基于Hybrid迭代法的多連通域數(shù)值保角變換計算法

唐勝男,呂毅斌,王櫻子,房巾莉,武德安

(1.昆明理工大學(xué) 理學(xué)院,云南 昆明 650500;2.昆明理工大學(xué) 計算中心,云南 昆明 650500;3.電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,四川 成都 611731)

保角變換是復(fù)變函數(shù)中的重要內(nèi)容，被廣泛應(yīng)用于流體力學(xué)、電磁場、生物、光學(xué)、圖像處理等領(lǐng)域[1-6]。保角變換包括解析法和數(shù)值計算法兩種求解方法。解析法的理論基礎(chǔ)是Riemann存在唯一性定理。Riemann存在唯一性定理證明了變換函數(shù)的存在性和唯一性，但只在簡單區(qū)域給出了變換函數(shù)的表達(dá)式。一些復(fù)雜區(qū)域變換函數(shù)表達(dá)式是未知的，因此對數(shù)值保角變換的研究就顯得尤為重要。保角變換計算法包括：積分方程法[7]、模擬電荷法[8-10]等。目前保角變換包括單連通區(qū)域的保角變換和多連通區(qū)域的保角變換兩大類。1969年，文獻(xiàn)[11]提出形成了模擬電荷法的基本思想[11]：在計算電場的空間之外，用若干個虛設(shè)的模擬電荷代替電極表面電荷來計算電場。從20世紀(jì)80年代起日本的天野要等人對數(shù)值保角變換的模擬電荷法以及模擬電荷點的選擇進(jìn)行了大量研究，并提出了基于模擬電荷法的數(shù)值保角變換計算法，也就是天野法[8,12]。

本文對基于模擬電荷法的數(shù)值保角變換進(jìn)行了研究，提出了無界多連通區(qū)域數(shù)值保角變換計算法。該方法用復(fù)對數(shù)函數(shù)的線性組合近似一個解析函數(shù)，并構(gòu)造從Jordan曲線為邊界到徑向狹縫域的近似變換函數(shù)。該方法采用解析函數(shù)的最大模原理作為評價指標(biāo)。

本文首先介紹了基于模擬電荷法的無界多連通區(qū)域數(shù)值保角變換計算法；然后對無界多連通區(qū)域中的約束方程進(jìn)行預(yù)處理。預(yù)處理是將任意方程化為對稱正定的方程。由于該方程是病態(tài)的，故再利用Hybrid迭代法[13-15]對對稱正定方程進(jìn)行求解，以獲得新的模擬電荷和新的輻角，進(jìn)而構(gòu)造近似變換函數(shù)；最后，利用數(shù)值實驗對本文算法的有效性進(jìn)行驗證。

1 徑向狹縫域的數(shù)值保角變換計算法

本章節(jié)重點研究基于模擬電荷法的無界多連通區(qū)域保角變換數(shù)值計算法[16-19]。如圖1所示，C1,C2,…,Cn是z平面上封閉的Jordan曲線，C1,C2,…,Cn的外部區(qū)域記為D。保角變換函數(shù)ω=f(z)將C1,C2,…,Cn映射成ω平面上徑向狹縫S1,S2,…,Sn，并將外部區(qū)域D映射成ω平面上徑向狹縫的外部區(qū)域。

圖1 基于模擬電荷法的無界多連通數(shù)值保角變換

f(z)=ze(ia(z))

(1)

式中，a(z)在區(qū)域D內(nèi)解析。由洛朗表達(dá)式知a(∞)=0。

解析函數(shù)a(z)在邊界上滿足

(2)

其中，θ1,θ2,…,θn是保角變換函數(shù)f(z)將Jordan曲線映射到徑向狹縫的輻角。由模擬電荷法，a(z)可以用C1,C2,…,Cn區(qū)域內(nèi)部配置的N1+N2+…+Nn個模擬電荷點ζlj作為極的對數(shù)勢場的一次結(jié)合(復(fù)對數(shù)函數(shù)的線性組合)，a(z)近似A(z)，即

(3)

式中，ζlj(l=1,2,…,n,j=1,2,…,Nn)為模擬電荷點，分布在Jordan曲線內(nèi)部，即C1,C2,…,Cn的內(nèi)部分別有N1,N2,…,Nn個模擬電荷點。Q0與Qlj為電荷，Q0為復(fù)常數(shù)。a(∞)=0，故Q0=0。

因為A(z)為解析函數(shù)，故也是單葉的，在封閉曲線上積分為0。

(4)

未知電荷Qlj可以在Jordan曲線上選取N1+N2+…+Nn個約束點zmk滿足式(2)時進(jìn)行求解

(5)

其中，θm近似Θm。

任取封閉的Jordan曲線Cl內(nèi)部的一點ζl0，則解析函數(shù)為

(6)

(7)

從而等式(5)可轉(zhuǎn)換為式(8)。

(8)

2 基于Hybrid迭代法的多連通區(qū)域的模擬電荷求解

式(8)為基于模擬電荷法的無界多連通區(qū)域數(shù)值保角變換的約束方程。將約束方程寫成Ax=b的形式，其中A∈R(N1+N2+…+Nn)×(N1+N2+…+Nn)；x∈RN1+N2+…+Nn；b∈RN1+N2+…+Nn；N1,N2,…,Nn為Jordan曲線C1,C2,…,Cn內(nèi)部的模擬電荷點數(shù)。隨著模擬電荷點數(shù)的增加，數(shù)值保角變換的精度越高。為了獲得更高的數(shù)值保角變換的精度，也需要獲得更精確的未知電荷部分和Ql,j與輻角Θm。

約束方程是非對稱且病態(tài)的方程。目前改善病態(tài)矩陣的有Tikhonov、奇異值截斷、奇異值修正法等。Hybrid迭代法是求解系數(shù)矩陣對稱且病態(tài)的有效算法之一。因此首先進(jìn)行預(yù)處理，從而有

ATAx=ATb

(9)

任取參數(shù)α,β∈R，有

(10)

從而迭代計算式為

(11)

其中，E為單位矩陣。

Mxk+1=(N+βE)xk-βxk-1+b,k=1,2,…

(12)

即

xk+1=M-1(N+βE)xk-M-1βxk-1+M-1b,k=1,2,…

(13)

在此基礎(chǔ)上使用正交投影技術(shù)，給定初始值x0，獲得新的迭代值xk+1，滿足式(14)。

(14)

由于α>0，從而M為對稱正定矩陣，迭代式(12)中的譜半徑ρ(M-1(N+βE))<1，從而迭代式(12)收斂。此時，可以得到基于Hybrid迭代法的數(shù)值保角變換算法如下：

4:α>0;

6: While norm(r0-zeros(size(b))≥eps and

n

8: SolveMyn=rnforyn;

12:xn+1=xn+μndn;

13：n=n+1；

14: End While；

15: Returnxn+1andn。

根據(jù)此算法，可以高精度求解新的模擬電荷和輻角。綜上所述，基于Hybrid迭代法的無界多連通區(qū)域的數(shù)值保角變換計算法的步驟如下：

步驟1根據(jù)多連通區(qū)域的數(shù)值保角變換，給定多連通區(qū)域中的模擬電荷點、電荷數(shù)量以及約束點分別是ζ11,…,ζ1N1,…,ζNn1,…,ζNnNnN1,N2,…,Nn以及z11,…,z1N1,…,zNn1,…,zNnNn；

步驟2根據(jù)邊界條件，即式(2)，構(gòu)造約束方程；

步驟3使用Hybrid迭代法求解約束方程，獲得未知電荷的部分和Q1,1,…,Q1,N1-1,…,Qn,1,…,Qn,Nn-1和變換輻角Θ1,Θ2,…,Θn。對于Jordan曲線C1,C2,…,Cn的邊界及外部區(qū)域中的每一個點計算解析函數(shù)A(z)，構(gòu)造近似保角變換函數(shù)F(z)=zeiA(z)，最后計算對應(yīng)的變換點。

3 保角變換在電磁場上的應(yīng)用

針對傳輸線問題，本文給出了保角變換法的應(yīng)用介紹[6]。在二維平面平行場中，電場豎直均勻。變換函數(shù)f(z)=u(z)+iv(z)，其中u(z)和v(z)都為調(diào)和函數(shù)，并且他們的等值線相互正交。在靜電場中復(fù)電位為

ω=f(z)=φ(z)+iψ(z)

(15)

其中，φ(z)為力函數(shù)；ψ(z)是電位函數(shù)。

對變換函數(shù)關(guān)于x求偏導(dǎo)

(16)

E(z)=Ex+iEy=-?ψ

(17)

如果取u(z)為電位，則任意一條在u1與u2之間電位線上的電通量為

(18)

其中，ε為介電常數(shù)，任意一條電位線上電通量為電位的增量與ε的乘積。對于一些復(fù)雜的區(qū)域，通過應(yīng)用保角變換變?yōu)楹唵蔚膮^(qū)域。

4 數(shù)值實驗

針對模擬電荷法無界多連通區(qū)域的保角變換進(jìn)行數(shù)值實驗，在MATLAB 2016a環(huán)境下驗證多連通區(qū)域數(shù)值保角變換算法的有效性?；谀M電荷法的無界多連通區(qū)域數(shù)值保角變換的誤差評價指標(biāo)為

(19)

由3個圓的邊界及其外部區(qū)域所組成的區(qū)域的數(shù)值保角變換，邊界

Cl:|z-ζl0|=ρl,ρ1=1,ρ2=0.5,ρ3=1.5

(20)

約束點的位置

(21)

模擬電荷點的位置

(22)

其中，0

圖2 約束點及模擬電荷點的分布

圖3 保角變換后的圖像

下列圖中，本文算法表示基于Hybrid迭代法的無界多連通區(qū)域的數(shù)值保角變換計算法。圖4和圖5表示曲線C1的誤差曲線，其中圖4是EA1的兩種誤差曲線圖。由圖4可知，當(dāng)電荷數(shù)量N<50時，兩種方法隨著電荷數(shù)的增加，誤差逐漸減小。但是當(dāng)電荷數(shù)N>50時，天野法隨著電荷數(shù)的增加而增加。當(dāng)電荷數(shù)N=180時，本文算法的EA1的誤差為2.898 7×10-6，而天野法的EA1的誤差為7.822 4×10-4。圖5是EΘ1的誤差圖，根據(jù)圖5可知，兩種方法都隨電荷數(shù)量的增加而減小，但是在電荷數(shù)N=180時，本文算法的EΘ1的誤差為8.563 7×10-11，而天野法的EΘ1的誤差為8.293 9×10-6。

圖4 EA1的誤差曲線

圖5 EΘ1的誤差曲線

圖6與圖7為C2的誤差曲線。圖6中，當(dāng)N>40時，本文算法EA2隨著電荷增加，誤差逐漸減小，但天野法EA2隨著電荷增加而增加。當(dāng)N=180時，本文算法的EA2和EΘ2的誤差分別為1.676 7×10-7、4.534 5×10-10，但是天野法的EA2與EΘ2的誤差為8.597 7×10-4、1.015 9×10-6。

圖6 EA2的誤差曲線

圖7 EΘ2的誤差曲線

圖8和圖9是C3的誤差圖。如圖所示，本文算法的誤差曲線在天野法方法的下方。綜上可以說明本文所提出算法的有效性。

圖8 EA3的誤差曲線

圖9 EΘ3的誤差曲線

以C1、C2、C3的外部區(qū)域網(wǎng)格再次驗證本文所提出的算法的有效性。圖10中圓形表示約束點，“+”號表示模擬電荷點。圖11為圓形邊界及外部區(qū)域網(wǎng)格數(shù)值保角變換的圖形。從圖11可以看出，將邊界圓變成了徑向狹縫，外界區(qū)域的網(wǎng)格還是變?yōu)橥饨鐓^(qū)域的網(wǎng)格，證明了基于Hybrid迭代法的無界多連通區(qū)域數(shù)值保角變換計算法的有效性。

圖10 圓形邊界及外部區(qū)域網(wǎng)格

圖11 圓形邊界及外部區(qū)域網(wǎng)格的保角變換

由表1可以看出，本文算法的運行時間更短，說明了本文算法更加有效。

表1 運行時間的對比

5 結(jié)束語

本文提出了基于Hybrid迭代法的無界多連通區(qū)域的數(shù)值保角變換計算法，并且通過數(shù)值實驗驗證了所提出的算法的有效性?；贖ybrid迭代法的無界多連通區(qū)域的數(shù)值保角變換精度高于天野法。本文采用多連通的網(wǎng)格區(qū)域模擬了保角變換的計算結(jié)果，進(jìn)一步驗證了算法有效性。本文所提出的算法同樣可以解決單連通區(qū)域及雙連通區(qū)域的數(shù)值保角變換問題，還可以解決流體力學(xué)中的渦流計算問題，具有較好的應(yīng)用前景。