探索小學(xué)數(shù)學(xué)植樹問題中的建模

賀莉麗

興趣是最好的老師，是學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題的原動力，也是發(fā)明創(chuàng)造的精神源泉。小學(xué)生正處在知識形成的初級階段，也是智能培養(yǎng)的重要時(shí)期，構(gòu)建完整的知識體系，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，使學(xué)生形成探究能力，能夠?yàn)槲磥韺W(xué)習(xí)奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)。

一、對建模的認(rèn)識

數(shù)學(xué)建模就是利用數(shù)學(xué)模型來解決問題，而它的關(guān)鍵是提煉數(shù)學(xué)模型。所謂提煉數(shù)學(xué)模型，就是運(yùn)用科學(xué)抽象法，把復(fù)雜的研究對象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，經(jīng)合理簡化后，建立起揭示研究對象定量的規(guī)律性的數(shù)學(xué)關(guān)系式，提煉數(shù)學(xué)模型，一般分為以下六個(gè)步驟：第一步，根據(jù)研究對象的特點(diǎn)，確定研究對象屬哪類自然事物或自然現(xiàn)象，從而確定使用何種數(shù)學(xué)方法與建立何種數(shù)學(xué)模型。第二步，確定幾個(gè)基本量和基本的科學(xué)概念，用以反映研究對象的狀態(tài)。這需要根據(jù)已有的科學(xué)理論或假說及實(shí)驗(yàn)信息資料的分析確定。第三步，抓住主要矛盾進(jìn)行科學(xué)抽象。第四步，對簡化后的基本量進(jìn)行標(biāo)定，給出它們的科學(xué)內(nèi)涵。第五步，按數(shù)學(xué)模型求出結(jié)果。第六步，驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型。

二、怎么建模

模，俗稱模子，是用來制作其他器物的工具。現(xiàn)代化工廠制造工業(yè)零件也會用到制作好的模子。什么是數(shù)學(xué)模型呢？就是在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中把一些實(shí)際問題的解決抽象為數(shù)學(xué)符號來表示的數(shù)學(xué)問題，即稱為數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)語言和方法，通過抽象和簡化建立能直接解決問題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)思維。那么在小學(xué)數(shù)學(xué)中教師要不要幫助學(xué)生逐步建立數(shù)學(xué)模型，讓數(shù)學(xué)模式化、統(tǒng)一化呢？

當(dāng)然要，而且非常必要。人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊第八單元“數(shù)學(xué)廣角”中的植樹問題，在教材上呈現(xiàn)了兩類問題，即在非封閉圖形上植樹和在封閉圖形上植樹兩大類植樹問題。這類問題對于小學(xué)生而言，情況較為復(fù)雜，既抽象又多樣，難點(diǎn)較為分散，知識點(diǎn)里面還隱含了重復(fù)的數(shù)學(xué)問題。學(xué)生探究后發(fā)現(xiàn)，在非封閉圖形上植樹又分為三種情況：（1）兩端都栽的情況，棵數(shù)比間隔數(shù)多1;（2）一端栽一端不栽的情況，棵樹等于間隔數(shù);（3）兩端都不栽的情況，棵樹比間隔數(shù)少1。在課堂上學(xué)生積極發(fā)言，參與討論，利用畫線段圖、數(shù)手指、畫圖等方法，發(fā)現(xiàn)了棵數(shù)與間隔數(shù)之間的關(guān)系，以及總線路長和株距的常量因素的影響，熟悉后能準(zhǔn)確計(jì)算出所植棵數(shù)?？吹綄W(xué)生都學(xué)會了解決這一問題，我趕緊追問，讓學(xué)生思考，在“植樹問題”中一定要是“樹”嗎？除了“樹”還能換成別的“物”嗎？同時(shí)拓展練習(xí)了諸如裝路燈問題、計(jì)算公交車站的問題等，重復(fù)練習(xí)了幾個(gè)問題后，學(xué)生覺得，“嗯，這下終于了然于心”?？蛇^了幾天，在做練習(xí)的過程中，又出現(xiàn)鋸木頭、敲鐘、排隊(duì)子、上樓梯、繩子打結(jié)、擺花盆等問題時(shí)，學(xué)生竟然茫然了，生活中的“植樹問題”還有哪些呢？

三、探究與發(fā)現(xiàn)

“學(xué)貴有疑，小疑則小進(jìn)，大疑則大進(jìn)”。我又上了第二堂“植樹問題”，帶領(lǐng)學(xué)生探究這些生活中的實(shí)際問題，有利于知識的螺旋上升，進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

1.同學(xué)們在全長100米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端都栽），一共要栽多少棵樹？

2.早操時(shí)同學(xué)們站隊(duì)，每隔兩米排一人，一豎排有22人。這排隊(duì)伍有多少米？

3.在一條全長2千米的街道一旁安裝路燈（兩端要安裝），每隔50米安一盞，一共要安裝多少盞路燈？

4.一根木頭長10米，要把它平均分成5段，每鋸下一段需要8分鐘，鋸?fù)暌还残枰嗌俜昼姡?/p>

學(xué)生積極討論，合作探究解決，勇敢地說出自己的想法，第1題講道，總線路長÷株距=間隔數(shù)，間隔數(shù)+1=棵樹，所以100÷5=20，20+1=21（棵）。接著第2、3題也迎刃而解：22-1=21，21×2=44（米）;2000÷50=40，40+1=41（盞）。第4題孩子們恍然大悟，其中的關(guān)鍵因素段數(shù)也就是植樹問題中的間隔數(shù)，屬于第三種兩端都不栽的情況，鋸的次數(shù)也就相當(dāng)于棵樹，只要掌握植樹問題中的一一對應(yīng)關(guān)系，用植樹問題中的解決辦法就可以解決了，5-1=4（次），4×8=32（分鐘）。我夸了同學(xué)們真厲害，學(xué)會了知識整合再利用，發(fā)現(xiàn)了其中的不變因素，分析問題后靈活運(yùn)用，科學(xué)地抽象和簡化問題，從而形成嚴(yán)密而有形的數(shù)學(xué)思維，去解決問題。

接著我又拋出了敲鐘的問題如下：

①一個(gè)大鐘3時(shí)敲3下，4秒鐘敲完，11時(shí)敲11下，幾秒敲完？（最好再告訴我敲鐘屬于哪種植樹問題）

先求出敲3下的間隔數(shù)：3-1=2（個(gè)）

再求出每個(gè)間隔的時(shí)長：4÷2=2（秒）

然后再求敲11下的間隔數(shù)：11-1=10（個(gè)）

最后求出總時(shí)長：2×10=20（秒）

②小喬家住6樓，他從1樓走到3樓用了40秒，照這樣計(jì)算，他從1樓走到家一共需要多少時(shí)間？

③水上樂園圓形游泳池周長是300米，每隔6米有一頂太陽傘，你知道池邊一共有多少太陽傘嗎？

學(xué)生走在探究知識的路上，情緒激昂，學(xué)習(xí)熱情高漲。通過知識的深化鞏固，知識在孩子們心中建立了模型，簡化了思維過程，真正變成孩子們解決問題強(qiáng)有力的武器。