靜水壓力下功能梯度圓柱殼振動響應研究

楊 萌，李 戎，梁 斌

(河南科技大學 土木工程學院,河南 洛陽 471023)

0 引言

由于殼周圍存在流體，圓柱殼在靜水壓力下的自由振動響應研究與在真空中相比，相對困難。文獻[1]認為當圓柱殼受到靜水壓力作用后，靜壓對殼體振動的影響不能忽略，可通過在其運動方程的理論微分算子上增加一些特定力來反映。文獻[2]在殼體振動方程中考慮靜水壓力作為預應力，分析了圓柱殼的結(jié)構(gòu)響應在流場中受到的影響，同時將其與空氣中的響應情況進行了比較。文獻[3]利用Flügge方程，分析了空氣中和流場中無限長圓柱殼的擴散特性。文獻[4]應用水下圓柱殼波動法以及Flügge殼體理論得到了自然頻率理論表達式，這是目前工程中估算水下圓柱殼固有頻率最為便利的方法。文獻[5]采用Flügge殼體運動方程和Helmholtz聲學方程，建立了靜水壓力作用下耦合系統(tǒng)頻散方程，利用muller三點迭代法對該超越方程進行求解，得到波的頻散曲線。文獻[6]在殼體方程中以預應力形式考慮靜水壓力的影響，研究其對流場中充液圓柱殼和非充液圓柱殼自由振動的影響。隨著科技進步，陸續(xù)有學者開始關(guān)注水下功能梯度材料(functionally graded material, FGM)圓柱殼的動力特性[7-10]，但相關(guān)文獻很少。

與均勻材料圓柱殼相比，F(xiàn)GM圓柱殼在物理、力學和幾何等分析方面要復雜得多。文獻[11]分析FGM圓柱殼相關(guān)性質(zhì)時，利用了現(xiàn)有的均勻材料圓柱殼理論進行研究，說明在理論分析時，兩種使用方法可以一致。文獻[12]在理論分析中，將功能梯度板復雜邊值問題中微分求解，直接轉(zhuǎn)化成相應的均勻材料系數(shù)計算問題。文獻[13]在對含裂紋FGM圓柱殼進行分析時，發(fā)現(xiàn)其與相應均勻材料圓柱殼的許多力學性質(zhì)和功能梯度體積分數(shù)冪指數(shù)有比例關(guān)系，且這種關(guān)系與裂紋大小無關(guān)，體積分數(shù)冪指數(shù)越大，比例關(guān)系越明顯。由上述相關(guān)文獻可以看出：功能梯度材料和均勻材料是能夠從數(shù)學和物理角度在理論上找到一定規(guī)律的關(guān)系，那么就可以利用均勻材料的成熟理論去解決功能梯度材料的實際問題。

從文獻[14-16]中的研究結(jié)論可以看出：功能梯度材料與相對應的均勻材料圓柱殼之間，在外界給定條件相同情況下，無論在空氣中還是在水下獲得的振動固有頻率存在必然聯(lián)系。文獻[17]也指出這種規(guī)律存在一定的必然性。綜合以上文獻，目前功能梯度材料研究需解決復雜的偏微分方程和復雜邊界條件，計算工作量大，效率低，不利于工程廣泛推廣應用。本文基于靜水壓力下FGM圓柱殼與均勻材料圓柱殼力學和數(shù)學模型之間相似關(guān)系，采用經(jīng)典殼體Flügge理論，利用成熟的波動法來求解靜水壓力下FGM圓柱殼自由振動固有頻率問題。其實質(zhì)是將功能梯度材料處理成均勻材料求解，可以避免一些復雜微分、積分以及迭代問題，使工程應用更加便捷，從理論上揭示功能梯度材料力學行為的規(guī)律性。

1 基本方程

圖1為FGM圓柱殼幾何模型，殼體內(nèi)外表面分別為陶瓷和金屬材料。圖1中：殼體長度為L，m；壁厚為h，m；中面半徑為R，m；內(nèi)、外半徑分別為Ri和Ro，m；材料密度為ρ，kg/m3；楊氏模量為E，N/m2；泊松比采用μ；流體密度設(shè)為ρf，kg/m3；聲傳播速度為CF，m/s，由理想流體組成靜止流場。選取基礎(chǔ)坐標系x(某一與母線正交的基準面到所考慮點水平距離),θ(某一基準母線到該點角度),r(某一基準母線到該點豎向距離)，并設(shè)圓柱殼中面相對應位移u(軸向方向),v(周向方向),w(徑向方向)。

圖1 FGM圓柱殼幾何模型

為使公式表達簡潔方便，用“′”和“*”分別表示對無量綱坐標x/R和θ的導數(shù)：

(1)

1.1 均勻化轉(zhuǎn)換計算理論的基本模型

功能梯度材料特性由組成材料的體積分數(shù)控制，是體積分數(shù)的函數(shù)。文獻[18]給出FGM圓柱殼體積分數(shù)表達式。FGM圓柱殼殼體一般由兩種性質(zhì)不同的材料混合而成，兩種材料參數(shù)設(shè)為彈性模量Eo、Ei，泊松比μo、μi和質(zhì)量密度ρo、ρi，則E、μ和ρ(FGM圓柱殼沿殼體厚度方向等效參數(shù))可表示為：

(2)

其中：p=0和p=∞時，F(xiàn)GM圓柱殼分別退化成均勻材料圓柱殼(物理力學參數(shù)分別為Eo、μo、ρo和Ei、μi、ρi)。文獻[19]指出：FGM圓柱殼組成的兩種材料，在泊松比μ相差不太大的情況下，可將μ取為相同值，以簡化計算。FGM圓柱殼力學參數(shù)：D=Eh/(1-μ2)(抗拉剛度)，K=Eh3/[12(1-μ2)]=Dh2/12(抗彎剛度)，φ1和φ2(無量綱系數(shù))，α=Eo/Ei-1。

(3)

對式(3)積分后得到：

φ1=1+α/(p+1)，φ2=1+3α(p2+p+2)/[(p+1)(p+2)(p+3)]，

(4)

當p=∞時，φ1=1；當p=0，φ1=φ2=Eo/Ei。

1.2 幾何物理方程

根據(jù)文獻[1]經(jīng)典的薄殼理論假設(shè)，圓柱殼的內(nèi)力與變形表達式為：

(5)

1.3 運動平衡方程式

根據(jù)文獻[1]經(jīng)典薄殼理論，在靜水壓力條件下的運動平衡方程式為：

(6)

其中：P0為殼體所受靜水壓力，N；ψ為作用在殼體外壁，正方向為指向圓心的流體聲載荷，N。

(7)

圓柱殼振動位移函數(shù)根據(jù)波動法可以表示為：

(8)

其中：Um、Vm、Wm為波幅(分別代表x，θ，z方向)；ω為固有角頻率，θ方向波數(shù)為n，x方向波數(shù)為m。文獻[4]中對波動法的結(jié)論指出：一定邊界條件下的圓柱殼振動分析中，km(圓柱殼軸向波數(shù))可以用m表達的函數(shù)(梁彎曲振動波數(shù))來替代，如表1所示。

表1 邊界條件不同時的km值

1.4 耦合聲振方程

浸入水下的圓柱殼滿足聲波方程，理想流體在柱坐標系下的Helmholtz波動方程為：

(9)

其中：t為時間，s;c為流體聲速,m/s;r的坐標是沿殼體徑向選取。

在水下壓力場中，滿足波動方程Helmholtz的流體聲壓解可表達為：

(10)

其中:Hn(2)()為第2類n階Hankel函數(shù)。徑向波數(shù)kr和軸向波數(shù)km滿足關(guān)系式：

(krR)2=Ω2(CL/CF)2-(kmR)2,

(11)

其中：Ω為無量綱參數(shù)(振動固有頻率)；圓柱殼殼體的聲速為CL，m/s；殼體外部流體聲速是CF,m/s。因流體與殼體外壁兩者接觸的界面上徑向位移是相等的，耦合條件為：

(12)

其中：ρf為流體的密度，kg/m3；Hn(2)′(krR)上的撇號表示對變量krR的導數(shù)。

2 均勻化轉(zhuǎn)換

把式(5)、式(7)和式(8)代入式(6)中，結(jié)合方程(10)，運動方程耦合系統(tǒng)的矩陣表達形式為：

(13)

其中：Lij(i，j=1, 2, 3)為參數(shù)，是帶入波動法u、v、w表達式項后求解得到的，其中考慮了流體聲場作用FL(作為產(chǎn)生的流體荷載項)。Lij具體表達式為：

(14)

(15)

根據(jù)不同的邊界情況，代入具體參數(shù)，求解式(15)，得到：

P1(ω)-P2(ω)FL=0，

(16)

其中：P1(ω)、P2(ω)是未知數(shù)ω的多項式函數(shù)。

FGM圓柱殼靜水壓力下的固有頻率可通過牛頓迭代法得到。不考慮流體影響(FL=0，P0=0)，此刻還原為FGM圓柱殼真空中的固有頻率計算。綜上所述，F(xiàn)GM圓柱殼靜水壓力下固有頻率解的均勻化轉(zhuǎn)化計算完成，將其非均勻、復雜的特性進行了有效簡化。

3 數(shù)值計算及分析

3.1 正確性和有效性驗證

采用鋼與氮化硅復合的FGM圓柱殼為例。當體積分數(shù)p=0時，F(xiàn)GM圓柱殼還原為純鋼圓柱殼，通過計算比較可檢驗推導公式是否正確。純鋼圓柱殼殼體計算參數(shù)見表2。

表2 純鋼圓柱殼殼體計算參數(shù)

表3為兩端簡支時靜水壓力下純鋼圓柱殼固有頻率的對比分析。由表3可知：本文方法與文獻[16]和文獻[20]分析結(jié)果進行對比，誤差很小，驗證了本文經(jīng)過退化后關(guān)于各向同性純鋼圓柱殼在靜水壓力下固有頻率計算方法的正確性。

表3 兩端簡支時靜水壓力下純鋼圓柱殼固有頻率的對比分析

考慮由不銹鋼(外側(cè))和鎳(內(nèi)側(cè))復合的FGM圓柱殼，計算時取P0=0 kPa，ρf=0 kg/m3，CF=0 m/s，其他殼體幾何及物理參數(shù)見表4。

表4 FGM圓柱殼殼體計算參數(shù)

表5為兩端簡支邊界條件下FGM圓柱殼固有頻率的對比分析。由表5可知：本文方法與文獻[18]的數(shù)據(jù)結(jié)果進行對比分析，驗證了FGM殼體在不考慮靜水壓力下固有頻率的計算是有效和正確的。

表5 兩端簡支邊界條件下FGM圓柱殼固有頻率的對比分析 Hz

文獻[18]采用復雜的偏微分方程求解過程，邊界條件每次改變都需重新求解，計算效率不高。本文方法的應用，使方程求解準確、便捷和高效，利用已知經(jīng)典均勻材料圓柱殼理論來解決功能梯度圓柱殼問題，使復雜問題簡單化，推廣應用價值較高。

3.2 FGM圓柱殼在相同邊界的靜水壓力條件下主要參數(shù)對其固有頻率的影響

在計算和分析結(jié)構(gòu)振動時必須考慮圓柱殼的臨界壓力。若靜水壓力大于臨界壓力，則從理論上認為它已經(jīng)失去了基本的功能特性，而固有頻率的計算是沒有意義的(FGM圓柱殼臨界載荷的彈性理論解為其固有頻率為0 Hz時對應的靜水壓力值)。因此，在分析水下FGM圓柱殼的振動特性時，應將靜水壓力控制在臨界壓力以下。

基本參數(shù)為km=mπ/L，ρf= 1 000 kg/m3，CF= 1 500 m/s，p=1，材料為不銹鋼和鎳，其他參數(shù)見表6。本文通過具體算例考察了在連續(xù)變化的靜水壓力下，邊界條件設(shè)為兩邊簡支，改變m、n、p、h/R、L/R和不同材質(zhì)等參數(shù)時，對FGM圓柱殼固有頻率影響的變化規(guī)律，并形成分析曲線和數(shù)據(jù)表格(見圖2～圖5及表7～表8)。

表6 簡支邊界條件下FGM圓柱殼殼體計算參數(shù)

圖2給出了不同h/R時，連續(xù)靜水壓力下的FGM圓柱殼固有頻率變化規(guī)律圖。由圖2可以看出：h/R對FGM圓柱殼連續(xù)靜水壓力下的固有頻率影響很大。隨著P0的逐漸增大，F(xiàn)GM圓柱殼固有頻率逐漸減小，當h/R=0.002時，固有頻率下降速率最快。FGM圓柱殼固有頻率隨h/R增大而增大，且固有頻率下降速率隨h/R增大而迅速變緩。P0不變，h/R增大，固有頻率變大，表明h/R越大，承載能力越強；h/R不變，P0增大，固有頻率減少，直至為零，達到臨界壓力值。圖3顯示L/R比值變化后在連續(xù)靜水壓力條件下FGM圓柱殼固有頻率的變化情況。由圖3可知：P0不變，L/R減少，固有頻率增大，L/R越大，固有頻率迅速減小，更快達到臨界壓力值。L/R不變，P0增大，固有頻率變化很小，說明靜水壓力在L/R不變條件下對FGM圓柱殼固有頻率影響很小。L/R=20時，固有頻率接近為零，說明FGM圓柱殼在此幾何參數(shù)下已接近承載極限。

圖2和圖3為FGM圓柱殼主要幾何參數(shù)改變后靜水壓力下的固有頻率變化規(guī)律，從圖2和圖3中能直觀看出主要幾何參數(shù)對FGM圓柱殼的固有頻率有很大影響。在實際工程應用中，可通過改變FGM圓柱殼主要幾何參數(shù)來增強其承載力和調(diào)整固有頻率，避免發(fā)生共振現(xiàn)象。

圖2 簡支邊界不同h/R固有頻率規(guī)律曲線

圖3 簡支邊界不同L/R固有頻率規(guī)律曲線

表7給出了不同軸向波數(shù)m時，連續(xù)靜水壓力條件下FGM圓柱殼固有頻率變化規(guī)律數(shù)據(jù)。從表7中能看出：不同m值對FGM圓柱殼固有頻率有較大影響，隨m增大，F(xiàn)GM圓柱殼固有頻率增大，但增幅逐漸減少，有收斂趨勢；m=1時，固有頻率隨P0增大而大幅減少，逐漸趨于零；而m≥2時，固有頻率隨P0增大很小，可忽略不計，說明此時P0對FGM圓柱殼固有頻率影響很小。軸向波數(shù)m=1時為FGM圓柱殼最不利模態(tài)，作為本文研究的基本模態(tài)參數(shù)之一是合理的。

表7 FGM圓柱殼兩邊簡支邊界條件連續(xù)靜水壓力下不同m的固有頻率 Hz

表8為不同環(huán)向波數(shù)n時，連續(xù)靜水壓力條件下FGM圓柱殼固有頻率。從表8中能看出：隨著n增大，F(xiàn)GM圓柱殼固有頻率數(shù)據(jù)變化趨勢基本吻合，都是先減少到基頻，然后逐漸增大，說明P0對FGM圓柱殼固有頻率影響很小，粗略情況下可忽略不計。環(huán)向波數(shù)n=2時為此條件下FGM圓柱殼最不利模態(tài)，作為本文研究的基本模態(tài)參數(shù)之一也是合理的。

表8 FGM圓柱殼兩邊簡支邊界條件連續(xù)靜水壓力下不同n的固有頻率 Hz

表7和表8中數(shù)據(jù)與已有均勻材料圓柱殼文獻研究結(jié)果的規(guī)律相同，說明FGM圓柱殼與均勻材料圓柱殼在基本屬性上所表現(xiàn)出的規(guī)律是一致的，可以利用已知均勻材料固有屬性規(guī)律，來推測某些未知功能梯度材料固有屬性規(guī)律。此結(jié)論對功能梯度材料以后復雜條件下應用的適應性初判有重要意義。

圖4顯示了體積分數(shù)冪指數(shù)p變化時，連續(xù)靜水壓力條件下FGM圓柱殼固有頻率變化規(guī)律曲線。由圖4可知：p不變，F(xiàn)GM圓柱殼固有頻率隨P0增大變化趨勢相同，都是逐漸減少，但數(shù)值變化幅度并不大；P0不變，p越大，F(xiàn)GM圓柱殼固有頻率數(shù)值越大，說明p增大能獲得更大承載能力。綜合考慮FGM圓柱殼制作工藝以及性能要求，p要在合理范圍內(nèi)取值時，才能獲得最佳狀態(tài)。表9給出一些常見FGM圓柱殼組分材料的物理力學屬性，圖5為不同材質(zhì)組合的FGM圓柱殼在連續(xù)靜水壓力條件下固有頻率變化規(guī)律曲線。從圖5中可以看出：隨著P0增大，鋼-鎳和鋼-氧化鋯組合材料固有頻率值逐漸減少，而其他4組材質(zhì)組合的固有頻率先減少后增大；P0(<50 kPa)不變，F(xiàn)GM圓柱殼固有頻率隨材質(zhì)總值E增大而變大；P0(>50 kPa)時，部分FGM圓柱殼材質(zhì)組合進入彈塑性階段，但仍具有承載能力，超出本文研究范圍，無對比意義。

圖4 簡支邊界不同p固有頻率規(guī)律曲線

圖5 簡支邊界不同材質(zhì)固有頻率規(guī)律曲線

表9 功能梯度材料各組分材料的特性

圖4和圖5為靜水壓力下均勻材料圓柱殼不具有的屬性規(guī)律，F(xiàn)GM圓柱殼體積分數(shù)冪指數(shù)p和組合材料的構(gòu)成都對固有頻率有不同程度影響，其規(guī)律特征也是FGM圓柱殼所獨有的，對功能梯度材料開展深入研究有借鑒意義。

3.3 FGM圓柱殼在不同邊界靜水壓力條件下固有頻率變化規(guī)律

設(shè)靜水壓力下10種不同邊界條件，基本參數(shù)為ρf=1 000 kg/m3，CF=1 500 m/s，p=1，F(xiàn)GM圓柱殼組分材料為不銹鋼和鎳，其他參數(shù)見表10。

表10 不同邊界條件下FGM圓柱殼殼體計算參數(shù)

表11為不同邊界條件下，當P0變化時FGM圓柱殼固有頻率的規(guī)律數(shù)值。從表11中可以看出：不同邊界條件下FGM圓柱殼固有頻率隨P0增大變化趨勢相同，都是逐漸減少，但在接近臨界壓力時會快速衰減為0 Hz；P0不變條件下，F(xiàn)GM圓柱殼固有頻率數(shù)值都滿足F-F(C-C)邊界條件下最大，C-F(S-SS)邊界條件下最小，說明兩端固定(兩端自由)邊界條件能獲得更大承載能力，而一端固定一端自由(一端滑移一端簡支)為最不利承載邊界條件。

表11 不同邊界條件靜水壓力下FGM圓柱殼固有頻率 Hz

本文中靜水壓力下對不同邊界條件的轉(zhuǎn)換采用km(見表1)參數(shù)來進行表達和運算，使FGM圓柱殼固有頻率計算得到很大簡化，效率提高，為復雜條件下的工程應用計算創(chuàng)造便利條件。

4 結(jié)論

(1)在靜水壓力簡支邊界條件下，固有頻率隨m、n和p參數(shù)改變而呈現(xiàn)的變化規(guī)律可忽略靜水壓力P0影響，m=1和n=2為FGM圓柱殼固有頻率最不利模態(tài)，可通過適當調(diào)整p值來取得更大承載能力；幾何尺寸h/R、L/R改變對固有頻率影響較大。

(2)在靜水壓力簡支邊界條件下，隨靜水壓力P0增長，各組分FGM圓柱殼在彈性范圍內(nèi)，固有頻率減少直至零，達到臨界壓力后進入彈塑性階段仍具有承載能力。

(3)在不同邊界條件下，P0不變，兩端自由(F-F)或兩端剛固(C-C)邊界條件能獲得更大承載能力，服從ωF-F(C-C)>ωF-SS(C-SS)>ωSS-SS(S-S)>ωF-S(C-S)>ωC-F(S-SS)的規(guī)律。