聯(lián)法在地磁匹配導(dǎo)航中的應(yīng)用

賀亞杰，范榮雙，王 勇

（1.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 測(cè)繪與地理科學(xué)學(xué)院，遼寧 阜新 123000；2.中國測(cè)繪科學(xué)研究院，北京 100039；3.山東科技大學(xué) 測(cè)繪科學(xué)與工程學(xué)院，山東 青島 266590）

0 引言

地磁匹配導(dǎo)航具有無源、無輻射、全天時(shí)、全天候、高精度等特點(diǎn)[1]，正在激起國內(nèi)外許多學(xué)者的研究熱情，是現(xiàn)今導(dǎo)航領(lǐng)域的一個(gè)研究熱點(diǎn)。地磁匹配導(dǎo)航與無線電導(dǎo)航和衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)不同，是一種完全自主的、主動(dòng)的定位系統(tǒng)；與慣性導(dǎo)航系統(tǒng)相比，具有成本低、導(dǎo)航誤差不隨時(shí)間產(chǎn)生累積效應(yīng)等特點(diǎn)[2]。因此，探索和研究新型高性能、全自主、全天候地磁匹配導(dǎo)航技術(shù)，是我國開發(fā)海洋、地下資源，提升公共安全和公共消防能力，提高我國醫(yī)療器械裝備水平，實(shí)現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展的迫切需求。近年來，地磁匹配導(dǎo)航技術(shù)已廣泛應(yīng)用到飛行器控制、地磁匹配制導(dǎo)、水下潛行器等眾多領(lǐng)域，有巨大的軍事價(jià)值。

地磁匹配導(dǎo)航的定位精度與所選擇的地磁匹配算法有關(guān)，而且匹配區(qū)的適配性能也直接影響導(dǎo)航的精度[3]。地磁圖適配性的分析，是地磁匹配導(dǎo)航的基礎(chǔ)，在具有高精度地磁基準(zhǔn)圖的條件下，選擇合適的匹配區(qū)，是進(jìn)行航跡規(guī)劃及地磁匹配的一項(xiàng)必不可少的任務(wù)，因而，對(duì)地磁適配性進(jìn)行分析具有重大意義。國內(nèi)外許多學(xué)者已經(jīng)對(duì)地磁適配性進(jìn)行了相關(guān)研究。文獻(xiàn)[4]引入粗糙集理論，評(píng)估了地磁特征參數(shù)對(duì)地磁適配性的影響；文獻(xiàn)[5]針對(duì)單地磁特征參數(shù)選擇方法單方面評(píng)估的缺點(diǎn)，提出了一種將信息熵與項(xiàng)目追蹤理論相結(jié)合的多特征參數(shù)融合選擇方法；文獻(xiàn)[6]對(duì)地磁適配區(qū)域的選擇進(jìn)行了相關(guān)研究，將基于磁場(chǎng)特征參數(shù)的適配區(qū)選擇方法與基于地磁場(chǎng)特征參數(shù)信息熵的適配區(qū)選擇方法進(jìn)行了對(duì)比，并將結(jié)果進(jìn)行航跡規(guī)劃仿真，發(fā)現(xiàn)后者在適配區(qū)的選擇方面更加有效；文獻(xiàn)[7]提出，在適配性分析方面，尺寸大小是影響匹配區(qū)選取的一個(gè)重要因素，通過實(shí)驗(yàn)證明了合理的尺寸能夠提高匹配精度；文獻(xiàn)[8]使用加博爾（Gabor）濾波和灰度共生矩陣，解析其不同域的方向性特征，建立地磁輔助導(dǎo)航定向匹配適用性分析的分層決策方案；文獻(xiàn)[9]針對(duì)單一的特征指標(biāo)不能夠合理評(píng)價(jià)地磁適配性的問題，提出用多指標(biāo)融合進(jìn)行評(píng)價(jià)的方法，并采用平均絕對(duì)值偏差（mean absolute deviation, MAD）等匹配算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了該方法的正確性；文獻(xiàn)[10]提出一種基于譜矩特征的地磁匹配輔助導(dǎo)航匹配區(qū)域適配性性評(píng)估方法；文獻(xiàn)[11]提出一種基于韋格（Vague）集的評(píng)估方法，來描述地磁基準(zhǔn)圖的適配性，克服了模糊決策方法的缺點(diǎn)；文獻(xiàn)[12]提出了一種結(jié)合主成分分析（principal component analysis, PCA）和層次分析法（analytic hierarchy process, AHP）的新型綜合模型，以評(píng)估導(dǎo)航匹配區(qū)域的適用性。在前人研究的基礎(chǔ)上，本文利用多特征參數(shù)進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)分析候選匹配區(qū)的適配性能，引入灰色關(guān)聯(lián)理論，采用層次分析法與熵值法相結(jié)合，組成組合權(quán)重，目的是解決由于主觀或者是客觀賦權(quán)所帶來的權(quán)重系數(shù)靈敏度不高的問題，最后利用迭代最近輪廓點(diǎn)（iterative closest contour point, ICCP）匹配算法對(duì)選出的候選匹配區(qū)進(jìn)行匹配，實(shí)驗(yàn)證明了該方法在地磁適配性分析中的有效性。

1 地磁特征參數(shù)

在地磁科學(xué)研究中，地磁場(chǎng)數(shù)據(jù)能夠真實(shí)反映地磁場(chǎng)的變化[13]。地磁場(chǎng)數(shù)據(jù)來源不同，但無論以何種形式得到的地磁數(shù)據(jù)，最終所需要的都是以規(guī)則的網(wǎng)格形式存儲(chǔ)的地磁圖。設(shè)某個(gè)候選匹配區(qū)的大小為M·N（M為緯度跨度，N為經(jīng)度跨度），f(i,j)為坐標(biāo)(i,j)處的地磁場(chǎng)強(qiáng)度值，其中 (i,j)為經(jīng)度和緯度坐標(biāo) (φ,λ)[9]。

1.1 地磁標(biāo)準(zhǔn)差σ

地磁標(biāo)準(zhǔn)差是反映地磁場(chǎng)數(shù)據(jù)離散程度的。一般來講，對(duì)于某一候選匹配區(qū)，其地磁標(biāo)準(zhǔn)差越大，說明該候選匹配區(qū)的地磁特征變化比較明顯，越有利于地磁適配性分析及特征匹配[14]。其定義如下

式中f為候選匹配區(qū)內(nèi)的平均地磁場(chǎng)值，其計(jì)算方法為

1.2 地磁信息熵H

香農(nóng)熵早先用于物理熱力學(xué)[15]。但是自從信息論出現(xiàn)以來，熵的概念已廣泛用到信號(hào)和圖像處理中。地磁熵還可以反映匹配區(qū)域中的地磁信息量。熵越小，匹配結(jié)果越好[16]。此外，地磁熵還具有消除測(cè)量誤差并消除奇異性的能力。可以根據(jù)香農(nóng)熵的定義來計(jì)算地磁熵，即

式中P(i,j)為輸出概率函數(shù)，其計(jì)算方法為

1.3 地磁粗糙度r

地磁粗糙度是反映某一區(qū)域平均光滑程度的指標(biāo)，某一區(qū)域的粗糙度的值越大，說明該區(qū)域包含的信息越多，能夠很好進(jìn)行[17]擬合。地磁粗糙度r定義為

式中：rx、ry分別為經(jīng)度和緯度方向的地磁粗糙度，rx和ry的計(jì)算方法為：

1.4 相關(guān)系數(shù)Q

地磁相關(guān)系數(shù)是用來判斷其數(shù)據(jù)是否獨(dú)立的一個(gè)依據(jù)[18]。在地磁適配性分析中，用相關(guān)系數(shù)來反映地磁場(chǎng)的相關(guān)程度，對(duì)某一區(qū)域來說，其相關(guān)系數(shù)越小，其匹配性能越好。相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式為

式中：Qx、Qy分別為經(jīng)度方向和緯度方向的相關(guān)系數(shù)，Qx和Qy的計(jì)算方法為：

1.5 累積梯度G

累積梯度可以有效地表示地磁場(chǎng)的復(fù)雜性，也可以反映匹配區(qū)域中的信息量。累積梯度越大，信息內(nèi)容越多，匹配效果越好[14]。地磁累積梯度定義為

式中：Gx、Gy分別為經(jīng)度和緯度方向的累積梯度，Gx和Gy的計(jì)算方法為：

2 地磁圖適配性分析方法

2.1 構(gòu)造灰色關(guān)聯(lián)決策矩陣

2.1.1 建立指標(biāo)特征矩陣

假設(shè)某地磁基準(zhǔn)圖有m個(gè)決策方案xi，n個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)uj，設(shè)其方案集為X=(x1,x2,…,xn)，指標(biāo)集為U=(u1,u2,…,un)。 根據(jù)灰色系統(tǒng)的基本原理，要想得出最適合的方案，就必須要考慮各方案與理想方案的關(guān)聯(lián)度，所謂理想方案就是由各個(gè)指標(biāo)的最優(yōu)值選擇出來所組成的[19]，理想方案可表示為A0j=(a01,a02,…,a0n)，又將它稱之為參考序列。則可以建立m+1個(gè)方案的決策矩陣為

2.1.2 對(duì)矩陣進(jìn)行歸一化處理

指標(biāo)的類型有多種，常見的有效益型、成本型、區(qū)間型、固定性，在本文所給出的五種特征指標(biāo)中，已知地磁適配能力隨著地磁標(biāo)準(zhǔn)差、地磁粗糙度及累計(jì)梯度的增大而增大，隨著地磁信息熵、相關(guān)系數(shù)的減小而增大，因此將地磁標(biāo)準(zhǔn)差、地磁粗糙度及累計(jì)梯度看做是效益型指標(biāo)，將地磁信息熵、相關(guān)系數(shù)看作是成本型指標(biāo)。為了消除決策結(jié)果不同維度的影響，通常對(duì)決策矩陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，對(duì)指標(biāo)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化的方法有線性比例變換法及極差變化法。

若評(píng)價(jià)指標(biāo)為效益型，令

若評(píng)價(jià)指標(biāo)為成本型，令

對(duì)指標(biāo)矩陣A進(jìn)行歸一化處理，得到歸一化矩陣R為

2.1.3 計(jì)算灰度關(guān)聯(lián)系數(shù)

給出了理想方案，那么就可以按照相關(guān)的原則，確定某一個(gè)方案與理想方案關(guān)于某一個(gè)指標(biāo)的關(guān)聯(lián)系數(shù)，關(guān)聯(lián)系數(shù)gij計(jì)算公式為

當(dāng)Δmax＜3ω時(shí)，取 1.5ε＜ξ＜ 2ε；當(dāng)Δmax≥3ω時(shí)，取ε＜ξ＜ 1.5ε[20]。

最后得出灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣G為

2.2 使用層次分析法及熵值法確定指標(biāo)權(quán)重

權(quán)重的確定中，由于主觀賦權(quán)法主要依賴于專家經(jīng)驗(yàn)，其主觀性比較強(qiáng)，主要是由決策者的偏好程度決定的；而客觀賦權(quán)法依賴的是數(shù)據(jù)，沒有考慮到專家知識(shí)及經(jīng)驗(yàn)。因此僅僅單一的依靠主觀賦權(quán)法或者是客觀賦權(quán)法確立權(quán)重并不能夠達(dá)到理想的效果，基于此，本文提出采用主客觀結(jié)合賦權(quán)法來確定地磁候選匹配區(qū)指標(biāo)權(quán)重，主要步驟如下。

2.2.1 利用層次分析法求得權(quán)重

1）建立層次結(jié)構(gòu)模型并構(gòu)造比較判斷矩陣C為

3）求出權(quán)重αj，其計(jì)算步驟為：

①將C的每一列向量歸一化，計(jì)算公式為

②對(duì)歸一化后的列向量進(jìn)行求和，其計(jì)算公式為

③然后對(duì)式（24）進(jìn)行歸一化，其計(jì)算公式為

④得出權(quán)向量αj=αT。

2.2.2 利用信息熵法得出權(quán)重

熵值法估計(jì)權(quán)重模型為：

1）計(jì)算第j項(xiàng)指標(biāo)下第i個(gè)區(qū)域占該指標(biāo)的比重Pij為

2）計(jì)算第j項(xiàng)指標(biāo)的熵值ej為

3）計(jì)算信息熵冗余度dj為

4）計(jì)算各項(xiàng)指標(biāo)的權(quán)值βj(j= 1 ,2,…,n)為

2.2.3 組合權(quán)重

將兩種方法得到的權(quán)重進(jìn)行線性組合，其組合公式為

式中：γ為主觀偏好系數(shù)，1-γ為客觀偏好系數(shù)；進(jìn)而得到組合權(quán)重W= (w,w,…,w)T；其中

12n

2.3 灰色關(guān)聯(lián)度求解

由于灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)不能夠?qū)δ骋环桨高M(jìn)行綜合評(píng)估，基于此，將評(píng)價(jià)指標(biāo)權(quán)值與其關(guān)聯(lián)系數(shù)相結(jié)合建立關(guān)聯(lián)度Zi(w)為

其關(guān)聯(lián)度的值越大，證明該方案最優(yōu)，最終根據(jù)關(guān)聯(lián)度的大小對(duì)待選方案進(jìn)行排序，選出最優(yōu)方案。

3 仿真分析

3.1 候選匹配區(qū)的各項(xiàng)值

為了便于驗(yàn)證，選用某一區(qū)域的地磁異常數(shù)據(jù)（注：該數(shù)據(jù)已經(jīng)進(jìn)行了偏移、拓密等保密處理），其地磁異常等值線圖如圖1所示。選出 5塊區(qū)域A1、A2、A3、A4、A5作為候選匹配區(qū)。根據(jù)章節(jié)1中的特征參數(shù)公式計(jì)算各區(qū)域指標(biāo)參數(shù)如表1所示。根據(jù)各個(gè)指標(biāo)是效益型還是成本型對(duì)其排序，其排序結(jié)果如表2所示。

圖1 地磁異常等值線圖

表1 各個(gè)候選匹配區(qū)指標(biāo)值

表2 各指標(biāo)的適配性排序

由表2可以看出，單一考慮某一指標(biāo)，對(duì)候選匹配區(qū)的適配性能力排序是沒有規(guī)律的，所以單一考慮某一指標(biāo)，并不能夠得出哪個(gè)區(qū)域是適配區(qū)域，需要綜合考慮各指標(biāo)以合理地評(píng)價(jià)地磁候選匹配區(qū)適配性。

3.2 灰色關(guān)聯(lián)分析

3.2.1 對(duì)指標(biāo)進(jìn)行賦權(quán)

1）首先利用層次分析法求得權(quán)重系數(shù)，構(gòu)造判斷矩陣為

根據(jù)式（22）進(jìn)行一致性檢驗(yàn)：取s=1.12，求得最大特征根λmax=5.2584，h=0.0646 ，l=0.0577，h和s全都小于0.1，通過一致性檢驗(yàn)。此時(shí)根據(jù)式（23）求得權(quán)重為

2）根據(jù)式（24）至式（27），利用熵值法求出權(quán)重為

3.2.2 計(jì)算灰度關(guān)聯(lián)系數(shù)

根據(jù)特征參數(shù)的值，構(gòu)造決策矩陣為

對(duì)決策矩陣進(jìn)行歸一化處理得

計(jì)算灰度關(guān)聯(lián)系數(shù)中最重要的是要先確定分辨系數(shù)，根據(jù)歸一化矩陣可以得出：m=

由式（19）及式（20）得出ω=0.1417，ε= 0.2541。

因?yàn)?ω＜M，所以分辨系數(shù)范圍為 0.2 54 1≤ξ≤0.3812，取ξ=0.3，根據(jù)式（18）計(jì)算得出灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)陣為

3.2.3 計(jì)算灰色關(guān)聯(lián)度

根據(jù)式（29）求得灰色關(guān)聯(lián)度為Z=(0.8 8 9 7,0.5 34 7,0.5 47 2,0.4 33 8,0.3 81 5)T，對(duì)候選匹配區(qū)進(jìn)行排序，關(guān)聯(lián)度越大其適配性越好，各候選匹配區(qū)關(guān)聯(lián)度如表3所示。

表3 候選匹配區(qū)關(guān)聯(lián)度

（續(xù)）

從表3以看出，區(qū)域1的關(guān)聯(lián)度最大，區(qū)域5的關(guān)聯(lián)度最小，其適配性排序?yàn)?A1＞A3＞A2＞A4＞A5，候選匹配區(qū)A1的適配性最好。

3.3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

分別在選出的5塊候選匹配區(qū)中，利用ICCP算法進(jìn)行地磁匹配仿真，以驗(yàn)證灰色關(guān)聯(lián)分析的結(jié)論。ICCP算法實(shí)現(xiàn)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與已有數(shù)據(jù)間的匹配是通過迭代最近等值線上的點(diǎn)來實(shí)現(xiàn)的，其迭代不是一次就能完成，而是經(jīng)過多次迭代以尋求最優(yōu)的軌跡并輸出，能夠較好地修正慣性導(dǎo)航系統(tǒng)（inertial navigation system, INS）誤差[21]。仿真實(shí)驗(yàn)中參數(shù)的設(shè)置如表4示，迭代次數(shù)為15次，A1至A5的匹配仿真結(jié)果如圖2所示。

表4 仿真參數(shù)設(shè)置

從圖2可以看出：圖2（a）為A1區(qū)域，其地磁等值線較為稠密，地磁特征變化較為明顯，最適用于作為適配區(qū)，利用ICCP算法進(jìn)行匹配，最終真實(shí)軌跡與匹配軌跡基本一致，證明匹配效果好，適用于作為匹配區(qū)。圖2（b）為A2區(qū)域匹配結(jié)果，從圖2（b）中可以看出，真實(shí)軌跡與匹配軌跡在剛開始進(jìn)行匹配的時(shí)候軌跡偏離較為明顯，后匹配軌跡與真實(shí)軌跡趨于重合，在目標(biāo)點(diǎn)附近，其兩條軌跡又出現(xiàn)偏離的現(xiàn)象，說明了候選匹配區(qū) A2的匹配效果一般。圖2（c）中，真實(shí)軌跡與匹配軌跡除了在起始點(diǎn)附近偏離較大之外，后面兩條軌跡趨于重合，其匹配效果優(yōu)于A2。圖2（d）中，匹配軌跡接近真實(shí)軌跡，但偏差較為明顯。圖2（e）中，匹配軌跡與真實(shí)軌跡趨于平行狀態(tài)，匹配誤差較大。區(qū)域A1至A5的校正航跡位置誤差如表5所示。

圖2 A1至A5地磁匹配結(jié)果

從表5可以看出，利用ICCP算法進(jìn)行匹配得到區(qū)域A1的匹配誤差最小，A3次之，A5的匹配誤差最大。在其他條件相同的情況下，單一分析適配性，匹配誤差的結(jié)果能夠代表候選匹配區(qū)適配性的好壞。由此可以得出候選匹配區(qū)適配性排序?yàn)?A1＞A3＞A2＞A4＞A5，這一結(jié)果與本文所提出的方法得出的適配性結(jié)果是一致的，證明了本文提出方法的有效性及可行性。

表5 候選匹配區(qū)匹配誤差

4 結(jié)束語

隨著技術(shù)的不斷進(jìn)步，高精度地磁匹配導(dǎo)航技術(shù)將廣泛應(yīng)用于民用和軍用領(lǐng)域。地磁適配性分析是地磁匹配導(dǎo)航中一項(xiàng)必不可少的研究?jī)?nèi)容，在高精度地磁基準(zhǔn)圖的基礎(chǔ)上，對(duì)適配性進(jìn)行分析是后期進(jìn)行地磁匹配的前提。由于單一依靠某一種地磁特征評(píng)判地磁候選匹配區(qū)適配性并不能夠全面分析某一候選匹配區(qū)是否適用，基于此，本文提出了一種灰色關(guān)聯(lián)分析法應(yīng)用于地磁適配性分析的研究，該方法將幾種地磁特征關(guān)聯(lián)起來，對(duì)候選匹配區(qū)進(jìn)行綜合評(píng)判，其得出的結(jié)果與利用ICCP算法在各候選匹配區(qū)進(jìn)行匹配得出的結(jié)果是一致的，證明了本文提出方法的有效性，此方法可以作為選擇地磁適配區(qū)的依據(jù)。