基于樣條理論的自動入庫泊車鯨魚優(yōu)化算法

陳 艷

(池州學院 機電工程學院，安徽 池州 247000)

自動入庫泊車系統(tǒng)是汽車里不可缺少的重要系統(tǒng)，以保證入庫泊車滿足安全、舒適、迅速、準確停車等優(yōu)化控制指標，其軌跡優(yōu)化器應當具備強大的泊車軌跡優(yōu)化性能，從而能夠提供無避碰、精確的自動入庫泊車軌跡曲線[1]。為提升入庫泊車系統(tǒng)的控制性能，已經(jīng)有大量的研究應用于實際的入庫泊車實際問題中。針對鏈式系統(tǒng)，LIU K等提出了一種指數(shù)型全局收斂到任意給定范數(shù)界(epsilon收斂)的控制算法，并將其應用于自動停車系統(tǒng)[2]。LIU H等提出了一種基于兩輪驅(qū)動車輪速度傳感器的自適應魯棒四輪計算定位方法，并應用于自動停車系統(tǒng)中[3]。趙林峰等提出了一種基于自抗擾控制的自動泊車路徑跟蹤[4]。入庫泊車軌跡往往通過智能算法進行優(yōu)化得到。鯨魚優(yōu)化算法(whale optimization algorithm, WOA)是一種具有較好的全局尋優(yōu)性能的智能算法。美中不足的是其在迭代優(yōu)化后期階段，存在收斂性能差，會導致陷入局部最優(yōu)的可能[5]。為提高鯨魚優(yōu)化算法的全局收斂性能，以泊車軌跡最短為目標，結(jié)合樣條理論，對現(xiàn)有的鯨魚優(yōu)化算法進行了改進。首先在非線性遞減的收斂策略基礎上引入變速率調(diào)整因子，以此增強收斂性能和提高收斂速度，然后采用基于sigmoid函數(shù)的變異概率用以改善算法全局收斂性能。最后采用驗證函數(shù)和自動泊車實際軌跡優(yōu)化問題進行仿真驗證，來對比不同優(yōu)化算法性能。結(jié)果表明，本文改進算法具有更強的尋優(yōu)能力。

1 基于樣條理論的自動入庫泊車優(yōu)化模型

1.1 智能自動入庫泊車系統(tǒng)

本文以一種常見的智能汽車自動倒車入庫方式為例，其具體的智能汽車自動倒車入庫示意圖(見圖1)。

圖1 倒車入庫示意圖

圖1中，停車位已知，停車位的車庫邊線和庫角清晰可辨識，車輛初始位于起步區(qū)并擬定停車入庫于目標區(qū)，此時，自動入庫泊車系統(tǒng)立即采集得到自動入庫所需的相關信息，并據(jù)此判斷是否具備入庫泊車的條件，在具備停車條件的前提下，依據(jù)采集得到的相關信息，結(jié)合自動入庫泊車路徑軌跡規(guī)劃方法合理規(guī)劃得到泊車軌跡并引導車輛泊車于目標區(qū)。

智能自動入庫泊車系統(tǒng)由泊車優(yōu)化數(shù)據(jù)采集裝置、軌跡優(yōu)化器及其軌跡優(yōu)化輔助程序、泊車跟蹤控制器、泊車可行性判定器、緊急駐停器、泊車停止器等構(gòu)成，其核心功能是能準確檢驗入庫泊車，且在入庫泊車可行性滿足的條件下給出無避碰、軌跡光滑且盡可能短的泊車軌跡并實施入庫泊車。智能自動入庫泊車系統(tǒng)設計中，需要考慮實際自動入庫泊車流程的各個環(huán)節(jié)。具體的智能自動入庫泊車流程系統(tǒng)設計圖(見圖2)。

圖2 智能自動入庫泊車流程系統(tǒng)設計圖

綜上可知，自動入庫泊車軌跡優(yōu)化是實現(xiàn)無避碰、泊車運行軌跡光滑且盡可能短距離泊車的自動泊車的重要前提條件。

1.2 三次樣條理論

樣條理論始于20世紀60年代，放樣工人參照固定的曲線函數(shù)表，使用壓鐵將有彈性的細長木條固定于幾個相近的點上，而其它位置使其自由彎曲，其形成的曲線便稱之為樣條曲線。三次樣條插值函數(shù)因其具有函數(shù)曲線光滑且較容易擬合計算等優(yōu)點，故適宜于自動入庫泊車軌跡優(yōu)化。

三次樣條插值函數(shù)的定義如下：

(x0,x1,…,xn)是已知區(qū)間Δ=[a,b]內(nèi)的n+1個插值點。若插值函數(shù)s(x)滿足下述兩個條件，則稱s(x)是對應于區(qū)間Δ上的三次樣條插值函數(shù)[7]。

s(x)在任意子區(qū)間[xi,xi+1],i∈[0,1,2,...,n]上是三次多項式，具體的三次多項式如公式(1)所述：

(1)

s(x)及其導函數(shù)s′(x)在區(qū)間Δ=[a,b]上連續(xù)。其中，(x0,x1,…,xn)被稱為插值點，(a0,a1,…,an)、(b0,b1,…,bn)、(c0,c1,…,cn)和(d0,d1,…,dn)為三次樣條插值分段函數(shù)的多項式系數(shù)。

1.3 基于樣條理論的自動入庫泊車軌跡優(yōu)化模型

針對智能自動入庫泊車應當在滿足入庫泊車可行性條件下給出無避碰、軌跡光滑且軌跡長度盡可能短的自動泊車軌跡。本文給出了基于樣條理論的自動入庫泊車軌跡優(yōu)化模型。

(2)

其中，Pg(i)—第i個車庫碰撞檢測點的位置；

Ωg—庫邊線，?Pg(i)∈Ωg；

Nt—時間周期集合，含nt個不同的時間周期，分別記為1,2,…,it,…,Nt；

Ωc,it—第it個時間周期下的車輛覆蓋區(qū)域，因車輛不能碰撞庫邊線，因此?Pg(i)?Ωc,it；

Ng—車庫碰撞檢測點集合，含ng個不同的測試點，分別記為1,2,…,i,…,ng；

L—泊車軌跡長度，它應當是泊車速度v(t)對泊車時間t的定積分(從0時刻泊車開始至Tmax時刻泊車結(jié)束)，約等于全部時間周期下泊車間隔距離的和值；

ΔLmax—允許的泊車間隔距離的最大值，為使得泊車軌跡光滑，需使得泊車軌跡曲線可導，也即令任意時間周期下，泊車間隔距離不能小于所允許的最大值；

LTX,Y—由X軸和Y軸構(gòu)成的平面坐標系下的泊車軌跡，采用三次樣條函數(shù)s(p1,p2,…,pns)擬合，其中，P={p1,p2,…,pns}為泊車軌跡參考點集，是決策變量，含ns個不同的泊車軌跡參考點。

由式(2)可知，基于樣條理論的自動入庫泊車軌跡優(yōu)化模型，在無避碰、軌跡光滑的約束下，尋到一組使得泊車軌跡L盡可能短的泊車軌跡參考點集P。然而，由于上述模型是一個非線性的、約束條件苛刻的、不易用常規(guī)解析方法求解的極其復雜的優(yōu)化模型。對于這種復雜的優(yōu)化問題，智能優(yōu)化算法更具有計算精度和速度方面的優(yōu)勢，其中鯨魚優(yōu)化算法具有極高的優(yōu)化效率。為求得更好的泊車軌跡，本文結(jié)合樣條理論提出了一種改進的鯨魚優(yōu)化算法。

2 改進的鯨魚優(yōu)化算法

2.1 基本鯨魚優(yōu)化算法

鯨魚優(yōu)化算法主要包括包圍獵物、氣泡網(wǎng)螺旋狩獵和隨機搜索獵物三個行為階段?；决L魚優(yōu)化算法的位置更新公式可以描述為[6]：

(3)

其中，X*(t)—當前最優(yōu)解(獵物)位置向量；

Dp=|X*(t)-X(t)|—鯨魚X(t)與最優(yōu)解X*(t)之間的距離；

p—鯨魚的階段行為選擇概率，p∈[0,1]；

ps—鯨魚選擇進行包圍獵物階段行為的概率，ps∈[0,1]，取值為0.6；

1-ps—鯨魚選擇進行氣泡網(wǎng)螺旋狩獵階段行為的概率；

b—螺旋的形狀，取1；l—(-1,1)范圍的隨機數(shù)；

t—當前的優(yōu)化迭代次數(shù)；

A和C相關系數(shù)的計算見式(4)—(6)。

a=2-2×t/Tmax

(4)

A=2a×r1-a

(5)

C=2×r2

(6)

式中，a—收斂因子；A和C—相關系數(shù)；r1、r2—(0,1)中的隨機數(shù)；Tmax—最大優(yōu)化迭代次數(shù)。

鯨魚選擇進行隨機搜索獵物階段行為時，首先隨機選擇一個搜索領導個體Xrand，式(7)—(8)為D和X(t+1)的更新計算。式(8)中，Xrand是隨機選擇的一個搜索領導個體的初始位置向量。

D=|CXrand-X(t)|

(7)

X(t+1)=Xrand-A·D

(8)

鯨魚優(yōu)化算法歸納為以下6個步驟，從而達到全局尋優(yōu)。

①初始化鯨魚種群，賦值參數(shù)。

②設定ps的值，隨機產(chǎn)生概率p，當p

③計算A，當A<1時,進行包圍獵物階段行為，更新其它鯨魚的位置X(t+1)=X*-A·D，轉(zhuǎn)向步驟⑥；當A≥1時,進行隨機搜索獵物階段行為，轉(zhuǎn)向步驟④。

④隨機選擇一個搜索領導個體Xrand，更新各個鯨魚的位置X(t+1)=Xrand-A·D，轉(zhuǎn)向步驟⑥。

⑤當p≥ps時，鯨魚優(yōu)化算法進行氣泡網(wǎng)螺旋狩獵階段行為，鯨魚的位置更新按照X(t+1)=X*(t)+DP·ebl·cos(2πl(wèi))進行，轉(zhuǎn)步驟⑥。

⑥判斷是否達到最大迭代次數(shù)，若到達最大迭代次數(shù)則算法結(jié)束，否轉(zhuǎn)向步驟②。

2.2 變速率調(diào)整收斂因子非線性遞減

由公式(4)可知，收斂因子a的數(shù)值由2線性遞減至0。由鯨魚覓食的原理可知，收斂因子a在覓食(迭代計算)的初期取較大的值以提升收斂速度；而在覓食(迭代計算)的末期，取較小的值以提高收斂精度。然而如果收斂因子a呈相對固定的線性遞減，則影響算法的收斂速度和收斂精度[8]。為此，本文將變速率調(diào)整因子β和非線性遞減余弦函數(shù)結(jié)合作為收斂因子a。

(9)

式(9)中，β—變速率調(diào)整因子，調(diào)整收斂因子a隨著迭代次數(shù)余弦下降的速率。

采用上述策略，能夠使得收斂因子a在整個迭代周期呈非線性遞減。變速率調(diào)整的收斂因子a和進化代數(shù)t的關系曲線(見圖3)。

圖3 a—t的關系曲線

由圖3可知，在迭代過程，收斂因子a余弦遞減，其在迭代初期下降速率較慢，迭代后期下降速率較快。迭代時，不同的變速率調(diào)整因子β導致收斂因子a遞減速率不同。因此，可以依據(jù)不同優(yōu)化問題的自身特性，選擇合適的變速率調(diào)整因子β。這種變速率調(diào)整策略可以使收斂因子的速率在整個迭代過程中具有顯著的差異，不僅可以滿足算法的收斂速度，還可以達到增強算法全局收斂性能，避免陷入局部收斂。

2.3 基于sigmoid函數(shù)的自適應變異概率

(10)

式(10)中，pm—變異概率的最終值，取0.2；ap—形狀因子，取5；

pm-max—變異概率的最大值；

Ns—鯨魚種群分界點，取0.8；

fit(x)′—鯨魚種群中鯨魚個體x的適應度函數(shù)值fit(x)的歸一化值。

由公式(10)可知，自適應變異概率值隨著鯨魚個體的適應函數(shù)值的歸一化值fit(x)′非線性的遞減。自適應變異概率值pm和鯨魚種群中鯨魚個體x的適應度函數(shù)的歸一化值fit(x)′的關系曲線(見圖4)。

圖4 pm—fit(x)′關系曲線

由圖4可知，采用上述自適應變異策略下，對于整個鯨魚種群，可以實現(xiàn)適應度函數(shù)值大的鯨魚個體施加以較小的變異概率，以此保留優(yōu)勢精英個體。同時適應度函數(shù)值小的鯨魚個體施加較大的變異概率，實現(xiàn)劣勢個體充分變異進化以增強鯨魚種群多樣性，提升個體的搜尋能力。這里鯨魚個體適應度函數(shù)值在平均值以下(fit(x)′<0.5)的給予施加較高的變異概率(>0.15)，而本文給出的隨著適應度函數(shù)值非線性遞減的自適應變異概率值，既防止了優(yōu)勢精英個體統(tǒng)治種群，又使得劣勢個體具有一定的變異進化機會。

3 仿真實驗

3.1 驗證函數(shù)的仿真

本文采用3種驗證函數(shù)，即單目標函數(shù)(Schaffer)、雙目標函數(shù)(ZDT1)和三目標函數(shù)(DTLZ1)，對本文提出的鯨魚優(yōu)化改進算法(improved whale optimization algorithm, IWOA)、混沌鯨魚優(yōu)化算法(chaotic whale optimization algorithm, CWOA)[9]和基于分解的多目標進化算法(multi-objective evolutionary algorithm based on decomposition, MOEA/D)[10]3種不同的優(yōu)化算法進行仿真對比。本文提出的鯨魚優(yōu)化改進算法的具體參數(shù)設置如下：鯨魚種群規(guī)模N取值為50，迭代次數(shù)d取值為100，鯨魚選擇進行包圍獵物階段的概率Ps取值為0.6，螺旋形狀常數(shù)b取值為1，變速率調(diào)整因子β取值為-0.1，變異概率最大值Pm-max取值為0.2，自適應變異概率形狀因子ap取值為5，鯨魚種群分界點NS取值為0.8。

對于單目標驗證函數(shù)schaffer，本文采用其最優(yōu)解函數(shù)值作為適應度函數(shù)值。最優(yōu)解函數(shù)值與真實最優(yōu)解越接近，則表明優(yōu)化算法的優(yōu)化性能越好。對于雙目標驗證函數(shù)ZDT1和三目標驗證函數(shù)DTLZ1，本文采用反向世代距離(IGD)作為適應度函數(shù)值。IGD值越低，則表明優(yōu)化算法的收斂性能越好，獲得的最優(yōu)化前沿越接近于真實最優(yōu)前沿，IGD值的計算公式(13)所述。

(13)

式(13)中，Q—均勻分布在真實最優(yōu)前沿的pareto面上的采樣數(shù)據(jù)點集合；

Q′—待驗證算法計算得到的最優(yōu)化前沿的近似pareto解集；

d(Qip,Q′)—第ip個采樣數(shù)據(jù)點Qip與Q′之間最小的距離，|Q|為Q的規(guī)模。

以下是具體的仿真對比結(jié)果：

(1) Schaffer函數(shù)

圖5 Schaffer函數(shù)仿真驗證尋優(yōu)曲線

表1 Schaffer函數(shù)仿真尋優(yōu)結(jié)果

由圖5和表1可知，相比其它算法，本文提出的IWOA最優(yōu)。函數(shù)最優(yōu)解為(x1,x2)=(4.2×10-4,4.8×10-4)；最優(yōu)解函數(shù)值為：F(x1,x2)=6.4×10-4。

(2)ZDT1函數(shù)

圖6 ZDT1函數(shù)仿真測試尋優(yōu)曲線

表2 ZDT1函數(shù)和DTLZ1函數(shù)仿真尋優(yōu)結(jié)果

由圖6和表2可知，相比其它算法，本文提出的IWOA最優(yōu)。仿真驗證尋優(yōu)得到的最優(yōu)IGD值為6.57×10-4。

(3)DTLZ1函數(shù)

圖7 DTLZ1函數(shù)的仿真驗證尋優(yōu)曲線

由圖7可知，相比其它算法，本文提出的IWOA最優(yōu)，仿真驗證尋優(yōu)得到的最優(yōu)IGD值為1.17×10-3。

3.2 基于樣條理論的自動入庫泊車matlab2016b實驗平臺的實驗驗證

本文采用基于matlab2016b平臺實現(xiàn)自動入庫泊車軌跡優(yōu)化，并采用基于visual studio的監(jiān)控平臺來監(jiān)測自動入庫泊車軌跡優(yōu)化的全過程，其間通訊用VC++來構(gòu)建。本文將泊車軌跡優(yōu)化環(huán)境及其監(jiān)控環(huán)境集成于一臺筆記本計算機中，采用VC++6.0編寫的模擬串口通信器進行通訊，通訊介質(zhì)采用office excel。主要參數(shù)配置如下所述：泊車優(yōu)化數(shù)據(jù)模擬采集的限制時間為4 s，泊車可行性模擬判斷限制時間為1.5 s，泊車軌跡優(yōu)化模擬計算限制時間為10.5 s，泊車跟蹤模擬控制限制時間為30 s，緊急停止模擬計算的限制時間為0.2 s，泊車停止模擬計算限制時間為1 s，駕駛員提示器模擬反應限制時間為0.05 s，求解三次樣條插值函數(shù)多項式系數(shù)的功能函數(shù)為spline，求解泊車軌跡曲線長度方法為積分擬合法，控制周期為1 000 μs。

以尺寸為5.0 m×2.5 m(長×寬)的停車位和尺寸為3.4 m×1.7 m(長×寬)的車輛覆蓋區(qū)域為試驗對象，軌跡優(yōu)化方法分別采用IWOA、CWOA和MOEA/D，跟蹤控制算法均采用模糊預測控制算法，車輛覆蓋區(qū)域與庫邊近角點的水平距離均為2.2 m，車輛覆蓋區(qū)域與庫邊線的距離分別為1 m和0.8 m。對于所述的仿真條件，具體的自動入庫泊車跟蹤控制軌跡曲線與示意情況及其相關結(jié)果(見圖8—9)和(見表3—4)。在圖8中，車輛覆蓋區(qū)域與庫邊線的距離為1 m。圖9為車輛覆蓋區(qū)域與庫邊線距離為0.8 m。在圖8—9中，車庫角點A為表4—5中參考點集的坐標原點，以水平方向為橫軸，以豎直方向為縱軸。

圖8 自動入庫泊車跟蹤控制軌跡曲線仿真圖(1 m)

圖9 自動入庫泊車跟蹤控制軌跡曲線仿真圖(0.8 m)

表3 自動入庫泊車跟蹤控制相關結(jié)果

表4 自動入庫泊車跟蹤控制相關結(jié)果

由(圖8—9)，(表4—5)可知，相比于MOEA/D和CWOA，盡管均保證在泊車運行過程中車輛與庫邊線無避碰風險，但采用IWOA所獲得的自動入庫泊車跟蹤控制軌跡更加平滑且泊車軌跡長度更短。這表明本文提出的IWOA具有更強的優(yōu)化性能，從而能夠?qū)?yōu)得到更理想的泊車軌跡，更有助于智能汽車自動入庫泊車，所獲得的入庫泊車跟蹤控制效果更佳。

4 結(jié) 論

針對傳統(tǒng)優(yōu)化算法具有的收斂速度慢、易于陷入局部最優(yōu)等問題，結(jié)合三次樣條理論，構(gòu)建了一種自動入庫泊車優(yōu)化模型。本文先在非線性遞減的收斂策略基礎上引入變速率調(diào)整因子β，通過β的自適應調(diào)整，增強收斂性能和提高收斂速度；然后采用自適應變異概率用以改善算法全局收斂性能。利用驗證函數(shù)測試和自動入庫泊車實際問題的仿真驗證結(jié)果表明，本文提出的改進算法具有更強的全局搜索能力和較快的收斂速度，能夠較好地應用于自動入庫泊車軌跡優(yōu)化。