勾股模糊近似空間的層次結(jié)構(gòu)刻畫

宋晶晶, 竇慧莉

(1.江蘇科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)學(xué)院, 鎮(zhèn)江 212100) (2.數(shù)據(jù)科學(xué)與智能應(yīng)用福建省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 漳州363000)

信息粒是粒計(jì)算的基本單元,是一族等價(jià)關(guān)系、相似關(guān)系、鄰域關(guān)系、模糊關(guān)系等組成的對(duì)象的集合.文獻(xiàn)[1]指出很多領(lǐng)域都存在信息粒,只是表現(xiàn)形式不同. 粒計(jì)算包含信息粒、信息?；g的關(guān)系以及信息?；牟淮_定性度量,可以看作是結(jié)構(gòu)化問題求解和信息處理的新范式[2]. 信息?；沟谜撚蛑袑?duì)象被分成一族不相交或者相互覆蓋的信息粒. 粒計(jì)算就是找到一些合適的信息粒用來有效近似一個(gè)復(fù)雜概念，其在智能信息處理過程中有著重要作用.目前，粒計(jì)算已經(jīng)快速發(fā)展,成為眾多學(xué)者研究的熱點(diǎn)[3-7].

粒計(jì)算理論包含粗糙集、模糊集和商空間等理論,文獻(xiàn)[8]提出了模糊集的概念,對(duì)模糊現(xiàn)象的描述奠定了基礎(chǔ). 文獻(xiàn)[9]基于模糊集提出了直覺模糊集,用隸屬度、非隸屬度描述決策問題中廣泛存在的肯定度和否定度，其在處理不確定性問題時(shí)能夠更加準(zhǔn)確地表達(dá)模糊信息.在直覺模糊集中,決策者給出的某一對(duì)象x∈A的隸屬度與非隸屬度之和須滿足小于等于1的條件. 近年來,基于直覺模糊集,文獻(xiàn)[10-11]進(jìn)一步提出了勾股模糊集,在勾股模糊集中,隸屬度與非隸屬度的平方和須滿足小于等于1的條件. 當(dāng)某決策者表達(dá)某一備選項(xiàng)滿足某一標(biāo)準(zhǔn)的程度時(shí),可能認(rèn)為隸屬度為0.866,非隸屬度為0.5,此時(shí)隸屬度與非隸屬度之和大于1,不滿足直覺模糊集的條件,但是它們的平方和小于1,所以0.866和0.5可以作為勾股模糊集中的隸屬度與非隸屬度來描述實(shí)際決策問題[4]. 相比于直覺模糊集,勾股模糊集可以表達(dá)更豐富的決策信息,在處理不確定性問題時(shí)顯得更加有效. 已有學(xué)者對(duì)勾股模糊集進(jìn)行了研究,文獻(xiàn)[12]將勾股模糊集與粗糙集結(jié)合,提出了勾股模糊粗糙集,并討論了勾股模糊粗糙集的若干性質(zhì);文獻(xiàn)[13]指出了3種勾股模糊數(shù)的排序方法的不足,提出了從特征參數(shù)完全刻畫勾股模糊數(shù)的排序的方法;文獻(xiàn)[14]以區(qū)間模糊偏好關(guān)系和直覺模糊偏好關(guān)系為依據(jù),將勾股模糊數(shù)引入了偏好關(guān)系,定義了勾股模糊偏好關(guān)系.上述研究對(duì)勾股模糊集的發(fā)展起到了推動(dòng)作用[15-19].

信息?；橇Ｓ?jì)算理論中的基本問題,可以看作是信息粒的構(gòu)建和分解.信息?；?接著分析不同信息粒化之間的關(guān)系,合適的信息?；倪x擇是問題求解的預(yù)處理階段.從多層次的角度,可以看出層次結(jié)構(gòu)反映了信息?；拇旨?xì)關(guān)系.層次結(jié)構(gòu)是多個(gè)(偏)序關(guān)系的多個(gè)層次,每一層代表一個(gè)粒度下的抽象表示,不同抽象層次是對(duì)理解現(xiàn)實(shí)世界問題的不同抽象水平[7].通過有效使用粒度的層次,粒計(jì)算可以系統(tǒng)、自然地分析、理解、表示和解決現(xiàn)實(shí)世界問題.

文中研究勾股模糊集的信息?；?以及信息?；g的層次結(jié)構(gòu),以此來表示勾股模糊信息粒化之間的粗細(xì)關(guān)系.首先給出了勾股模糊信息?；谋磉_(dá)形式,然后提出了3種序關(guān)系來刻畫勾股模糊信息粒化之間的層次結(jié)構(gòu),并結(jié)合實(shí)例,說明新提出的3種序關(guān)系在刻畫勾股模糊信息?；膶哟谓Y(jié)構(gòu)的應(yīng)用.

1 背景知識(shí)

1.1 模糊集

式中：pij∈[0,1](1≤i,j≤n)為對(duì)象xi與對(duì)象xj之間的相似度,?xi,xj∈U.

(1)

(2)

可以看出,序關(guān)系≤1是序關(guān)系≤2的特例,而序關(guān)系≤2又是序關(guān)系≤3的特例.作為模糊集的泛化,文獻(xiàn)[9]提出的直覺模糊集利用隸屬度和非隸屬度,可以提供對(duì)客觀世界更為準(zhǔn)確的描述.

1.2 直覺模糊集

1.3 勾股模糊集

與直覺模糊集類似,文獻(xiàn)[10]中定義了勾股模糊集.

根據(jù)定義4,可以看出直覺模糊集是勾股模糊集的特例.勾股模糊集表達(dá)的信息更廣泛,更能描述客觀世界.

(1)A的補(bǔ)集為{νA(xi),μA (xi)}xi ; (2)A=B?μA(xi)=μB(xi)∧νA(xi)=νB(xi); (3)A?B?μA (xi)≤μB (xi)∧νA (xi)≥νB (xi); (4)A?B?A?B∧A≠B; (5)A∩B=min{μA (xi),μB (xi)},max{νA (xi),νB (xi)}xi ;(6)A∪B=max{μA (xi),μB (xi)},min{νA (xi),νB (xi)}xi .

2 勾股模糊近似空間的層次結(jié)構(gòu)

2.1 勾股模糊信息?；?/h3>

定義6令U={x1,x2,…,xn}是一個(gè)論域,論域U上勾股模糊關(guān)系R的勾股模糊關(guān)系矩陣為:

MR=

式中:μR(xi,xj)∈[0, 1]為對(duì)象xi與對(duì)象xj的相似度；νR(xi,xj)∈[0, 1]為對(duì)象xi與對(duì)象xj的非相似度,且μR(xi,xj)2+νR(xi,xj)2≤1.

假定文中論域上的勾股模糊二元關(guān)系都是自反的,即勾股模糊關(guān)系MR中有μR(xi,xi)=1,νR(xi,xi)=0.論域U中所有的勾股模糊關(guān)系的集合表示為PFAS=(U, Ω),稱為論域U上的勾股模糊近似空間,Ω為論域U上的勾股模糊關(guān)系的集合.

定義7勾股模糊近似空間PFAS=(U,Ω)中的勾股模糊信息?；x:

K(R)=(SR(x1),SR(x2)…,SR(xn))

論域U上的所有勾股模糊信息?；臻g的集合表示為K(U,Ω),可以看出勾股模糊信息?；臻g和勾股模糊近似空間(U,Ω)存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,文中不再區(qū)分勾股模糊信息?；臻g和勾股模糊近似空間.

經(jīng)典集合、模糊集、直覺模糊集、勾股模糊集的基數(shù)在信息?；推洳淮_定性度量中非常重要，介紹勾股模糊集的基數(shù)以及勾股模糊信息粒化之間的操作算子交、并和補(bǔ).

對(duì)應(yīng)的勾股模糊信息粒化的隸屬度基數(shù)、非隸屬度基數(shù)和猶豫基數(shù)可以定義為:

定義10令K(P)=(SP(x1),SP(x2),…,SP(xn))∈K(U,Ω),K(Q)={SQ(x1),SQ(x2),…,SQ(xn)}∈K(U,Ω),其中

勾股模糊信息?；疜(P)和K(Q)之間的操作算子交、并和勾股模糊信息?；疜(P)的補(bǔ)定義為:

K(P)∩K(Q)=

{SP∩Q(xi)|SP∩Q(xi)=SP(xi)∩SQ(xi),1≤i≤n},

K(P)∪K(Q)=

{SP∪Q(xi)|SP∪Q(xi)=SP(xi)∪SQ(xi),1≤i≤n},

SP(xi)∩SQ(xi)=

SP(xi)∪SQ(xi)=

推論2令K(P),K(Q),K(R)∈K(U,Ω),勾股模糊集的交并補(bǔ)算子滿足以下定律:

(1) 交換律:K(P)∩K(Q)=K(Q)∩K(P),

K(P)∪K(Q)=K(Q)∪K(P).

(2) 結(jié)合律:

K(P)∩(K(Q)∪K(R))=(K(P)∩K(Q))∪(K(P)∩K(R)),

K(P)∪(K(Q)∩K(R))=(K(P)∪K(Q))∩(K(P)∪K(R)).

(3) 吸收律:

K(P)∩(K(P)∪K(Q))=K(P)∪(K(P)∩K(Q))=K(P).

(4) 德摩根律:

2.2 勾股模糊近似空間的層次結(jié)構(gòu)

文中提出3種序關(guān)系來刻畫勾股模糊近似空間的層次結(jié)構(gòu),用來比較勾股模糊信息?；拇旨?xì)關(guān)系.

定義11令K(P)=(SP(x1),SP(x2),…,SP(xn))∈K(U,Ω),K(Q)={SQ(x1),SQ(x2),…,SQ(xn)}∈K(U,Ω),其中,

(1)P1Q?K(P)1K(Q)?SP(xi)?SQ(xi)?

P=Q?K(P)=K(Q)?SP(xi)=SQ(xi)?

P1Q?K(P)1K(Q)?

K(P)1K(Q)∧K(P)≠K(Q).

(2)P2Q?K(P)2K(Q)?

|SP(xi)|+≤|SQ(xi)|+∧|SP(xi)|-≥SQ(xi)|-?

Pi+≤Qi+∧Pi-≥Qi-,1≤i,j≤n;

P≈2Q?K(P)≈2K(Q)?

|SP(xi)|+=|SQ(xi)|+∧|SP(xi)|-=SQ(xi)|-?

Pi+=Qi+∧Pi-=Qi-,1≤i≤n;

P2Q?K(P)2K(Q)?

K(P)2K(Q)∧K(P)≈2K(Q).

(3)P3Q?K(P)3K(Q)?

|K(P)|+≤|K(Q)|+∧|K(P)|-≥|K(Q)|-?

P≈3Q?K(P)≈3K(Q)?

|K(P)|+=|K(Q)|+∧|K(P)|-=|K(Q)|-；

P3Q?K(P)3K(Q)?

K(P)3K(Q)∧K(P)≈3K(Q).

推論3令K(P),K(Q),K(R)∈K(U,Ω),則：

(1)K(P)iK(Q)?K(Q)CiK(P)C(i=1,2,3)；

(2)K(P)∩K(Q)iK(P) (i=1,2,3)，

K(P)∩K(Q)iK(Q) (i=1,2,3)；

(3)K(P)iK(P)∪K(Q) (i=1,2,3)，

K(Q)iK(P)∪K(Q) (i=1,2,3).

推論4序關(guān)系i是序關(guān)系i+1(i=1,2)的特例.

第一個(gè)序關(guān)系定義在兩個(gè)勾股模糊信息粒之間的勾股包含關(guān)系中,第二、第三種序關(guān)系定義在勾股模糊信息粒和勾股模糊信息粒化的基數(shù)上.可以看出1是一個(gè)偏序關(guān)系,2和3分別是(U,Ω)和K(U,Ω)上的預(yù)序關(guān)系,因?yàn)樗鼈儾粷M足反對(duì)稱.另外,以下關(guān)系成立:1?2?3.

文中通過一個(gè)實(shí)例來說明提出的3種序關(guān)系在勾股模糊近似空間中的應(yīng)用.

例1令U={x1,x2,x3,x4},論域U上的勾股模糊二元關(guān)系Ri由如下的矩陣表示:

比較勾股模糊信息粒R1和勾股模糊信息粒R3，勾股模糊二元關(guān)系R1中,有|SR1(x1)|+=2.4,|SR1(x2)|+=2.5,|SR1(x3)|+=2.2,|SR1(x4)|+=2.3,|SR1(x1)|-=2.3, |SR1(x2)|-=2.1, |SR1(x3)|-=2.3, |SR1(x4)|-=2.3；在勾股模糊二元關(guān)系R3中,有|SR3(x1)|+=2.4,|SR3(x2)|+=2.6, |SR3(x3)|+=2.6, |SR3(x4)|+=2.4, |SR3(x1)|-=2.2,|SR3(x2)|-=2.0,|SR3(x3)|-=2.1,|SR3(x4)|-=2.3.

可以看出, ?x∈U,|SR1(x)|+≤|SR3(x)|+且|SR1(x)|-≥|SR3(x)|-,故有K(R1)2K(R3),說明勾股模糊信息粒R1比勾股模糊信息粒R3要細(xì).

比較勾股模糊信息粒R1和勾股模糊信息粒R4，在勾股模糊二元關(guān)系R1中,有|K(R1)|+=9.4,|K(R1)|-=9.0；在勾股模糊二元關(guān)系R4中,有|K(R4)|+=9.0,|K(R4)|-=9.4.可得|K(R1)|+≥|K(R4)|+且|K(R1)|-≤|K(R4)|-,故有K(R4)3K(R1),說明勾股模糊信息粒R4比勾股模糊信息粒R1要細(xì).

2.3 勾股模糊近似空間的格結(jié)構(gòu)

文獻(xiàn)[21-22]從集合距離的角度,使用格結(jié)構(gòu)刻畫清晰近似空間的信息?；膶哟谓Y(jié)構(gòu).文獻(xiàn)[23]提出利用知識(shí)距離格來刻畫覆蓋近似空間的信息?；膶哟谓Y(jié)構(gòu).文中將討論勾股模糊近似空間在偏序關(guān)系?1上的格結(jié)構(gòu).

定義12令(L,≤)是一個(gè)偏序集,L上的兩個(gè)算子∧和∨:L2→L,存在以下關(guān)系:

(1) ?a,b∈L,a∧b=b∧a,a∨b=b∨a；

(2) ?a,b,c∈L, (a∧b)∧c=a∧(b∧c), (a∨b)∨c=a∨(b∨c);

(3)a∧b=b?b≤a,a∨b=b??a,b∈L,a≤b則稱(L,≤)是一個(gè)格;

(4) 如果(L,≤)是一個(gè)格,且?a,b,c∈L,a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c),a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c),則稱(L,≤)是一個(gè)分配格;

(5) 如果(L,≤)是一個(gè)格,且?a∈L,a-1∈L存在(a-1)-1=a且a≤b?b-1≤a-1則稱(L,≤)是一個(gè)有補(bǔ)格;如果存在0, 1∈L使得?a∈L, 0≤a≤1,則稱0和1分別是最小元素和最大元素.

結(jié)合定義11和12以及推論1,可以得出如下結(jié)論:

定理1定義在勾股模糊信息?；臻gK(U,Ω)上的操作算子∩,∪和C如定義11,則(K(U,Ω),1, ∩,∪,C)是一個(gè)有補(bǔ)分配格.

證明:根據(jù)定義10和定義11,明顯得證.

3 結(jié)論

粒計(jì)算理論把復(fù)雜的問題進(jìn)行抽象,轉(zhuǎn)化為簡單的問題,更利于對(duì)問題進(jìn)行分析和解決.勾股模糊集作為一種重要的粒計(jì)算模型,在處理問題時(shí)可以更客觀的描述現(xiàn)實(shí)世界.文中以勾股模糊集為主要研究對(duì)象,首先給出了勾股模糊信息粒和勾股模糊信息?；谋硎痉椒?其次給出了勾股模糊信息?；幕鶖?shù)表示,最后根據(jù)勾股模糊信息?；g的關(guān)系,用實(shí)例給出了3種序關(guān)系在勾股模糊近似空間中的應(yīng)用，并且給出了偏序關(guān)系?1上的格結(jié)構(gòu),對(duì)勾股模糊近似空間的層次結(jié)構(gòu)進(jìn)行了刻畫.

下一步工作將研究勾股模糊信息粒化不同層次上的約簡,以及對(duì)勾股模糊信息?；牟淮_定性程度進(jìn)行刻畫,進(jìn)一步豐富粒計(jì)算理論的研究.