利用波動(dòng)圖進(jìn)行駐波的位相和能量特征分析

吳波英，王軍延*，付伯橋，彭曉星，陳 杰

(1.湖北工程學(xué)院 物理與電子信息工程學(xué)院，湖北 孝感 432000；2.湖北工程學(xué)院 化學(xué)與材料科學(xué)學(xué)院，湖北 孝感 432000；3.湖北工程學(xué)院 新技術(shù)學(xué)院，湖北 孝感 432000；4.湖北汽車工業(yè)學(xué)院 理學(xué)院，湖北 十堰 442002)

波動(dòng)圖是將某一時(shí)刻各點(diǎn)的振動(dòng)情況定格在一張圖形中，因此有人形象地將它稱之為波的“照片”。利用波動(dòng)圖，我們可以直接判斷質(zhì)元的振動(dòng)情況，也可以判斷波傳播引起質(zhì)元的相對(duì)形變量的大小，這對(duì)于分析波的位相和能量特征十分方便，也同樣適用駐波的情形。在教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生從駐波波動(dòng)圖分析波的位相和能量特征可能并不困難，最大的困難在于學(xué)生是否能自己繪制駐波波動(dòng)圖。

由于波的疊加實(shí)質(zhì)是振動(dòng)的疊加，因此教材一般采用在同一幅圖上同時(shí)繪制相向傳播的兩列相干波的波動(dòng)圖，然后將兩波在同一點(diǎn)的振動(dòng)位移相加得到駐波的波動(dòng)圖[1]。楊慶怡等[2]提出一種利用振動(dòng)旋轉(zhuǎn)矢量和波動(dòng)旋轉(zhuǎn)矢量來描繪駐波波形的方法。該方法首先利用振動(dòng)旋轉(zhuǎn)矢量At確定駐波在時(shí)刻t的波腹，然后以波腹為長(zhǎng)度的波動(dòng)旋轉(zhuǎn)矢量Ax作出這一時(shí)刻駐波的波形。王明美等[3]用“幾何畫板”繪制駐波的波動(dòng)圖。其中第一種方法[1]常用的教學(xué)方法，但是學(xué)生繪制一個(gè)行波波動(dòng)圖尚且困難，在一張圖上同時(shí)繪制兩個(gè)(相向傳播)的行波波動(dòng)圖就更不容易了；第二種方法[2]確實(shí)具有一定的操作性，然而，學(xué)生理解這種方法也許有一定的困難，因此他們并不能熟練掌握這種方法；第三種方法[3]需要學(xué)生掌握幾何畫板軟件，課堂教學(xué)中這顯然不太現(xiàn)實(shí)。本文采用駐波表達(dá)式的振幅因子與簡(jiǎn)諧振動(dòng)因子相乘的方法畫出不同時(shí)刻的駐波波動(dòng)圖，筆者在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生很容易掌握這種方法，并對(duì)他們理解駐波的位相和能量特征也有一定的幫助。

1 駐波表達(dá)式

在教材中，有兩相干波分別沿x軸的正、負(fù)方向傳播，假設(shè)兩波在原點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式相同，即：

y0=Acosωt

(1)

則沿x軸的正負(fù)方向傳播的兩相干波為

(2)

式(2)說明任意點(diǎn)處存在兩個(gè)振動(dòng)，由振動(dòng)的疊加原理，任一點(diǎn)處的振動(dòng)為

(3)

2 繪制駐波在不同時(shí)刻的波動(dòng)圖

駐波表達(dá)式(3)可視為振幅因子與簡(jiǎn)諧振動(dòng)因子兩項(xiàng)之積，而t時(shí)刻的簡(jiǎn)諧振動(dòng)因子對(duì)所有質(zhì)點(diǎn)都相同，是0和1之間的一個(gè)“數(shù)字”，因此可以先畫出振幅因子的圖像，即振幅與坐標(biāo)的關(guān)系，再與這個(gè)“數(shù)字”相乘得到某時(shí)刻t時(shí)各點(diǎn)的振動(dòng)位移，即駐波某時(shí)刻t的波動(dòng)圖。

振幅與坐標(biāo)的關(guān)系如圖1中(i)所示。由于假設(shè)兩波在原點(diǎn)的振動(dòng)方程相同，因此原點(diǎn)就是干涉加強(qiáng)的點(diǎn)，即原點(diǎn)處為波腹。從圖1中(i)可以清楚地判斷出波腹(點(diǎn)O和與B、C兩點(diǎn)的中點(diǎn))與波節(jié)的位置(點(diǎn)A、B、C)。值得注意的是，這里曲線的起伏說明各點(diǎn)的振幅有大有小，但與行波波動(dòng)圖曲線起伏的意義不一樣。行波中各點(diǎn)作同頻率同振幅的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，行波波動(dòng)圖曲線的起伏表明同一時(shí)刻各點(diǎn)的振動(dòng)位相或振動(dòng)位移不同。

1)令t=0，第二項(xiàng)正好等于1，兩項(xiàng)相乘的結(jié)果還是等于第一項(xiàng)，因此該時(shí)刻的波動(dòng)圖如圖1中(ii)所示，這與圖1中(i)完全相同。說明該時(shí)刻各點(diǎn)都處于各自的振幅處，即各點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)到各自正或負(fù)的最大位移處。由于各點(diǎn)作同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，由振動(dòng)的知識(shí)可知，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最大位移處時(shí)，下一刻將向平衡位置運(yùn)動(dòng)，因此下一時(shí)刻各點(diǎn)均向各自的平衡位置運(yùn)動(dòng)。

3)令t=T/4，第二項(xiàng)等于0，與第一項(xiàng)相乘的結(jié)果是該時(shí)刻各點(diǎn)的振動(dòng)位移均為0，說明各點(diǎn)同一時(shí)刻均運(yùn)動(dòng)到各自的平衡位置，此時(shí)的波動(dòng)圖是一條位于x軸的直線，如圖1中(iv)所示。由于各點(diǎn)做作同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，由振動(dòng)的知識(shí)可知，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度最大，由于慣性下一刻各點(diǎn)將繼續(xù)按原運(yùn)動(dòng)方向運(yùn)動(dòng)。因此，可以預(yù)測(cè)下一時(shí)刻的波動(dòng)圖可能的形式。

然后令t=3T/8，t=T/2，t=5T/8，t=6T/8，t=7T/8，采用同樣的方法，可以分別畫出對(duì)應(yīng)時(shí)刻的波動(dòng)圖。當(dāng)t=T時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)完成一次全振動(dòng)，都回到t=0的位置，因此與t=0的波動(dòng)圖完全相同。

(i) 振幅與位置坐標(biāo)的關(guān)系 (ii) t=0時(shí)刻 (iii) t=T/8時(shí)刻 (iv) t=T/4時(shí)刻 (v) t=3T/8時(shí)刻 (vi)t=T/2時(shí)刻 圖1 駐波在不同時(shí)刻的波動(dòng)圖

從圖1可以看出，駐波的波形曲線是一些高矮不同的余弦曲線，即不同時(shí)刻的波形并不相同。然而，我們?cè)谝桓鶅啥斯潭ǖ?、張緊的弦線上觀察到的駐波是波形不隨時(shí)間變化的波動(dòng)[4]，這是由于視覺暫留才給人產(chǎn)生的錯(cuò)覺，因此稱為“駐波”。

3 駐波的位相特征分析

由上面的分析可知，駐波中各點(diǎn)作振動(dòng)范圍不同的同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)，只有波節(jié)是始終靜止的點(diǎn)，可以看到這些始終靜止的點(diǎn)將駐波分成了一段一段的，因此駐波可視為分段振動(dòng)。相鄰波節(jié)A、B之間各點(diǎn)在t=0時(shí)刻同時(shí)到達(dá)各自正的最大位移處，而在t=T/4時(shí)刻同時(shí)到達(dá)各自的平衡位置，因此這些點(diǎn)的振動(dòng)是同步的，即振動(dòng)同相。

波節(jié)B兩側(cè)的A-B與B-C之間各點(diǎn)，在t=0時(shí)刻分別達(dá)到它們各自正、負(fù)的最大位移處；在t=T/4時(shí)刻它們同時(shí)到達(dá)各自的平衡位置，但是A-B之間各點(diǎn)向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，而B-C之間各點(diǎn)向正方向運(yùn)動(dòng)，因此可以判斷波節(jié)B兩側(cè)的這些點(diǎn)的振動(dòng)反相。

從駐波表達(dá)式(3)也可以得到該結(jié)論。駐波表達(dá)式的振幅因子是有正有負(fù)的，如從圖1中(i)所示，可以看出波節(jié)兩側(cè)各點(diǎn)的振幅異號(hào)，因此波節(jié)兩側(cè)各點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式實(shí)際上相差一個(gè)負(fù)號(hào)，這個(gè)“負(fù)號(hào)”即表明波節(jié)兩側(cè)各點(diǎn)振動(dòng)反相。而相鄰波節(jié)之間各點(diǎn)的振幅同號(hào)，即表明相鄰波節(jié)之間各點(diǎn)振動(dòng)同相。

4 駐波的能量特征分析

波的能量包含兩部分：一部分是各質(zhì)元由于振動(dòng)而具有的振動(dòng)動(dòng)能，振動(dòng)動(dòng)能與速度的平方成正比。由于各點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)速度與振動(dòng)位移有關(guān)，如振動(dòng)位移為0時(shí)，振動(dòng)速度是最大的，其振動(dòng)動(dòng)能必然最大；如振動(dòng)位移為±A時(shí)，振動(dòng)速度為0，其振動(dòng)動(dòng)能必然為0。波動(dòng)圖記錄了同一時(shí)刻各質(zhì)元的振動(dòng)位移，因此通過它可以直觀地看出各質(zhì)元的振動(dòng)動(dòng)能大小。

駐波雖然不是(行)波，但由于它也包含所有質(zhì)元的振動(dòng)，因此各質(zhì)元必然有振動(dòng)動(dòng)能；由于它的波動(dòng)圖和行波一樣也是余弦或正弦曲線，因此也會(huì)引起介質(zhì)的彈性形變，因此各質(zhì)元也必然有形變勢(shì)能。

首先分析波腹和波節(jié)處的能量特征。從不同時(shí)刻的波動(dòng)圖可以看到波腹始終處于余弦曲線的極值處，即切線斜率始終為0，因此波腹處的形變勢(shì)能時(shí)時(shí)為0；由于波腹處作振動(dòng)范圍最大的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，因此在波腹處總是具有振動(dòng)動(dòng)能，并且比非波腹處的質(zhì)元同時(shí)刻的振動(dòng)動(dòng)能大。而波節(jié)是始終靜止的點(diǎn)，因此波節(jié)處的振動(dòng)動(dòng)能時(shí)時(shí)為0；除了波動(dòng)圖為直線時(shí)(如圖1中(iv)所示)，其他時(shí)候總處于余弦曲線斜率最大的位置，因此波節(jié)總具有形變勢(shì)能，并且比非波節(jié)處同時(shí)刻的形變勢(shì)能大。其余各質(zhì)元均既有振動(dòng)動(dòng)能又有形變勢(shì)能。

另外，波動(dòng)圖為直線時(shí)(如圖1中(iv)所示)，此時(shí)各處的相對(duì)形變量均為0，說明此時(shí)各處的形變勢(shì)能均為0；但此時(shí)由于各質(zhì)點(diǎn)均處于平衡位置，各質(zhì)點(diǎn)除波節(jié)外均具有振動(dòng)動(dòng)能，即此時(shí)能量以動(dòng)能形式存在。質(zhì)點(diǎn)處于平衡位置時(shí)速度為ωA，駐波中各點(diǎn)的角頻率均為ω，而波腹處的振幅最大，因此其振動(dòng)速度最大，振動(dòng)動(dòng)能必然最大。此時(shí)能量(動(dòng)能)主要集結(jié)在波腹處。在t=0 (如圖1中(ii)所示)和t=T/2 (如圖1中(vi)所示)時(shí)各質(zhì)點(diǎn)均到達(dá)各自的最大位移處，此時(shí)各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能均為0，但此時(shí)由于除波腹外各處都存在彈性形變，因此各處存在形變勢(shì)能，其中波節(jié)處的相對(duì)形變量最大，因此波節(jié)處的形變勢(shì)能最大，即此時(shí)能量以勢(shì)能形式存在，并主要集結(jié)在波節(jié)處。

從上面的分析可以看出波腹處的形變勢(shì)能總為0，其動(dòng)能隨運(yùn)動(dòng)不斷變化；波節(jié)處的動(dòng)能總為0，其形變勢(shì)能隨運(yùn)動(dòng)不斷變化。并且當(dāng)波腹動(dòng)能最大時(shí)，波節(jié)處形變勢(shì)能為0；波腹動(dòng)能為0時(shí)，波節(jié)處形變勢(shì)能最大。

文獻(xiàn)[5]通過兩相向傳播的波的能流密度相減得到駐波的能量密度，發(fā)現(xiàn)波節(jié)、波腹位置上的能流密度無論什么時(shí)刻均為0，但除波節(jié)、波腹外，其他各質(zhì)元的能流密度可以不為0，說明能量在波節(jié)、波腹之間的各質(zhì)元上流動(dòng)。換言之，由于存在波節(jié)(始終靜止的點(diǎn))，因此駐波的波形曲線并未像行波那樣移動(dòng)，因此能量也并未像行波那樣定向傳播，能量只是在波腹和波節(jié)處往返集結(jié)。

5 結(jié)語

1)駐波表達(dá)式(3)中的簡(jiǎn)諧振動(dòng)因子是0-1之間的一個(gè)“數(shù)字”，因此先畫出振幅因子的圖像，再與這個(gè)“數(shù)字”相乘，就可以很容易地畫出不同時(shí)刻的駐波波動(dòng)圖。

2)駐波的位相特征：相鄰波節(jié)之間各點(diǎn)振動(dòng)同相，而波節(jié)兩側(cè)的各點(diǎn)振動(dòng)反相。

3)駐波的能量特征：當(dāng)波動(dòng)圖為直線時(shí)，此時(shí)各質(zhì)元除波節(jié)外只有動(dòng)能，形變勢(shì)能均為0，并且波腹處的動(dòng)能最大；在t=0和t=T/2時(shí)刻，各質(zhì)元除波腹外只有形變勢(shì)能，動(dòng)能均為0，并且波節(jié)處的形變勢(shì)能最大。其他時(shí)刻除波腹和波節(jié)外的各質(zhì)元既具有動(dòng)能也具有勢(shì)能，動(dòng)能和勢(shì)能隨著運(yùn)動(dòng)不斷變化。駐波的能量沒有向外傳播，但在波腹和波節(jié)之間各點(diǎn)流動(dòng)。