“有關(guān)直角三角形的旋轉(zhuǎn)習(xí)題課”案例分析

王丹

2019年我參加了課題為“有關(guān)直角三角形的旋轉(zhuǎn)習(xí)題課”的公開(kāi)課展示。課始，學(xué)生振奮精神，躍躍欲試。“同學(xué)們，教材第66頁(yè)的第7題是研究?jī)蓚€(gè)直角三角形旋轉(zhuǎn)到一些特殊位置基本型，本節(jié)課我們就來(lái)探索這類(lèi)問(wèn)題可以找到哪些結(jié)論。”于是我?guī)ьI(lǐng)學(xué)生開(kāi)啟了習(xí)題探究課的旅程，以達(dá)到拓展學(xué)生思維能力的目的。

問(wèn)題1：如圖1，△ABC經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)得到△DCE，請(qǐng)問(wèn)△ABC繞著點(diǎn) ? ?，按 ? ? ?時(shí)針旋轉(zhuǎn) ? ? ?度得到△DCE，從而得到△ABC△DCE.

學(xué)生思考片刻，在導(dǎo)學(xué)案上馬上寫(xiě)出了答案，因?yàn)槔眯D(zhuǎn)性質(zhì)產(chǎn)生全等三角形;△ABC 繞著點(diǎn) A ?，按 ?順 ?時(shí)針旋轉(zhuǎn) ?90 ?度得到△DCE，從而得到△ABC ≌△DCE.

變式1：如圖2，連接AD，BE，我們可以找到哪些特殊的三角形？

學(xué)生通過(guò)觀察兩個(gè)旋轉(zhuǎn)直角三角形的特殊位置，發(fā)現(xiàn)△BEC與△ACD是等腰直角三角形。在這個(gè)環(huán)節(jié)中讓學(xué)生親身體驗(yàn)如何“做數(shù)學(xué)”，從中感受到由已知圖形得到新圖形的過(guò)程。

變式2：如圖3延長(zhǎng)DE，交AB于點(diǎn)F，DF和AB的位置關(guān)系是什么？

利用旋轉(zhuǎn)得到全等，學(xué)生知道對(duì)應(yīng)角∠1=∠2，又由對(duì)頂角相等，所以∠3=∠4，

由三角形內(nèi)角和為180？紫，等量代換得到∠AFE=90？紫，即DF⊥AB.

根據(jù)邊之間的關(guān)系求邊比，這類(lèi)問(wèn)題，學(xué)生就會(huì)有一定的思維阻力，引導(dǎo)學(xué)生考慮相似。學(xué)生們找到△AFE∽△DCE， △ACD∽△BCE.推導(dǎo)出

變式3：如圖4，如果∠DEC=60？紫，求∠ABE=

利用等腰直角三角形這個(gè)特殊的∠EBC=45？紫，學(xué)生們很快得出了15？紫的結(jié)論。

變式4：如圖5，∠A=35？紫，此時(shí)，點(diǎn)E在AB上，DE交AC于點(diǎn)F，∠EFC=

學(xué)生分析得出初步結(jié)論是：∠CBA=90？紫-∠A=55？紫，∠CED=∠CBA，利用點(diǎn)E的特殊位置在AB上，產(chǎn)生了CE=CB，得到∠CEB=∠CBA，推出∠CEB=∠CBD，利用外角性質(zhì)，∠EFA=2∠DEC-∠A=55？紫×2-35？紫=75？紫，∠EFC=180？紫-75？紫=105？紫.

變式5：如圖6，點(diǎn)D是等腰直角△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BC是斜邊，如果將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△ACD'位置，則∠ADD'=

這個(gè)問(wèn)題是換了已知條件，實(shí)際上仍然考查旋轉(zhuǎn)性質(zhì)產(chǎn)生全等三角形，從而引出等腰直角三角形的結(jié)論。學(xué)生很快識(shí)別了這個(gè)結(jié)論得到了∠ADD'=45？紫.

變式6：如圖7，在△ABC 中，∠CBA=70？紫，將△ABC 繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)銳角α到△AB'C' ，連接CC'，若CC'∥AB，則旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為

本題還是旋轉(zhuǎn)出全等，由于添加了平行這個(gè)條件，產(chǎn)生等腰三角形。由CC'∥AB ，得∠CBA=ACC'=70？紫，由AC=AC'，得AC'C= ACC'=70？紫，由三角形內(nèi)角和180？紫，我們可以得到∠CAC'=40？紫.

變式7：如圖8，在Rt△ABC中，∠ACB=90？紫，

如圖9，點(diǎn)P在AB上，且CA=CP=6，AB=18，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得Rt△AB'C'，且C'落在CP的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連接BB'交CP的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，求線(xiàn)段BF的長(zhǎng).

本題目條件多，當(dāng)堂課沒(méi)有解決完全，我?guī)ьI(lǐng)學(xué)生初步分析了條件和討論思路。本題主要是處理等角的挖掘和相似。

解析：

由全等知∠BAC=B'AC'，

得∠CAC'=∠BAB'，

由于邊等CA=C'A，BA=B'A，

得△CAC'與△BAB'，都是相似的等腰三角形，

所以，∠ACP=∠ABF，

由于∠ACP=∠BPF （對(duì)頂角相等）△BPF∽△CPA

由CP=CA，得△BPF 與△CPA都是相似的等腰三角形.

過(guò)C點(diǎn)作AB的垂線(xiàn)CK，垂足為K.

通過(guò)等角的發(fā)現(xiàn)，Rt△ABC ∽R(shí)t△ACK，

所以BF=BP=14.

我們探究的課題不僅僅是給予學(xué)生解題的思路和步驟，更重要的是教會(huì)學(xué)生挖掘已知條件和圖形中隱含的邊角關(guān)系，從而解決問(wèn)題。此課的學(xué)習(xí)打開(kāi)了學(xué)生的思路，讓學(xué)生能夠從多個(gè)角度來(lái)認(rèn)識(shí)同一類(lèi)型的問(wèn)題，這為以后學(xué)習(xí)更有深度的內(nèi)容打下了良好的基礎(chǔ)。

（此作者為援藏教師，派出單位為哈爾濱市征儀路學(xué)校）

編輯/李 ? ?莉