兩彈簧串并聯(lián)等效勁度系數(shù)的研究*
——基于多普勒效應(yīng)綜合實驗儀

何香林 劉竹琴

(延安大學(xué)物理與電子信息學(xué)院 陜西 延安 716000)

在中學(xué)物理探究胡克定律的教學(xué)中，勁度系數(shù)僅被一帶而過，因此，很多學(xué)生對這一物理概念理解不夠[1].有學(xué)者利用焦利秤研究彈簧的勁度系數(shù)，其過程需要人工計時，且不能直觀顯示運(yùn)動速度的波形圖[2].也有學(xué)者利用智能手機(jī)研究彈簧串并聯(lián)的規(guī)律，其操作簡單但誤差略大[3].而在實際測量中，需要更精密、直觀的儀器.

本文利用多普勒效應(yīng)綜合實驗儀，研究兩彈簧串并聯(lián)的等效勁度系數(shù).該方案能夠直觀顯示運(yùn)動速度波形圖，精確測量運(yùn)動速度與周期，避免人工計時、無需測量彈簧伸長量，從而減小測量誤差.且有助于拓展學(xué)生思維，進(jìn)一步幫助學(xué)生在電容串并聯(lián)、電阻串并聯(lián)以及彈簧串并聯(lián)三者之間建立起區(qū)別與聯(lián)系.

1 實驗原理與實驗裝置

1.1 實驗原理

在彈性限度內(nèi)，彈簧遵守胡克定律.彈簧彈力F大小與彈簧形變量x成正比，方向與形變方向相反，即：F=-κx，κ為彈簧勁度系數(shù)，是彈簧的一種屬性，單位為N/m，其大小通常與彈簧的形狀、材料、彈簧絲的粗細(xì)以及彈簧所處的溫度有關(guān)[4].則兩彈簧串并聯(lián)等效勁度系數(shù)必定與單彈簧勁度系數(shù)有一定的聯(lián)系.

1.1.1 周期測量

利用多普勒效應(yīng)綜合實驗儀測量運(yùn)動周期，需在其操作面板調(diào)節(jié)采樣步距與采樣次數(shù)，并在儀器記錄的數(shù)據(jù)中找出第a次與第b次速度最大且方向相同所對應(yīng)的采樣次數(shù).為減小誤差，a取1、第b次為最后一次.本次實驗將采樣步距設(shè)置為100 ms，則周期等于相鄰最大且方向相同的速度所對應(yīng)的采樣次數(shù)之差乘以采樣步距.即

(1)

1.1.2 勁度系數(shù)測量

本文彈簧振子在豎直方向上做簡諧振動.實驗分為自身質(zhì)量m1為10.8 g，m2為11.0 g的兩單彈簧，兩者并聯(lián)質(zhì)量m3為21.8 g的組合彈簧，兩者串聯(lián)質(zhì)量m4為21.8 g的組合彈簧.令勁度系數(shù)為κ，振子質(zhì)量為M，彈簧等效質(zhì)量為m.再根據(jù)周期公式[5]

(2)

由式(2)得

(3)

可知T2與M成正比，根據(jù)斜率可分別求出勁度系數(shù)κ1,κ2,κ3,κ4.

1.2 實驗裝置

實驗裝置包含多普勒效應(yīng)綜合實驗儀、導(dǎo)軌、導(dǎo)軌底座及發(fā)生器組件、自由落體接收器保護(hù)盒、自由落體組件、紅外接收組件、電磁閥及擋塊、砝碼、兩原長相同的柱形彈簧以及電子天平，注意將發(fā)射器、接收器與電磁閥組件組裝在一條直線上.測量單個彈簧勁度系數(shù)的實驗裝置如圖1所示，測量串并聯(lián)彈簧等效勁度系數(shù)時，只需將單個彈簧調(diào)整為兩個彈簧并聯(lián)、串聯(lián)即可，實驗原理圖分別如圖2和圖3所示.

圖1 測量單個彈簧勁度系數(shù)實物圖

圖2 測量兩并聯(lián)彈簧勁度系數(shù)實驗原理圖

圖3 測量兩串聯(lián)彈簧勁度系數(shù)實驗原理圖

注意：由于導(dǎo)軌長度有限，兩彈簧串聯(lián)時接近底座，所以未放置保護(hù)盒，操作宜輕、宜慢，以防止振子落地受損.

2 實驗方法與測量舉例

2.1 實驗方法

(1) 測量單彈簧勁度系數(shù)時，其操作步驟如下.

1) 利用天平分別稱量彈簧與振子的質(zhì)量為m1和M，將彈簧振子懸掛于電磁閥上方的掛鉤孔中.在多普勒效應(yīng)綜合實驗儀器的液晶顯示屏上，利用?調(diào)整儀器所處實驗室的室溫，并按“確認(rèn)”.

2) 用▼選中“變速運(yùn)動測量實驗”，并按“確認(rèn)”.用?調(diào)節(jié)“采樣點總數(shù)”為150，用▼切換到“采樣步距”，并用?調(diào)節(jié)“采樣步距”到100 ms，確認(rèn)調(diào)整無誤.

3) 將彈簧振子下拉合適位置，使其做簡諧運(yùn)動，當(dāng)其運(yùn)動穩(wěn)定后，用▼切換到“開始測試”，按下“確認(rèn)”.

4) 液晶屏上會顯示出v-t的函數(shù)圖像，如圖4所示，觀察圖像是否有效(即圖像是否為一個漂亮的三角函數(shù)圖像).若無效，重復(fù)上述操作內(nèi)容，直至得出有效圖像；若有效，用?選中“數(shù)據(jù)”，找出第1次與第b次最大且方向相同的速度所對應(yīng)的采樣次數(shù)，利用公式(1)算出周期并填入表中.

圖4 多普勒實驗儀顯示v-t的圖像

5) 振子質(zhì)量M變化，重復(fù)上述操作步驟，算出與M對應(yīng)的周期平方并填入表中，直到測量完所有振子.注意：若出現(xiàn)失鎖警告，及時給自由落體組件充電.

6) 在Excel中作出T2-M曲線圖像.根據(jù)其曲線斜率求出彈簧勁度系數(shù).

(2)測量兩彈簧并聯(lián)等效勁度系數(shù)時，其操作步驟同上.

(3)測量兩彈簧串聯(lián)等效勁度系數(shù)時，其操作步驟同上.

2.2 測量舉例

2.2.1 數(shù)據(jù)記錄

1)單彈簧1，質(zhì)量m1為10.8 g，振子質(zhì)量M分別為101.3 g,109.9 g,121.7 g,133.6 g,145.6 g,157.7 g進(jìn)行實驗測量，b取11.為確保實驗數(shù)據(jù)更精確，周期以及周期平方取小數(shù)點后4位，測得數(shù)據(jù)如表1所示.

表1 單彈簧1的測量數(shù)據(jù)記錄表

單彈簧2，質(zhì)量m2為11.0 g進(jìn)行實驗測量，振子質(zhì)量同上，b取11，測得數(shù)據(jù)如表2所示.

表2 單彈簧2的測量數(shù)據(jù)記錄表

2)兩彈簧并聯(lián)質(zhì)量m3為21.8 g，振子質(zhì)量M分別為101.3 g，120.1 g，130.4 g，140.6 g，150.9 g，156.6 g進(jìn)行實驗測量，b取11，測得數(shù)據(jù)如表3所示.

表3 兩彈簧并聯(lián)的測量數(shù)據(jù)記錄表

3)兩彈簧串聯(lián)質(zhì)量m4為21.8 g，振子質(zhì)量M分別為101.5 g，109.9 g，115.6 g，120.2 g，126.0 g，136.2 g進(jìn)行實驗測量，周期偏大，b不能都取11，測得數(shù)據(jù)如表4所示.

表4 兩彈簧串聯(lián)的測量數(shù)據(jù)記錄表

2.2.2 數(shù)據(jù)處理

1)所測兩單彈簧實驗數(shù)據(jù)在Excel中作出的線性回歸曲線，如圖5和圖6所示.其相關(guān)系數(shù)R2分別為0.999 7和0.998 4趨近于1，趨勢線可靠性很高.

圖5 單彈簧1的T2-M曲線圖

圖6 單彈簧2的T2-M曲線圖

圖5和圖6所對應(yīng)的線性回歸方程分別為

T2=10.33M+0.035 6

(4)

T2=8.621 3M+0.048 5

(5)

分別聯(lián)立方程(3)解得

κ1=3.821 7

κ2=4.579 2

2)所測兩彈簧并聯(lián)實驗數(shù)據(jù)在Excel中作出的線性回歸曲線，如圖7所示.其相關(guān)系數(shù)R2為0.999趨近于1，趨勢線可靠性很高.

圖7 兩彈簧并聯(lián)的T2-M函數(shù)曲線

圖7所對應(yīng)的線性回歸方程為

T2=4.698 7M+0.043 5

(6)

聯(lián)立方程(3)解得

κ3=8.402 0

3)所測兩彈簧串聯(lián)實驗數(shù)據(jù)在Excel中作出的線性回歸曲線，如圖8所示.其相關(guān)系數(shù)R2為0.996 9趨近于1，趨勢線可靠性很高.

圖8 兩彈簧串聯(lián)的T2-M函數(shù)曲線

圖8所對應(yīng)的線性回歸方程為

T2=18.724M+0.182 2

(7)

聯(lián)立方程(3)解得

κ4=2.108 4

由以上測量數(shù)據(jù)得

(1)κ1+κ2=8.400 9，則κ1+κ2≈κ3,其百分誤差為0.01%.

其百分誤差為1.21%.

綜上，兩并聯(lián)彈簧等效勁度系數(shù)為兩單彈簧勁度系數(shù)之和，兩串聯(lián)彈簧等效勁度系數(shù)為兩單彈簧勁度系數(shù)倒數(shù)和的倒數(shù)，此結(jié)論與文獻(xiàn)相符[6].

3 結(jié)束語

本文利用多普勒效應(yīng)綜合實驗儀，分別測得κ1，κ2，κ3，κ4的值，得出兩并聯(lián)彈簧的等效勁度系數(shù)為兩單彈簧勁度系數(shù)之和，兩串聯(lián)彈簧等效勁度系數(shù)為兩單彈簧勁度系數(shù)倒數(shù)和的倒數(shù).該方案精確度較高，對研究更加復(fù)雜的組合彈簧的等效勁度系數(shù)與解答相關(guān)中學(xué)物理題目以及研究彈簧自身質(zhì)量對簡諧振動的影響具有一定的參考價值[7].